🎓 8. Sınıf (LGS)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Üslü Sayılarda Bölme İşlemi Çözümlü Sorular
8. Sınıf Matematik: Üslü Sayılarda Bölme İşlemi Çözümlü Sorular
Soru 1:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz.
\[ \frac{5^9}{5^3} \]
\[ \frac{5^9}{5^3} \]
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için üslü sayılarda bölme işleminin temel kuralını uygulayacağız.
- 💡 Kural Hatırlatma: Tabanları aynı olan üslü ifadeler bölünürken, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır. Yani \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) olur.
- 📌 Bu kurala göre, \( \frac{5^9}{5^3} \) ifadesinde tabanlar aynı (5) olduğu için üsleri çıkarırız.
- 👉 İşlemi yapalım: \( 5^{9-3} \)
- ✅ Sonuç: \( 5^6 \)
Soru 2:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz.
\[ \frac{3^{-7}}{3^{-4}} \]
\[ \frac{3^{-7}}{3^{-4}} \]
Çözüm:
Bu soruda negatif üslere sahip ifadeleri bölme işlemini yapacağız.
- 💡 Kural Uygulama: Tabanlar aynı olduğunda (3), üsler çıkarılır. Negatif üslere dikkat etmek önemlidir.
- 📌 Payın üssü \(-7\), paydanın üssü \(-4\). Çıkarma işlemini dikkatlice yapalım: \( (-7) - (-4) \).
- 👉 İşlemi yapalım: \( 3^{(-7) - (-4)} = 3^{-7+4} = 3^{-3} \)
- 💡 Negatif Üs Hatırlatma: Bir sayının negatif üssü, o sayının çarpmaya göre tersinin pozitif üssü demektir. Yani \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \).
- 👉 Bu durumda \( 3^{-3} \) ifadesini \( \frac{1}{3^3} \) olarak yazabiliriz.
- ✅ Sonuç: \( \frac{1}{27} \)
Soru 3:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz.
\[ \frac{16^5}{4^7} \]
\[ \frac{16^5}{4^7} \]
Çözüm:
Bu soruda tabanlar farklı gibi görünse de, tabanları aynı hale getirebiliriz.
- 💡 Tabanları Eşitleme: 16 ve 4 sayıları 2'nin kuvvetleri olarak yazılabilir.
- 📌 \( 16 = 2^4 \) ve \( 4 = 2^2 \) olduğunu biliyoruz.
- 👉 Verilen ifadeyi bu şekilde yeniden yazalım: \( \frac{(2^4)^5}{(2^2)^7} \)
- 💡 Üslü Sayının Üssü Kuralı: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \) kuralını uygulayalım.
- 👉 Payı düzenleyelim: \( (2^4)^5 = 2^{4 \times 5} = 2^{20} \)
- 👉 Paydayı düzenleyelim: \( (2^2)^7 = 2^{2 \times 7} = 2^{14} \)
- 📌 Şimdi ifademiz \( \frac{2^{20}}{2^{14}} \) şeklini aldı. Tabanlar aynı olduğu için üsleri çıkarabiliriz.
- 👉 İşlemi yapalım: \( 2^{20-14} = 2^6 \)
- ✅ Sonuç: \( 2^6 = 64 \)
Soru 4:
Bir bilim insanı, mikroskop altında incelediği bir bakteri türünün sayısının her saatin sonunda 4 katına çıktığını gözlemlemiştir. Başlangıçta \( 2^{10} \) adet bakteri bulunan bir ortamda, 3 saatin sonunda toplam bakteri sayısı kaç katına çıkarsa, başlangıçtaki bakteri sayısının \( 2^5 \) katına eşit olur?
Çözüm:
Bu bir yeni nesil problem olup, üslü sayılarda çarpma ve bölme işlemlerini bir arada kullanmayı gerektirir.
- 💡 Başlangıçtaki bakteri sayısı: \( 2^{10} \)
- 📌 Her saatin sonunda bakteri sayısı 4 katına çıkıyor. 3 saatin sonunda kaç katına çıkacağını bulalım:
- 👉 1. saat sonunda: \( \times 4 \)
- 👉 2. saat sonunda: \( \times 4 \times 4 \)
- 👉 3. saat sonunda: \( \times 4 \times 4 \times 4 = 4^3 \) katına çıkar.
- 📌 3 saatin sonundaki toplam bakteri sayısı: \( 2^{10} \times 4^3 \)
- 💡 Tabanları Eşitleme: \( 4 = 2^2 \) olduğu için \( 4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \times 3} = 2^6 \) olur.
- 👉 3 saatin sonundaki bakteri sayısı: \( 2^{10} \times 2^6 = 2^{10+6} = 2^{16} \)
- 📌 Soru bizden, başlangıçtaki bakteri sayısının \( 2^5 \) katına eşit olması için \( 2^{16} \) sayısının başlangıçtaki bakteri sayısının kaç katı olması gerektiğini soruyor. Yani \( \frac{2^{16}}{2^5} \) işlemini yapmamız gerekiyor.
- 👉 İşlemi yapalım: \( \frac{2^{16}}{2^5} = 2^{16-5} = 2^{11} \)
- ✅ Sonuç: 3 saatin sonunda toplam bakteri sayısı, başlangıçtaki bakteri sayısının \( 2^{11} \) katına eşit olur.
Soru 5:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz.
\[ \frac{27^3 \times 9^{-4}}{3^5} \]
\[ \frac{27^3 \times 9^{-4}}{3^5} \]
Çözüm:
Bu problemde farklı tabanları aynı tabana çevirerek hem çarpma hem de bölme işlemini uygulayacağız.
- 💡 Tabanları Eşitleme: 27, 9 ve 3 sayıları 3'ün kuvvetleri olarak yazılabilir.
- 📌 \( 27 = 3^3 \) ve \( 9 = 3^2 \) olduğunu biliyoruz.
- 👉 İfadeyi 3 tabanında yeniden yazalım: \( \frac{(3^3)^3 \times (3^2)^{-4}}{3^5} \)
- 💡 Üslü Sayının Üssü Kuralı: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \) kuralını uygulayalım.
- 👉 Paydaki ilk terim: \( (3^3)^3 = 3^{3 \times 3} = 3^9 \)
- 👉 Paydaki ikinci terim: \( (3^2)^{-4} = 3^{2 \times (-4)} = 3^{-8} \)
- 📌 Şimdi ifademiz \( \frac{3^9 \times 3^{-8}}{3^5} \) şeklini aldı.
- 💡 Üslü Sayılarda Çarpma Kuralı: Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \).
- 👉 Payı düzenleyelim: \( 3^9 \times 3^{-8} = 3^{9+(-8)} = 3^{9-8} = 3^1 \)
- 📌 Son ifademiz \( \frac{3^1}{3^5} \) şeklini aldı. Şimdi bölme işlemini yapabiliriz.
- 💡 Üslü Sayılarda Bölme Kuralı: Tabanları aynı olan üslü ifadeler bölünürken üsler çıkarılır: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).
- 👉 İşlemi yapalım: \( 3^{1-5} = 3^{-4} \)
- 💡 Negatif Üs Hatırlatma: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \).
- 👉 Bu durumda \( 3^{-4} = \frac{1}{3^4} \)
- ✅ Sonuç: \( \frac{1}{81} \)
Soru 6:
Bir bilgi yarışmasında her doğru cevap için \( 2^4 \) puan verilmekte, her yanlış cevap için ise \( 2^2 \) puan silinmektedir. Toplam 20 sorunun sorulduğu bu yarışmada, bir yarışmacı 15 doğru cevap ve 5 yanlış cevap vermiştir. Yarışmacının kazandığı toplam puanın, yanlış cevaplar nedeniyle kaybettiği toplam puana oranı kaçtır?
Çözüm:
Bu bir oran sorusu olup, üslü sayılarda çarpma ve bölme işlemlerini içerir.
- 💡 Doğru cevaplardan kazanılan puan:
- 📌 15 doğru cevap verilmiş ve her doğru cevap \( 2^4 \) puan kazandırıyor.
- 👉 Kazanılan toplam puan: \( 15 \times 2^4 \)
- 💡 Yanlış cevaplardan kaybedilen puan:
- 📌 5 yanlış cevap verilmiş ve her yanlış cevap \( 2^2 \) puan kaybettiriyor.
- 👉 Kaybedilen toplam puan: \( 5 \times 2^2 \)
- 📌 Soru bizden kazanılan toplam puanın, kaybedilen toplam puana oranını istiyor. Yani \( \frac{\text{Kazanılan Puan}}{\text{Kaybedilen Puan}} \) işlemini yapmalıyız.
- 👉 Oran ifadesini yazalım: \( \frac{15 \times 2^4}{5 \times 2^2} \)
- 📌 Bu ifadeyi sadeleştirelim. Sayıları ve üslü ifadeleri ayrı ayrı bölebiliriz.
- 👉 Sayısal kısımlar: \( \frac{15}{5} = 3 \)
- 👉 Üslü kısımlar: \( \frac{2^4}{2^2} = 2^{4-2} = 2^2 \)
- 👉 Şimdi bu iki sonucu çarpalım: \( 3 \times 2^2 \)
- 👉 \( 2^2 = 4 \) olduğu için: \( 3 \times 4 \)
- ✅ Sonuç: Yarışmacının kazandığı toplam puanın, kaybettiği puana oranı 12'dir.
Soru 7:
Bir depoda \( 2^{12} \) adet elma bulunmaktadır. Bu elmaların \( \frac{1}{8} \)'i çürük olduğu için atılmıştır. Kalan elmalar 4 markete eşit şekilde paylaştırılmıştır. Her bir markete kaç adet elma düşmüştür?
Çözüm:
Bu problem, üslü sayılarda kesirli ifadelerle çarpma ve bölme işlemlerini içerir.
- 💡 Toplam elma sayısı: \( 2^{12} \)
- 📌 Çürük elma miktarı: Toplam elmaların \( \frac{1}{8} \)'i atılmış.
- 👉 Çürük elma sayısı: \( 2^{12} \times \frac{1}{8} \)
- 💡 Tabanları Eşitleme: \( 8 = 2^3 \) olduğunu biliyoruz.
- 👉 Çürük elma sayısı: \( 2^{12} \times \frac{1}{2^3} = 2^{12} \times 2^{-3} = 2^{12-3} = 2^9 \)
- 📌 Kalan elma sayısı: Toplam elmalardan çürük elmaları çıkaralım.
- 👉 Kalan elma sayısı: \( 2^{12} - 2^9 \)
- 💡 Ortak Paranteze Alma: Bu çıkarma işlemini yapmak için ortak çarpan parantezine alalım. \( 2^9 \) ortak çarpandır.
- 👉 \( 2^9 \times (2^3 - 1) = 2^9 \times (8 - 1) = 2^9 \times 7 \)
- 📌 Kalan elmalar 4 markete eşit şekilde paylaştırılmıştır. Her bir markete düşen elma sayısını bulmak için kalan elma sayısını 4'e böleceğiz.
- 👉 Her markete düşen elma sayısı: \( \frac{2^9 \times 7}{4} \)
- 💡 Tabanları Eşitleme: \( 4 = 2^2 \) olduğunu biliyoruz.
- 👉 Her markete düşen elma sayısı: \( \frac{2^9 \times 7}{2^2} \)
- 💡 Üslü Sayılarda Bölme Kuralı: Tabanları aynı olan üslü ifadeleri bölelim.
- 👉 \( 2^{9-2} \times 7 = 2^7 \times 7 \)
- ✅ Sonuç: Her bir markete \( 7 \times 2^7 \) adet elma düşmüştür. (İstenirse \( 7 \times 128 = 896 \) olarak da hesaplanabilir, ancak LGS'de üslü olarak bırakmak yaygındır.)
Soru 8:
Bir kenar uzunluğu \( 5^3 \) cm olan kare şeklindeki bir arsanın alanı, bir kenar uzunluğu \( 5^1 \) cm olan eş kare parsellere ayrılacaktır. Buna göre, bu arsadan kaç adet eş kare parsel elde edilir?
Çözüm:
Bu problemde alan hesaplaması ve ardından bölme işlemi yaparak parsel sayısını bulacağız.
- 💡 Büyük arsanın alanı: Bir kenarı \( 5^3 \) cm olan karenin alanı \( (5^3)^2 \) cm\( ^2 \) olur.
- 👉 Alanı hesaplayalım: \( (5^3)^2 = 5^{3 \times 2} = 5^6 \) cm\( ^2 \).
- 💡 Eş kare parselin alanı: Bir kenarı \( 5^1 \) cm olan karenin alanı \( (5^1)^2 \) cm\( ^2 \) olur.
- 👉 Alanı hesaplayalım: \( (5^1)^2 = 5^{1 \times 2} = 5^2 \) cm\( ^2 \).
- 📌 Elde edilecek parsel sayısı, büyük arsanın alanının küçük parselin alanına bölünmesiyle bulunur.
- 👉 Parsel sayısı: \( \frac{5^6}{5^2} \)
- 💡 Üslü Sayılarda Bölme Kuralı: Tabanları aynı olan üslü ifadeler bölünürken üsler çıkarılır.
- 👉 İşlemi yapalım: \( 5^{6-2} = 5^4 \)
- ✅ Sonuç: Bu arsadan \( 5^4 \) adet eş kare parsel elde edilir. (\( 5^4 = 625 \))
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/8-sinif-matematik-uslu-sayilarda-bolme-islemi/sorular