💡 8. Sınıf Matematik: Tam Kare Özdeşliği Çözümlü Sorular

Bu ifade, iki terimli bir toplamın karesi özdeşliğidir. Genel formülü \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) şeklindedir.
Burada \( a=x \) ve \( b=5 \) olarak düşünebiliriz.

• Birinci terimin karesi: \( x^2 \)
• Birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katı: \( 2 \cdot x \cdot 5 = 10x \)
• İkinci terimin karesi: \( 5^2 = 25 \)

Hepsini bir araya getirdiğimizde:
\[ (x+5)^2 = x^2 + 10x + 25 \] ✅ İşte bu kadar! Tam kare özdeşliğini uyguladık.

Bu ifade, iki terimli bir farkın karesi özdeşliğidir. Genel formülü \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) şeklindedir.
Burada \( a=3y \) ve \( b=2 \) olarak düşünebiliriz.

• Birinci terimin karesi: \( (3y)^2 = 9y^2 \)
• Birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katı (işaretine dikkat!): \( -2 \cdot 3y \cdot 2 = -12y \)
• İkinci terimin karesi: \( 2^2 = 4 \)

Hepsini bir araya getirdiğimizde:
\[ (3y-2)^2 = 9y^2 - 12y + 4 \] ✅ İşaretlere dikkat etmek bu tür sorularda çok önemlidir!

Bu tür ifadelerde, verilen üç terimli cebirsel ifadenin bir tam kare özdeşliği olup olmadığını kontrol etmeliyiz.
Genel tam kare formülleri: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) veya \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).

• İlk terim \( a^2 \), bu \( a \)'nın karesidir.
• Son terim \( 16 \), bu \( 4 \)'ün karesidir.
• Ortadaki terim \( 8a \). Eğer bu ifade bir tam kare ise, ortadaki terim \( 2 \cdot a \cdot b \) veya \( -2 \cdot a \cdot b \) şeklinde olmalıdır.
  Burada \( 2 \cdot a \cdot 4 = 8a \) olduğunu görüyoruz.

Tüm koşullar sağlandığına göre, bu ifade bir tam kare özdeşliğidir ve artı işaretli olduğu için \( (a+b)^2 \) formuna uyar.
\[ a^2 + 8a + 16 = (a+4)^2 \] ✅ İfadeyi tam kare olarak başarıyla yazdık!

Yine, bu ifadenin bir tam kare özdeşliği olup olmadığını kontrol edelim.

• İlk terim \( 9m^2 \), bu \( (3m) \)'nin karesidir.
• Son terim \( 25 \), bu \( 5 \)'in karesidir.
• Ortadaki terim \( -30m \). Eğer bu ifade bir tam kare ise, ortadaki terim \( 2 \cdot a \cdot b \) veya \( -2 \cdot a \cdot b \) şeklinde olmalıdır.
  Burada \( -2 \cdot (3m) \cdot 5 = -30m \) olduğunu görüyoruz.

Tüm koşullar sağlandığına göre, bu ifade bir tam kare özdeşliğidir ve ortadaki terim eksi işaretli olduğu için \( (a-b)^2 \) formuna uyar.
\[ 9m^2 - 30m + 25 = (3m-5)^2 \] ✅ Tam kare özdeşliğini tanımak, cebirsel işlemleri basitleştirir.

Verilen ifade bir tam kare özdeşliği olduğu için \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) formülünü kullanabiliriz.
Burada \( a=2x \) olduğunu biliyoruz.

• İlk terim \( (2x)^2 = 4x^2 \), bu zaten verilmiş.
• Ortadaki terim \( 2ab \) olmalı. Bize \( 12x \) olarak verilmiş.
  Yani \( 2 \cdot (2x) \cdot b = 12x \) olmalıdır.
  \( 4xb = 12x \)
  \( b = \frac{12x}{4x} \)
  \( b = 3 \)
• Şimdi ikinci terim olan \( b \)'yi bulduğumuza göre, son boşluğu doldurabiliriz. Son terim \( b^2 \) olmalı.
  \( b^2 = 3^2 = 9 \)

Boşlukları doldurduğumuzda özdeşlik şu şekilde olur:
\[ (2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9 \] ✅ Boşlukları doğru bir şekilde tamamladık!

Bu tür sayısal işlemlerde, sayıyı bildiğimiz bir tam sayıya yakın bir ifade olarak yazıp tam kare özdeşliğini kullanabiliriz.
\( 99 \) sayısını \( (100-1) \) şeklinde yazabiliriz. Şimdi \( (100-1)^2 \) ifadesinin açılımını yapalım. Bu, \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) formülüne uyar.
Burada \( a=100 \) ve \( b=1 \) dir.

• Birinci terimin karesi: \( 100^2 = 10000 \)
• Birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katı: \( -2 \cdot 100 \cdot 1 = -200 \)
• İkinci terimin karesi: \( 1^2 = 1 \)

Hepsini bir araya getirdiğimizde:
\[ (100-1)^2 = 10000 - 200 + 1 \] \[ = 9800 + 1 \] \[ = 9801 \] ✅ Tam kare özdeşliği, büyük sayıların karesini alırken işlemleri kolaylaştırabilir.

Bir karenin alanı, bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpılmasıyla (karesi alınarak) bulunur.
Kenar uzunluğu \( (x+4) \) birim olduğuna göre, bahçenin alanı \( (x+4)^2 \) olacaktır. Bu ifadeyi tam kare özdeşliği formülü olan \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) ile açabiliriz.
Burada \( a=x \) ve \( b=4 \) dir.

• Birinci terimin karesi: \( x^2 \)
• Birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katı: \( 2 \cdot x \cdot 4 = 8x \)
• İkinci terimin karesi: \( 4^2 = 16 \)

Bu durumda, bahçenin alanını gösteren cebirsel ifade:
\[ (x+4)^2 = x^2 + 8x + 16 \] ✅ Tam kare özdeşliği, günlük hayattaki alan hesaplamalarında da karşımıza çıkabilir.

Bu soruyu çözmek için tam kare özdeşliğini kullanacağız. Bildiğimiz özdeşlik:
\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) Bizden istenen \( a^2 + b^2 \) ifadesinin değeridir. Bu özdeşliği kullanarak \( a^2 + b^2 \) ifadesini yalnız bırakabiliriz.
\( a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab \) Şimdi verilen değerleri yerine yazalım:

• \( a+b = 9 \) olduğu için \( (a+b)^2 = 9^2 = 81 \) olur.
• \( ab = 18 \) olduğu için \( 2ab = 2 \cdot 18 = 36 \) olur.

Bu değerleri denklemde yerine koyarsak:
\[ a^2 + b^2 = 81 - 36 \] \[ a^2 + b^2 = 45 \] ✅ Tam kare özdeşliği, bu tür değer bulma problemlerinde çok güçlü bir araçtır!