🎓 8. Sınıf (LGS)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Tam Kare Özdeşliği Ve İki Kare Farkı Çözümlü Sorular
8. Sınıf Matematik: Tam Kare Özdeşliği Ve İki Kare Farkı Çözümlü Sorular
Soru 1:
💡 Tam Kare Özdeşliği konusuyla ilk örneğimize başlayalım! Aşağıdaki ifadenin açılımını yapınız:
\( (3x + 2)^2 \)
\( (3x + 2)^2 \)
Çözüm:
Bu ifade bir tam kare özdeşliğidir. Genel formülü \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) şeklindedir.
Şimdi adım adım uygulayalım:
Şimdi adım adım uygulayalım:
- ✅ Burada \( a = 3x \) ve \( b = 2 \) olarak düşünebiliriz.
- ✅ İlk terimin karesi: \( (3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2 \)
- ✅ İki terimin çarpımının iki katı: \( 2 \cdot (3x) \cdot (2) = 12x \)
- ✅ İkinci terimin karesi: \( (2)^2 = 4 \)
- 📌 Tüm bu terimleri birleştirdiğimizde ifadenin açılımını buluruz.
Soru 2:
Aşağıdaki ifadenin açılımını yaparak en sade halini bulunuz:
\( (5y - 3)^2 \)
\( (5y - 3)^2 \)
Çözüm:
Bu ifade de bir tam kare özdeşliğidir. Ancak bu sefer aradaki işaret eksi olduğu için \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) formülünü kullanacağız.
Adım adım çözelim:
Adım adım çözelim:
- ✅ Burada \( a = 5y \) ve \( b = 3 \) olarak alıyoruz.
- ✅ İlk terimin karesi: \( (5y)^2 = 5^2 \cdot y^2 = 25y^2 \)
- ✅ İki terimin çarpımının iki katı (işarete dikkat!): \( -2 \cdot (5y) \cdot (3) = -30y \)
- ✅ İkinci terimin karesi: \( (3)^2 = 9 \)
- 👉 Tüm terimleri bir araya getirdiğimizde sonuca ulaşırız.
Soru 3:
📚 Şimdi de İki Kare Farkı Özdeşliği konusuna odaklanalım! Aşağıdaki çarpma işlemini özdeşlik kullanarak yapınız:
\( (4x - 5)(4x + 5) \)
\( (4x - 5)(4x + 5) \)
Çözüm:
Bu ifade, iki kare farkı özdeşliğinin klasik bir örneğidir. Genel formülü \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) şeklindedir.
Çözüm adımları:
Çözüm adımları:
- ✅ Verilen ifade \( (a-b)(a+b) \) formuna uymaktadır.
- ✅ Burada \( a = 4x \) ve \( b = 5 \) olduğunu görüyoruz.
- ✅ Formüle göre, bu ifadenin sonucu \( a^2 - b^2 \) olacaktır.
- ✅ İlk terimin karesi: \( (4x)^2 = 16x^2 \)
- ✅ İkinci terimin karesi: \( (5)^2 = 25 \)
- 📌 Bu iki kareyi birbirinden çıkardığımızda cevabı buluruz.
Soru 4:
Aşağıdaki cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırınız:
\( x^2 - 16 \)
\( x^2 - 16 \)
Çözüm:
Bu ifadeyi çarpanlarına ayırmak için iki kare farkı özdeşliği kullanabiliriz. İki kare farkı özdeşliği \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) şeklindedir.
Çözüm:
Çözüm:
- ✅ Verilen ifadeyi \( a^2 - b^2 \) şeklinde yazmaya çalışalım.
- ✅ \( x^2 \) zaten bir sayının karesidir. Yani \( a = x \).
- ✅ \( 16 \) sayısı da \( 4^2 \) olarak yazılabilir. Yani \( b = 4 \).
- 👉 Şimdi bu değerleri iki kare farkı formülünde yerine koyalım.
Soru 5:
Özdeşlikleri kullanarak aşağıdaki işlemin sonucunu kolayca bulunuz:
\( 103^2 - 3^2 \)
\( 103^2 - 3^2 \)
Çözüm:
Bu tür sorularda büyük sayıların karelerini almak yerine iki kare farkı özdeşliğini kullanmak işimizi çok kolaylaştırır! Formülümüz: \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).
Adım adım hesaplayalım:
Adım adım hesaplayalım:
- ✅ Burada \( a = 103 \) ve \( b = 3 \) olarak düşünebiliriz.
- ✅ Önce \( a-b \) kısmını hesaplayalım: \( 103 - 3 = 100 \)
- ✅ Sonra \( a+b \) kısmını hesaplayalım: \( 103 + 3 = 106 \)
- 📌 Şimdi bu iki sonucu çarpalım.
Soru 6:
Bir kenar uzunluğu \( (x+3) \) birim olan kare şeklindeki bir bahçenin, bir kenar uzunluğu \( (x-3) \) birim olan kare şeklindeki bir kısmı çiçek ekmek için ayrılmıştır. Bahçenin çiçek ekilmeyen kısmının alanını gösteren cebirsel ifadeyi bulunuz. (Tüm uzunluklar pozitif kabul edilecektir.)
Çözüm:
Bu problemde, büyük bir kare alandan, daha küçük bir kare alanın çıkarılması istenmektedir. Bu durum, iki kare farkı özdeşliğini kullanmamız gerektiğini gösterir.
Çözüm adımları:
Çözüm adımları:
- ✅ Büyük bahçenin alanı: \( (x+3)^2 \)
- ✅ Çiçek ekilen kısmın alanı: \( (x-3)^2 \)
- ✅ Çiçek ekilmeyen kısmın alanı, büyük alan eksi küçük alan olacaktır: \( (x+3)^2 - (x-3)^2 \)
- 📌 Bu ifadeyi iki kare farkı özdeşliği \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) şeklinde açalım. Burada \( a = (x+3) \) ve \( b = (x-3) \).
- 👉 \( (a-b) = (x+3) - (x-3) = x+3-x+3 = 6 \)
- 👉 \( (a+b) = (x+3) + (x-3) = x+3+x-3 = 2x \)
- ✅ Şimdi bu iki ifadeyi çarpalım: \( 6 \cdot (2x) \)
Soru 7:
Eğer \( x - y = 5 \) ve \( x \cdot y = 6 \) ise, \( x^2 + y^2 \) ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda verilen bilgileri kullanarak tam kare özdeşliğini tersten uygulayacağız. Özellikle \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) formülü işimize yarayacak.
Çözüm adımları:
Çözüm adımları:
- ✅ Verilen \( x - y = 5 \) ifadesinin her iki tarafının karesini alalım: \( (x - y)^2 = 5^2 \)
- ✅ Tam kare özdeşliğini uygulayalım: \( x^2 - 2xy + y^2 = 25 \)
- ✅ Bizden \( x^2 + y^2 \) isteniyor. Bu ifadeyi yalnız bırakmak için \( -2xy \) terimini eşitliğin diğer tarafına atalım: \( x^2 + y^2 = 25 + 2xy \)
- ✅ Soruda bize \( x \cdot y = 6 \) bilgisi verilmişti. Bu değeri yerine koyalım: \( x^2 + y^2 = 25 + 2 \cdot (6) \)
- 👉 Şimdi işlemi tamamlayalım.
Soru 8:
🛒 Bir market, fiyatı \( (100a + 5) \) TL olan bir ürüne, \( (100a - 5) \) TL üzerinden etiket basmıştır. Ürünün normal fiyatı ile etiket fiyatı arasındaki farkı özdeşliklerden faydalanarak bulunuz. (Burada \( a \) bir pozitif tam sayıdır.)
Çözüm:
Bu problemde, iki farklı fiyat arasındaki farkı bulmamız isteniyor. Fiyatlar arasındaki farkı bulmak için çıkarma işlemi yaparız. Ancak sayıların yapısı bize iki kare farkı özdeşliğini kullanma fırsatı sunuyor.
Çözüm adımları:
Çözüm adımları:
- ✅ Normal fiyat: \( (100a + 5) \) TL
- ✅ Etiket fiyatı: \( (100a - 5) \) TL
- ✅ Farkı bulmak için normal fiyattan etiket fiyatını çıkaralım: \( (100a + 5) - (100a - 5) \)
- 👉 Bu basit bir çıkarma işlemi gibi görünse de, soruyu "fiyatların kareleri farkı" olarak yanlış anlamayalım. Ancak, soruyu "normal fiyatın karesi ile etiket fiyatının karesi arasındaki fark" şeklinde yorumlarsak iki kare farkı devreye girerdi. Soruda "farkı" dendiği için doğrudan çıkarma yapacağız.
- 💡 DİKKAT: Bu soru, öğrencilerin özdeşlikleri ne zaman kullanacaklarını ayırt etme becerisini ölçer. Doğrudan çıkarma işlemi de yapılabilir, ancak eğer soru "fiyatların kareleri farkı" deseydi özdeşlik kullanılırdı.
- ✅ \( (100a + 5) - (100a - 5) = 100a + 5 - 100a + 5 \)
- ✅ \( 100a \) terimleri birbirini götürür.
📌 Ek Bilgi: Eğer soru "normal fiyatın karesi ile etiket fiyatının karesi arasındaki fark" şeklinde olsaydı, o zaman \( (100a+5)^2 - (100a-5)^2 \) işlemini yapacak ve iki kare farkı özdeşliğini kullanacaktık. Bu durumda sonuç \( ( (100a+5) - (100a-5) ) \cdot ( (100a+5) + (100a-5) ) = (10) \cdot (200a) = 2000a \) olurdu. Sorunun doğru anlaşılması çok önemlidir!
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/8-sinif-matematik-tam-kare-ozdesligi-ve-iki-kare-farki/sorular