💡 9. Sınıf Matematik: Benzer üçgenler oluşturma ve yansıtma Çözümlü Sorular
1
Çözümlü Soru
Kolay Seviye
Bir ABC üçgeninde, AB kenarı üzerinde D noktası ve AC kenarı üzerinde E noktası alınıyor.
DE doğru parçası BC doğru parçasına paraleldir.
Eğer AD = \(3\) cm, DB = \(6\) cm ve AE = \(4\) cm ise, EC uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde Temel Benzerlik Teoremi'ni (Tales Teoremi) kullanacağız.
📌 Adım 1: Benzer Üçgenleri Belirleme
DE // BC olduğundan, ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. Bunun nedeni şunlardır:
👉 A açısı her iki üçgende de ortak açıdır.
👉 DE // BC olduğu için, yöndeş açılardan \( \angle ADE = \angle ABC \) ve \( \angle AED = \angle ACB \) olur.
Böylece, A.A. (Açı-Açı) Benzerlik Kriterine göre \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) olur.
📌 Adım 2: Benzerlik Oranını Kurma
Temel Benzerlik Teoremi'ne göre, paralel bir doğru üçgenin kenarlarını orantılı böler:
\[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \]
📌 Adım 3: Değerleri Yerine Koyma ve Çözüm
Verilen değerleri formülde yerine koyalım:
AD = \(3\) cm, DB = \(6\) cm, AE = \(4\) cm
\[ \frac{3}{6} = \frac{4}{EC} \]
Denklemi sadeleştirelim:
\[ \frac{1}{2} = \frac{4}{EC} \]
İçler dışlar çarpımı yaparak EC uzunluğunu bulalım:
\[ 1 \cdot EC = 2 \cdot 4 \]
\[ EC = 8 \text{ cm} \]
✅ Sonuç olarak, EC uzunluğu \(8\) cm'dir.
2
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Bir ABC üçgeni ile EDC üçgeni verilmiştir.
A noktası, E noktası ve C noktası doğrusaldır. B noktası, D noktası ve C noktası doğrusaldır.
Eğer AB // ED ise ve AB = \(8\) cm, ED = \(4\) cm, DC = \(5\) cm ise, BC uzunluğu kaç cm'dir? 🧐
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde kelebek benzerliği (kum saati benzerliği) kullanacağız.
📌 Adım 1: Benzer Üçgenleri Belirleme
AB // ED olduğu için, ABC üçgeni ile EDC üçgeni benzerdir. Bunun nedenleri şunlardır:
👉 C açısı her iki üçgende de ortak açıdır (ters açılar).
👉 AB // ED olduğu için, iç ters açılardan \( \angle BAC = \angle DEC \) ve \( \angle ABC = \angle EDC \) olur.
Böylece, A.A. (Açı-Açı) Benzerlik Kriterine göre \( \triangle ABC \sim \triangle EDC \) olur.
📌 Adım 2: Benzerlik Oranını Kurma
Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları eşittir:
Bizden BC uzunluğu isteniyor. İlk iki oranı kullanalım:
\[ \frac{8}{4} = \frac{BC}{5} \]
Denklemi sadeleştirelim:
\[ 2 = \frac{BC}{5} \]
BC uzunluğunu bulmak için her iki tarafı \(5\) ile çarpalım:
\[ BC = 2 \cdot 5 \]
\[ BC = 10 \text{ cm} \]
✅ Sonuç olarak, BC uzunluğu \(10\) cm'dir.
3
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Koordinat düzleminde A(\(2, 3\)) noktasının x-eksenine göre yansıması olan A' noktasının koordinatları nedir? 💡
Çözüm ve Açıklama
Bir noktanın x-eksenine göre yansıması, noktanın y-koordinatının işaretini değiştirirken x-koordinatını sabit bırakır.
📌 Adım 1: Yansıma Kuralını Uygulama
Bir P(\(x, y\)) noktasının x-eksenine göre yansıması P'(\(x, -y\)) noktasıdır.
📌 Adım 2: Koordinatları Yerine Koyma
Verilen A noktasının koordinatları A(\(2, 3\))'tür. Burada \(x=2\) ve \(y=3\)'tür.
Yansıma kuralını uygulayalım:
A'(\(x, -y\)) = A'(\(2, -(3)\))
📌 Adım 3: Sonucu Belirleme
A' noktasının koordinatları A'(\(2, -3\)) olur.
✅ A(\(2, 3\)) noktasının x-eksenine göre yansıması olan A' noktasının koordinatları A'(\(2, -3\))'tür.
4
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Koordinat düzleminde köşeleri A(\(1, 2\)), B(\(4, 2\)) ve C(\(1, 5\)) olan bir ABC üçgeni veriliyor.
Bu üçgenin y-eksenine göre yansıması olan A'B'C' üçgeninin köşelerinin koordinatlarını bulunuz. 📐
Çözüm ve Açıklama
Bir noktanın y-eksenine göre yansıması, noktanın x-koordinatının işaretini değiştirirken y-koordinatını sabit bırakır.
📌 Adım 1: Yansıma Kuralını Uygulama
Bir P(\(x, y\)) noktasının y-eksenine göre yansıması P'(\(-x, y\)) noktasıdır.
✅ ABC üçgeninin y-eksenine göre yansıması olan A'B'C' üçgeninin köşelerinin koordinatları A'(\(-1, 2\)), B'(\(-4, 2\)) ve C'(\(-1, 5\))'tir.
Unutmayın ki yansıma, şeklin boyutunu ve biçimini değiştirmez, sadece konumunu ve yönünü değiştirir. Bu nedenle, yansıyan üçgen (A'B'C') orijinal üçgen (ABC) ile eş (kongruent) ve dolayısıyla benzerdir (benzerlik oranı 1:1'dir).
5
Çözümlü Soru
Zor Seviye
Bir ABCD yamuğunda AB // DC'dir. Köşegenler K noktasında kesişmektedir.
Eğer AB = \(12\) cm, DC = \(4\) cm ve DK = \(3\) cm ise, KB uzunluğu kaç cm'dir? 🛣️
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde, yamuğun köşegenlerinin kesişim noktasında oluşan kelebek benzerliğini kullanacağız.
📌 Adım 1: Benzer Üçgenleri Belirleme
ABCD yamuğunda AB // DC olduğu için, köşegenlerin kesiştiği K noktasında \( \triangle ABK \) ve \( \triangle CDK \) üçgenleri oluşur.
👉 AB // DC olduğu için, iç ters açılardan \( \angle KAB = \angle KCD \) ve \( \angle KBA = \angle KDC \) olur.
👉 K noktasındaki açılar (ters açılar) da eşittir: \( \angle AKB = \angle CKD \).
Böylece, A.A. (Açı-Açı) Benzerlik Kriterine göre \( \triangle ABK \sim \triangle CDK \) olur.
📌 Adım 2: Benzerlik Oranını Kurma
Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları eşittir:
Bizden KB uzunluğu isteniyor. İlk ve üçüncü oranları kullanalım:
\[ \frac{12}{4} = \frac{KB}{3} \]
Denklemi sadeleştirelim:
\[ 3 = \frac{KB}{3} \]
KB uzunluğunu bulmak için her iki tarafı \(3\) ile çarpalım:
\[ KB = 3 \cdot 3 \]
\[ KB = 9 \text{ cm} \]
✅ Sonuç olarak, KB uzunluğu \(9\) cm'dir.
6
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
Bir mühendis, bir binanın yüksekliğini ölçmek için aşağıdaki yöntemi kullanıyor:
Mühendis, yerden \(1.8\) metre yükseklikteki göz hizasından binanın tepesine bakıyor.
Mühendis ile bina arasında, mühendisten \(5\) metre uzaklıkta, yerden dikey olarak \(2.4\) metre yüksekliğinde bir direk bulunuyor. Mühendis, direğin tepesi ile binanın tepesini aynı hizada görüyor.
Mühendisin binadan uzaklığı \(30\) metre olduğuna göre, binanın yüksekliği kaç metredir? (Göz hizası ile yer arasındaki mesafe dikkate alınmalıdır.) 🏗️
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde, benzer üçgenler oluşturarak binanın yüksekliğini bulacağız.
📌 Adım 1: Şekli Zihinde Canlandırma ve Gerekli Uzunlukları Belirleme
Mühendisin göz hizası ile yer arasındaki mesafe \(1.8\) metredir. Bu, tüm yükseklik ölçümlerinde referans noktasıdır.
👉 Direğin mühendisin göz hizasının üzerindeki kısmı: \(2.4 - 1.8 = 0.6\) metre.
👉 Direğin mühendise olan yatay uzaklığı: \(5\) metre.
👉 Binanın mühendise olan yatay uzaklığı: \(30\) metre.
📌 Adım 2: Benzer Üçgenleri Oluşturma
Mühendisin göz hizasından binanın tepesine ve direğin tepesine çizilen hayali bir doğru ile yatay bir doğru, benzer üçgenler oluşturur.
Küçük üçgen: Tepe noktası mühendisin gözü, tabanı direğin göz hizasının üstündeki kısmı, yatay kenarı mühendisten direğe olan uzaklık.
Büyük üçgen: Tepe noktası mühendisin gözü, tabanı binanın göz hizasının üstündeki kısmı, yatay kenarı mühendisten binaya olan uzaklık.
Bu iki üçgen A.A. benzerliği ile benzerdir (ortak açı ve paralel yatay çizgiler nedeniyle).
📌 Adım 3: Benzerlik Oranını Kurma ve Çözüm
Benzer üçgenlerde kenar oranları eşit olacaktır:
\[ \frac{\text{Direğin Göz Hizası Üstü Yüksekliği}}{\text{Binanın Göz Hizası Üstü Yüksekliği}} = \frac{\text{Mühendis-Direk Uzaklığı}}{\text{Mühendis-Bina Uzaklığı}} \]
Bilinen değerleri yerine koyalım:
\[ \frac{0.6}{\text{Binanın Göz Hizası Üstü Yüksekliği}} = \frac{5}{30} \]
Denklemi sadeleştirelim:
\[ \frac{0.6}{\text{Binanın Göz Hizası Üstü Yüksekliği}} = \frac{1}{6} \]
İçler dışlar çarpımı yapalım:
Binanın Göz Hizası Üstü Yüksekliği \( = 0.6 \cdot 6 \)
Binanın Göz Hizası Üstü Yüksekliği \( = 3.6 \) metre.
📌 Adım 4: Binanın Toplam Yüksekliğini Bulma
Bu bulduğumuz değer, binanın mühendisin göz hizasının üzerindeki kısmıdır. Binanın toplam yüksekliği için mühendisin göz hizası yüksekliğini eklemeliyiz:
Binanın Toplam Yüksekliği \( = 3.6 + 1.8 \)
Binanın Toplam Yüksekliği \( = 5.4 \) metre.
✅ Binanın yüksekliği \(5.4\) metredir.
7
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Güneşli bir günde, \(2\) metre boyundaki Ahmet'in gölgesinin uzunluğu \(3\) metredir.
Aynı anda ve aynı yerde, bir ağacın gölgesinin uzunluğu \(15\) metre olarak ölçülmüştür.
Bu bilgilere göre ağacın boyu kaç metredir? 🌳
Çözüm ve Açıklama
Bu problem, Güneş ışınlarının paralel gelmesi nedeniyle oluşan benzer üçgenler prensibine dayanır.
📌 Adım 1: Şekli Zihinde Canlandırma ve Benzer Üçgenleri Belirleme
Güneş ışınları, hem Ahmet'e hem de ağaca aynı açıyla gelir. Bu durumda, Ahmet ve gölgesi ile ağaç ve gölgesi arasında iki dik üçgen oluşur.
👉 Her iki üçgende de yere dik duran nesneler (\(90^\circ\)) ve Güneş'in geliş açısı (\(\alpha\)) aynıdır.
Bu nedenle, A.A. (Açı-Açı) Benzerlik Kriterine göre bu iki üçgen benzerdir.
📌 Adım 2: Benzerlik Oranını Kurma
Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları eşit olacaktır:
İçler dışlar çarpımı yaparak Ağacın Boyu'nu bulalım:
\[ 1 \cdot \text{Ağacın Boyu} = 2 \cdot 5 \]
\[ \text{Ağacın Boyu} = 10 \text{ metre} \]
✅ Ağacın boyu \(10\) metredir.
8
Çözümlü Soru
Zor Seviye
Koordinat düzleminde A(\(3, 1\)) noktasının önce y-eksenine göre yansıması alınıyor ve bu nokta A' olarak adlandırılıyor.
Daha sonra A' noktasının orijine (başlangıç noktasına) göre yansıması alınıyor ve bu nokta A'' olarak adlandırılıyor.
A'' noktasının koordinatları nedir? 🌀
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde, ardışık iki yansıma işlemi yapacağız.
📌 Adım 1: A noktasının y-eksenine göre yansımasını bulma (A')
Bir P(\(x, y\)) noktasının y-eksenine göre yansıması P'(\(-x, y\)) noktasıdır.
A(\(3, 1\)) noktasını bu kurala göre yansıtalım:
A'(\(-(3), 1\)) = A'(\(-3, 1\))
📌 Adım 2: A' noktasının orijine göre yansımasını bulma (A'')
Bir P(\(x, y\)) noktasının orijine göre yansıması P''(\(-x, -y\)) noktasıdır.
Şimdi A'(\(-3, 1\)) noktasını bu kurala göre yansıtalım:
9. Sınıf Matematik: Benzer üçgenler oluşturma ve yansıtma Çözümlü Sorular
Soru 1:
Bir ABC üçgeninde, AB kenarı üzerinde D noktası ve AC kenarı üzerinde E noktası alınıyor.
DE doğru parçası BC doğru parçasına paraleldir.
Eğer AD = \(3\) cm, DB = \(6\) cm ve AE = \(4\) cm ise, EC uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Bu problemde Temel Benzerlik Teoremi'ni (Tales Teoremi) kullanacağız.
📌 Adım 1: Benzer Üçgenleri Belirleme
DE // BC olduğundan, ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. Bunun nedeni şunlardır:
👉 A açısı her iki üçgende de ortak açıdır.
👉 DE // BC olduğu için, yöndeş açılardan \( \angle ADE = \angle ABC \) ve \( \angle AED = \angle ACB \) olur.
Böylece, A.A. (Açı-Açı) Benzerlik Kriterine göre \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) olur.
📌 Adım 2: Benzerlik Oranını Kurma
Temel Benzerlik Teoremi'ne göre, paralel bir doğru üçgenin kenarlarını orantılı böler:
\[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \]
📌 Adım 3: Değerleri Yerine Koyma ve Çözüm
Verilen değerleri formülde yerine koyalım:
AD = \(3\) cm, DB = \(6\) cm, AE = \(4\) cm
\[ \frac{3}{6} = \frac{4}{EC} \]
Denklemi sadeleştirelim:
\[ \frac{1}{2} = \frac{4}{EC} \]
İçler dışlar çarpımı yaparak EC uzunluğunu bulalım:
\[ 1 \cdot EC = 2 \cdot 4 \]
\[ EC = 8 \text{ cm} \]
✅ Sonuç olarak, EC uzunluğu \(8\) cm'dir.
Soru 2:
Bir ABC üçgeni ile EDC üçgeni verilmiştir.
A noktası, E noktası ve C noktası doğrusaldır. B noktası, D noktası ve C noktası doğrusaldır.
Eğer AB // ED ise ve AB = \(8\) cm, ED = \(4\) cm, DC = \(5\) cm ise, BC uzunluğu kaç cm'dir? 🧐
Çözüm:
Bu problemde kelebek benzerliği (kum saati benzerliği) kullanacağız.
📌 Adım 1: Benzer Üçgenleri Belirleme
AB // ED olduğu için, ABC üçgeni ile EDC üçgeni benzerdir. Bunun nedenleri şunlardır:
👉 C açısı her iki üçgende de ortak açıdır (ters açılar).
👉 AB // ED olduğu için, iç ters açılardan \( \angle BAC = \angle DEC \) ve \( \angle ABC = \angle EDC \) olur.
Böylece, A.A. (Açı-Açı) Benzerlik Kriterine göre \( \triangle ABC \sim \triangle EDC \) olur.
📌 Adım 2: Benzerlik Oranını Kurma
Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları eşittir:
Bizden BC uzunluğu isteniyor. İlk iki oranı kullanalım:
\[ \frac{8}{4} = \frac{BC}{5} \]
Denklemi sadeleştirelim:
\[ 2 = \frac{BC}{5} \]
BC uzunluğunu bulmak için her iki tarafı \(5\) ile çarpalım:
\[ BC = 2 \cdot 5 \]
\[ BC = 10 \text{ cm} \]
✅ Sonuç olarak, BC uzunluğu \(10\) cm'dir.
Soru 3:
Koordinat düzleminde A(\(2, 3\)) noktasının x-eksenine göre yansıması olan A' noktasının koordinatları nedir? 💡
Çözüm:
Bir noktanın x-eksenine göre yansıması, noktanın y-koordinatının işaretini değiştirirken x-koordinatını sabit bırakır.
📌 Adım 1: Yansıma Kuralını Uygulama
Bir P(\(x, y\)) noktasının x-eksenine göre yansıması P'(\(x, -y\)) noktasıdır.
📌 Adım 2: Koordinatları Yerine Koyma
Verilen A noktasının koordinatları A(\(2, 3\))'tür. Burada \(x=2\) ve \(y=3\)'tür.
Yansıma kuralını uygulayalım:
A'(\(x, -y\)) = A'(\(2, -(3)\))
📌 Adım 3: Sonucu Belirleme
A' noktasının koordinatları A'(\(2, -3\)) olur.
✅ A(\(2, 3\)) noktasının x-eksenine göre yansıması olan A' noktasının koordinatları A'(\(2, -3\))'tür.
Soru 4:
Koordinat düzleminde köşeleri A(\(1, 2\)), B(\(4, 2\)) ve C(\(1, 5\)) olan bir ABC üçgeni veriliyor.
Bu üçgenin y-eksenine göre yansıması olan A'B'C' üçgeninin köşelerinin koordinatlarını bulunuz. 📐
Çözüm:
Bir noktanın y-eksenine göre yansıması, noktanın x-koordinatının işaretini değiştirirken y-koordinatını sabit bırakır.
📌 Adım 1: Yansıma Kuralını Uygulama
Bir P(\(x, y\)) noktasının y-eksenine göre yansıması P'(\(-x, y\)) noktasıdır.
✅ ABC üçgeninin y-eksenine göre yansıması olan A'B'C' üçgeninin köşelerinin koordinatları A'(\(-1, 2\)), B'(\(-4, 2\)) ve C'(\(-1, 5\))'tir.
Unutmayın ki yansıma, şeklin boyutunu ve biçimini değiştirmez, sadece konumunu ve yönünü değiştirir. Bu nedenle, yansıyan üçgen (A'B'C') orijinal üçgen (ABC) ile eş (kongruent) ve dolayısıyla benzerdir (benzerlik oranı 1:1'dir).
Soru 5:
Bir ABCD yamuğunda AB // DC'dir. Köşegenler K noktasında kesişmektedir.
Eğer AB = \(12\) cm, DC = \(4\) cm ve DK = \(3\) cm ise, KB uzunluğu kaç cm'dir? 🛣️
Çözüm:
Bu problemde, yamuğun köşegenlerinin kesişim noktasında oluşan kelebek benzerliğini kullanacağız.
📌 Adım 1: Benzer Üçgenleri Belirleme
ABCD yamuğunda AB // DC olduğu için, köşegenlerin kesiştiği K noktasında \( \triangle ABK \) ve \( \triangle CDK \) üçgenleri oluşur.
👉 AB // DC olduğu için, iç ters açılardan \( \angle KAB = \angle KCD \) ve \( \angle KBA = \angle KDC \) olur.
👉 K noktasındaki açılar (ters açılar) da eşittir: \( \angle AKB = \angle CKD \).
Böylece, A.A. (Açı-Açı) Benzerlik Kriterine göre \( \triangle ABK \sim \triangle CDK \) olur.
📌 Adım 2: Benzerlik Oranını Kurma
Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları eşittir:
Bizden KB uzunluğu isteniyor. İlk ve üçüncü oranları kullanalım:
\[ \frac{12}{4} = \frac{KB}{3} \]
Denklemi sadeleştirelim:
\[ 3 = \frac{KB}{3} \]
KB uzunluğunu bulmak için her iki tarafı \(3\) ile çarpalım:
\[ KB = 3 \cdot 3 \]
\[ KB = 9 \text{ cm} \]
✅ Sonuç olarak, KB uzunluğu \(9\) cm'dir.
Soru 6:
Bir mühendis, bir binanın yüksekliğini ölçmek için aşağıdaki yöntemi kullanıyor:
Mühendis, yerden \(1.8\) metre yükseklikteki göz hizasından binanın tepesine bakıyor.
Mühendis ile bina arasında, mühendisten \(5\) metre uzaklıkta, yerden dikey olarak \(2.4\) metre yüksekliğinde bir direk bulunuyor. Mühendis, direğin tepesi ile binanın tepesini aynı hizada görüyor.
Mühendisin binadan uzaklığı \(30\) metre olduğuna göre, binanın yüksekliği kaç metredir? (Göz hizası ile yer arasındaki mesafe dikkate alınmalıdır.) 🏗️
Çözüm:
Bu problemde, benzer üçgenler oluşturarak binanın yüksekliğini bulacağız.
📌 Adım 1: Şekli Zihinde Canlandırma ve Gerekli Uzunlukları Belirleme
Mühendisin göz hizası ile yer arasındaki mesafe \(1.8\) metredir. Bu, tüm yükseklik ölçümlerinde referans noktasıdır.
👉 Direğin mühendisin göz hizasının üzerindeki kısmı: \(2.4 - 1.8 = 0.6\) metre.
👉 Direğin mühendise olan yatay uzaklığı: \(5\) metre.
👉 Binanın mühendise olan yatay uzaklığı: \(30\) metre.
📌 Adım 2: Benzer Üçgenleri Oluşturma
Mühendisin göz hizasından binanın tepesine ve direğin tepesine çizilen hayali bir doğru ile yatay bir doğru, benzer üçgenler oluşturur.
Küçük üçgen: Tepe noktası mühendisin gözü, tabanı direğin göz hizasının üstündeki kısmı, yatay kenarı mühendisten direğe olan uzaklık.
Büyük üçgen: Tepe noktası mühendisin gözü, tabanı binanın göz hizasının üstündeki kısmı, yatay kenarı mühendisten binaya olan uzaklık.
Bu iki üçgen A.A. benzerliği ile benzerdir (ortak açı ve paralel yatay çizgiler nedeniyle).
📌 Adım 3: Benzerlik Oranını Kurma ve Çözüm
Benzer üçgenlerde kenar oranları eşit olacaktır:
\[ \frac{\text{Direğin Göz Hizası Üstü Yüksekliği}}{\text{Binanın Göz Hizası Üstü Yüksekliği}} = \frac{\text{Mühendis-Direk Uzaklığı}}{\text{Mühendis-Bina Uzaklığı}} \]
Bilinen değerleri yerine koyalım:
\[ \frac{0.6}{\text{Binanın Göz Hizası Üstü Yüksekliği}} = \frac{5}{30} \]
Denklemi sadeleştirelim:
\[ \frac{0.6}{\text{Binanın Göz Hizası Üstü Yüksekliği}} = \frac{1}{6} \]
İçler dışlar çarpımı yapalım:
Binanın Göz Hizası Üstü Yüksekliği \( = 0.6 \cdot 6 \)
Binanın Göz Hizası Üstü Yüksekliği \( = 3.6 \) metre.
📌 Adım 4: Binanın Toplam Yüksekliğini Bulma
Bu bulduğumuz değer, binanın mühendisin göz hizasının üzerindeki kısmıdır. Binanın toplam yüksekliği için mühendisin göz hizası yüksekliğini eklemeliyiz:
Binanın Toplam Yüksekliği \( = 3.6 + 1.8 \)
Binanın Toplam Yüksekliği \( = 5.4 \) metre.
✅ Binanın yüksekliği \(5.4\) metredir.
Soru 7:
Güneşli bir günde, \(2\) metre boyundaki Ahmet'in gölgesinin uzunluğu \(3\) metredir.
Aynı anda ve aynı yerde, bir ağacın gölgesinin uzunluğu \(15\) metre olarak ölçülmüştür.
Bu bilgilere göre ağacın boyu kaç metredir? 🌳
Çözüm:
Bu problem, Güneş ışınlarının paralel gelmesi nedeniyle oluşan benzer üçgenler prensibine dayanır.
📌 Adım 1: Şekli Zihinde Canlandırma ve Benzer Üçgenleri Belirleme
Güneş ışınları, hem Ahmet'e hem de ağaca aynı açıyla gelir. Bu durumda, Ahmet ve gölgesi ile ağaç ve gölgesi arasında iki dik üçgen oluşur.
👉 Her iki üçgende de yere dik duran nesneler (\(90^\circ\)) ve Güneş'in geliş açısı (\(\alpha\)) aynıdır.
Bu nedenle, A.A. (Açı-Açı) Benzerlik Kriterine göre bu iki üçgen benzerdir.
📌 Adım 2: Benzerlik Oranını Kurma
Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları eşit olacaktır:
İçler dışlar çarpımı yaparak Ağacın Boyu'nu bulalım:
\[ 1 \cdot \text{Ağacın Boyu} = 2 \cdot 5 \]
\[ \text{Ağacın Boyu} = 10 \text{ metre} \]
✅ Ağacın boyu \(10\) metredir.
Soru 8:
Koordinat düzleminde A(\(3, 1\)) noktasının önce y-eksenine göre yansıması alınıyor ve bu nokta A' olarak adlandırılıyor.
Daha sonra A' noktasının orijine (başlangıç noktasına) göre yansıması alınıyor ve bu nokta A'' olarak adlandırılıyor.
A'' noktasının koordinatları nedir? 🌀
Çözüm:
Bu problemde, ardışık iki yansıma işlemi yapacağız.
📌 Adım 1: A noktasının y-eksenine göre yansımasını bulma (A')
Bir P(\(x, y\)) noktasının y-eksenine göre yansıması P'(\(-x, y\)) noktasıdır.
A(\(3, 1\)) noktasını bu kurala göre yansıtalım:
A'(\(-(3), 1\)) = A'(\(-3, 1\))
📌 Adım 2: A' noktasının orijine göre yansımasını bulma (A'')
Bir P(\(x, y\)) noktasının orijine göre yansıması P''(\(-x, -y\)) noktasıdır.
Şimdi A'(\(-3, 1\)) noktasını bu kurala göre yansıtalım: