🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Bir Üçgenden Benzer Üçgenler Oluşturma Çözümlü Sorular
9. Sınıf Matematik: Bir Üçgenden Benzer Üçgenler Oluşturma Çözümlü Sorular
Soru 1:
Bir ABC üçgeni düşünelim. Bu üçgenin AB kenarı üzerinde bir D noktası ve AC kenarı üzerinde bir E noktası alınıyor. DE doğru parçası, BC kenarına paraleldir. Yani, \( DE \parallel BC \).
Eğer \( AD = 3 \) cm, \( DB = 6 \) cm ve \( AE = 4 \) cm ise, EC uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Eğer \( AD = 3 \) cm, \( DB = 6 \) cm ve \( AE = 4 \) cm ise, EC uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Bu tür sorularda, paralel doğruların oluşturduğu benzer üçgenler prensibini kullanırız. 📌
- DE doğru parçası, BC kenarına paralel olduğu için, ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. Bu benzerliği Temel Benzerlik Teoremi (Thales Teoremi'nin bir sonucu) sayesinde biliyoruz.
- Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranları ile bulunur.
- AD kenarının AB kenarına oranı, AE kenarının AC kenarına oranına eşittir.
- Öncelikle AB uzunluğunu bulalım: \( AB = AD + DB = 3 + 6 = 9 \) cm.
- Şimdi benzerlik oranını kuralım: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \] \[ \frac{3}{9} = \frac{4}{AC} \]
- Denklemi çözerek AC uzunluğunu bulalım: \[ 3 \cdot AC = 9 \cdot 4 \] \[ 3 \cdot AC = 36 \] \[ AC = \frac{36}{3} \] \[ AC = 12 \] cm.
- Bizden EC uzunluğu isteniyor. AC uzunluğunu ve AE uzunluğunu biliyoruz: \[ EC = AC - AE \] \[ EC = 12 - 4 \] \[ EC = 8 \] cm.
Soru 2:
Bir ABC üçgeninde, A açısının ölçüsü \( 50^\circ \), B açısının ölçüsü \( 70^\circ \) olarak verilmiştir. Bu üçgenin içinde, BC kenarına paralel olacak şekilde bir DE doğru parçası çiziliyor. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir. ADE üçgeninin D açısının ölçüsü nedir? 💡
Çözüm:
Bu problemde, paralel doğruların ve benzer üçgenlerin açı özelliklerini kullanacağız. 📐
- Öncelikle ABC üçgeninin C açısının ölçüsünü bulalım. Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğundan: \[ A + B + C = 180^\circ \] \[ 50^\circ + 70^\circ + C = 180^\circ \] \[ 120^\circ + C = 180^\circ \] \[ C = 180^\circ - 120^\circ \] \[ C = 60^\circ \]
- DE doğru parçası, BC kenarına paralel olduğu için, ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir.
- Paralel doğrular arasındaki açılar eşittir. Bu durumda:
- ADE üçgenindeki D açısı (yani \( \angle ADE \)), ABC üçgenindeki B açısına (yani \( \angle ABC \)) eşittir, çünkü bunlar yöndeş açılardır.
- ADE üçgenindeki E açısı (yani \( \angle AED \)), ABC üçgenindeki C açısına (yani \( \angle ACB \)) eşittir, çünkü bunlar da yöndeş açılardır.
- Verilenlere göre \( \angle ABC = 70^\circ \) idi.
- Dolayısıyla, ADE üçgenindeki D açısının ölçüsü: \[ \angle ADE = \angle ABC = 70^\circ \]
Soru 3:
Bir mühendis, bir binanın yüksekliğini ölçmek için şekildeki gibi bir yöntem kullanıyor (şekil metinsel olarak betimlenmiştir):
Mühendis, yerden 1.5 metre yüksekliğindeki bir gözlem noktasından (A noktası), binanın tepesini (C noktası) görmektedir. Mühendis, kendisinden 6 metre uzaklıktaki (A noktasından B noktasına kadar olan yatay mesafe) bir direğin tepesini (D noktası) de binanın tepesiyle aynı hizada görmektedir. Direğin yüksekliği 3.5 metredir. (Direk yere diktir.)
Mühendisin gözlem noktası ile direk arasındaki mesafe 6 metre, direk ile bina arasındaki mesafe 18 metredir. Binanın yüksekliği kaç metredir? (Gözlem noktasının yerden yüksekliği ile direğin yüksekliği aynı yatay referans çizgisinden ölçülmektedir.) 📏
Mühendis, yerden 1.5 metre yüksekliğindeki bir gözlem noktasından (A noktası), binanın tepesini (C noktası) görmektedir. Mühendis, kendisinden 6 metre uzaklıktaki (A noktasından B noktasına kadar olan yatay mesafe) bir direğin tepesini (D noktası) de binanın tepesiyle aynı hizada görmektedir. Direğin yüksekliği 3.5 metredir. (Direk yere diktir.)
Mühendisin gözlem noktası ile direk arasındaki mesafe 6 metre, direk ile bina arasındaki mesafe 18 metredir. Binanın yüksekliği kaç metredir? (Gözlem noktasının yerden yüksekliği ile direğin yüksekliği aynı yatay referans çizgisinden ölçülmektedir.) 📏
Çözüm:
Bu problemde, benzer üçgenler oluşturarak binanın yüksekliğini bulabiliriz. 🏗️
- Öncelikle, gözlem noktasının yerden yüksekliği \( 1.5 \) metre olduğu için, tüm yükseklikleri bu referans noktasından itibaren düşünelim.
- Direğin tepesi D noktasının gözlem noktası hizasından yüksekliği: \( 3.5 - 1.5 = 2 \) metredir.
- Binanın tepesi C noktasının gözlem noktası hizasından yüksekliğine \( h \) diyelim.
- Gözlem noktasını A, direğin yataydaki yerini B, binanın yataydaki yerini E olarak düşünelim.
- Mühendisin gözlem noktasından direğe kadar olan yatay mesafe (AB) = \( 6 \) metredir.
- Direkten binaya kadar olan yatay mesafe (BE) = \( 18 \) metredir.
- Gözlem noktasından binaya kadar olan toplam yatay mesafe (AE) = \( 6 + 18 = 24 \) metredir.
- A noktasından çıkan görüş çizgisi, direğin tepesi D'den ve binanın tepesi C'den geçmektedir. Bu durumda, gözlem noktasının hizasından direğin tepesine ve binanın tepesine dikmeler indirerek iki benzer üçgen oluştururuz.
- Küçük üçgen: Gözlem noktasından direğin tepesine kadar olan kısım. Yatay kenarı \( 6 \) metre, dikey kenarı \( 2 \) metredir.
- Büyük üçgen: Gözlem noktasından binanın tepesine kadar olan kısım. Yatay kenarı \( 24 \) metre, dikey kenarı \( h \) metredir.
- Bu iki üçgen benzerdir (Açı-Açı benzerliği, çünkü ikisi de dik üçgen ve A açısını paylaşırlar).
- Benzerlik oranını kullanarak \( h \) değerini bulalım: \[ \frac{\text{Küçük üçgenin dikey kenarı}}{\text{Büyük üçgenin dikey kenarı}} = \frac{\text{Küçük üçgenin yatay kenarı}}{\text{Büyük üçgenin yatay kenarı}} \] \[ \frac{2}{h} = \frac{6}{24} \]
- Denklemi çözelim: \[ 6 \cdot h = 2 \cdot 24 \] \[ 6 \cdot h = 48 \] \[ h = \frac{48}{6} \] \[ h = 8 \] metredir.
- Bu \( h \) değeri, binanın tepesinin gözlem noktasının hizasından yüksekliğidir. Binanın yerden yüksekliğini bulmak için buna mühendisin gözlem noktasının yerden yüksekliğini eklemeliyiz: \[ \text{Binanın yüksekliği} = h + 1.5 \] \[ \text{Binanın yüksekliği} = 8 + 1.5 \] \[ \text{Binanın yüksekliği} = 9.5 \] metre.
Soru 4:
Ayşe, bir ağacın boyunu tahmin etmek istiyor. Güneşli bir günde, Ayşe'nin boyu \( 1.6 \) metre ve gölgesinin uzunluğu \( 2 \) metredir. Aynı anda ağacın gölgesinin uzunluğu ise \( 15 \) metredir. Buna göre ağacın boyu yaklaşık olarak kaç metredir? 🌳
Çözüm:
Bu problem, güneş ışınlarının paralel geldiği varsayımına dayanarak benzer üçgenler oluştururuz. ☀️
- Güneş ışınları, hem Ayşe hem de ağaç için aynı açıyla yere düşer. Bu durum, Ayşe'nin boyu ve gölgesi ile ağacın boyu ve gölgesi arasında iki benzer dik üçgen oluşturur.
- Ayşe'nin üçgeni:
- Dikey kenar (boyu) = \( 1.6 \) metre
- Yatay kenar (gölgesi) = \( 2 \) metre
- Ağacın üçgeni:
- Dikey kenar (boyu) = \( x \) (bilinmeyen)
- Yatay kenar (gölgesi) = \( 15 \) metre
- Bu iki dik üçgen, güneş ışınlarının oluşturduğu açıları eşit olduğu için Açı-Açı (AA) Benzerliği kuralına göre benzerdir.
- Benzerlik oranını kuralım: \[ \frac{\text{Ayşe'nin boyu}}{\text{Ağacın boyu}} = \frac{\text{Ayşe'nin gölgesi}}{\text{Ağacın gölgesi}} \] \[ \frac{1.6}{x} = \frac{2}{15} \]
- Şimdi bu denklemi çözerek \( x \) değerini bulalım: \[ 2 \cdot x = 1.6 \cdot 15 \] \[ 2x = 24 \] \[ x = \frac{24}{2} \] \[ x = 12 \] metre.
Soru 5:
Bir ABC üçgeninde, D noktası AB kenarı üzerinde ve E noktası AC kenarı üzerindedir. DE doğru parçası çizildiğinde, \( \angle ADE = \angle C \) ve \( \angle AED = \angle B \) olduğu görülüyor. Eğer \( AD = 4 \) cm, \( DB = 5 \) cm ve \( DE = 6 \) cm ise, BC uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu problemde, verilen açı eşitliklerinden faydalanarak benzer üçgenleri belirleyeceğiz. 🧠
- Verilenler: \( \angle ADE = \angle C \) ve \( \angle AED = \angle B \).
- ADE üçgeni ile ABC üçgenini inceleyelim:
- \( \angle A \) açısı hem ADE üçgeninde hem de ABC üçgeninde ortaktır.
- \( \angle ADE = \angle C \) (verilmiş)
- \( \angle AED = \angle B \) (verilmiş)
- Üç açısı da eşit olduğu için (Açı-Açı-Açı benzerliği), ADE üçgeni, ABC üçgenine benzerdir.
- Benzerlik oranını yazarken, karşılıklı kenarları doğru eşleştirmek çok önemlidir. Eşit açıların karşısındaki kenarlar oranlanır.
- \( \angle A \) karşısında ADE üçgeninde DE, ABC üçgeninde BC bulunur.
- \( \angle ADE \) karşısında AE, \( \angle C \) karşısında AB bulunur.
- \( \angle AED \) karşısında AD, \( \angle B \) karşısında AC bulunur.
- Verilen kenar uzunlukları: \( AD = 4 \) cm, \( DB = 5 \) cm, \( DE = 6 \) cm.
- Öncelikle AB uzunluğunu bulalım: \( AB = AD + DB = 4 + 5 = 9 \) cm.
- Şimdi benzerlik oranını kuralım: \[ \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{DE}{BC} \] Bizden BC uzunluğu istendiği için, DE ve BC oranını kullanacağız. Ayrıca AD ve AB uzunluklarını biliyoruz. \[ \frac{AD}{AC} = \frac{DE}{BC} \] (Bu oran yanlış olur, çünkü AD'nin karşısı E açısı, AC'nin karşısı B açısıdır. Açıları eşleşen kenarları oranlamalıyız.) Doğru benzerlik eşleşmesi: \( \triangle ADE \sim \triangle ACB \) dir. Çünkü: \( \angle A = \angle A \), \( \angle ADE = \angle C \), \( \angle AED = \angle B \). Yani: \[ \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{DE}{CB} \]
- Verilen değerleri yerine yazalım: \[ \frac{AD}{AC} = \frac{DE}{CB} \] \[ \frac{4}{AC} = \frac{6}{CB} \] Bu oran bize direkt CB'yi vermez, AC'yi de bilmiyoruz. AE ve AB oranını kullanalım: \[ \frac{AE}{AB} = \frac{DE}{CB} \] Yine AE'yi bilmiyoruz. Burada dikkat etmemiz gereken, \( \triangle ADE \sim \triangle ACB \) benzerliği olduğu için, kenarların oranını yazarken: \( \angle A \) karşısındaki kenar DE, \( \angle A \) karşısındaki kenar CB'dir. \( \angle ADE \) karşısındaki kenar AE, \( \angle C \) karşısındaki kenar AB'dir. \( \angle AED \) karşısındaki kenar AD, \( \angle B \) karşısındaki kenar AC'dir. Yani oranlar: \[ \frac{DE}{CB} = \frac{AE}{AB} = \frac{AD}{AC} \]
- Şimdi bildiğimiz değerleri kullanalım: \( DE = 6 \), \( AB = 9 \), \( AD = 4 \). \[ \frac{DE}{CB} = \frac{AD}{AC} \] (AE/AB oranını kullanamayız, AE bilinmiyor.) Bu durumda, soruda verilen açı eşitlikleri \( \angle ADE = \angle C \) ve \( \angle AED = \angle B \) demek, \( \triangle ADE \) ile \( \triangle ABC \) benzer değil, aksine \( \triangle ADE \sim \triangle ACB \) benzerliğidir. Eğer \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) olsaydı, \( \angle ADE = \angle B \) ve \( \angle AED = \angle C \) olurdu. Soruda verilen bilgiye göre: \( \angle A \) (ortak) \( \angle ADE = \angle C \) \( \angle AED = \angle B \) Bu durumda doğru benzerlik eşleşmesi \( \triangle ADE \sim \triangle ACB \) şeklindedir. Yani, A açısı A açısı ile, D açısı C açısı ile, E açısı B açısı ile eşleşir. Kenar oranları: \[ \frac{AD}{AC} = \frac{DE}{CB} = \frac{AE}{AB} \]
- Bizden BC (yani CB) uzunluğu isteniyor. Bildiğimiz kenarlar AD, DB, DE. Buradan AB'yi biliyoruz: \( AB = AD + DB = 4 + 5 = 9 \) cm.
- Şu oranı kullanabiliriz: \[ \frac{DE}{CB} = \frac{AE}{AB} \] Ama AE'yi bilmiyoruz. Soruda bir eksik bilgi veya farklı bir yaklaşım olabilir. Ancak 9. sınıf müfredatında bu tarz sorularda genellikle \( \angle ADE = \angle B \) ve \( \angle AED = \angle C \) verilir ve \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) benzerliği kurulur. Eğer soru metnindeki açı eşitlikleri doğruysa ve \( \triangle ADE \sim \triangle ACB \) ise: \[ \frac{AD}{AC} = \frac{DE}{CB} = \frac{AE}{AB} \] Bu durumda \( \frac{DE}{CB} = \frac{AE}{AB} \) oranını kullanmalıyız. Ancak AE'yi bulmak için AC'yi bilmemiz gerekir. Tekrar kontrol edelim: \( AD=4 \), \( DB=5 \), \( DE=6 \). \( AB = 9 \). Eğer \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) olsaydı: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \] \[ \frac{4}{9} = \frac{6}{BC} \] \[ 4 \cdot BC = 9 \cdot 6 \] \[ 4 \cdot BC = 54 \] \[ BC = \frac{54}{4} = \frac{27}{2} = 13.5 \] cm. Ama soru \( \angle ADE = \angle C \) ve \( \angle AED = \angle B \) diyor. Bu durumda \( \triangle ADE \sim \triangle ACB \). Benzerlik oranları: \[ \frac{AD}{AC} = \frac{DE}{CB} = \frac{AE}{AB} \] Burada AD ve AB biliniyor. AE ve AC bilinmiyor. Bu durumda sadece tek bir oran üzerinden sonuca ulaşamayız. Ancak 9. sınıf seviyesinde bu tarz bir soru genelde \( \angle ADE = \angle B \) ve \( \angle AED = \angle C \) şeklinde verilir. Soru metninin klasik benzer üçgen oluşturma mantığına uygun olduğunu varsayarak, muhtemelen bir yazım hatası olduğunu ve aslında \( \angle ADE = \angle B \) ve \( \angle AED = \angle C \) kastedildiğini kabul edelim. Bu durumda \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) olur. Eğer böyleyse: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \] \[ \frac{4}{4+5} = \frac{6}{BC} \] \[ \frac{4}{9} = \frac{6}{BC} \] \[ 4 \cdot BC = 9 \cdot 6 \] \[ 4 \cdot BC = 54 \] \[ BC = \frac{54}{4} \] \[ BC = 13.5 \] cm. Bu senaryo 9. sınıf müfredatına daha uygun ve tek bilinmeyenli bir çözüm sunar. Eğer soru metni birebir doğruysa (yani \( \angle ADE = \angle C \) ve \( \angle AED = \angle B \)), o zaman bu soruyu çözmek için AC veya AE'den birine daha ihtiyaç duyarız. 9. sınıf pedagojisine uygun olarak, ilk varsayımı (klasik benzerlik) kullanıyorum.
Soru 6:
Kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan bir ABC üçgeni veriliyor. Bu üçgene benzer olan ve benzerlik oranı \( k = \frac{1}{2} \) olan bir DEF üçgeninin çevre uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Benzer üçgenlerde çevre uzunlukları oranı, benzerlik oranına eşittir. 💡
- Öncelikle ABC üçgeninin çevre uzunluğunu bulalım: \[ \text{Çevre(ABC)} = 6 + 8 + 10 \] \[ \text{Çevre(ABC)} = 24 \] cm.
- ABC üçgeni ile DEF üçgeninin benzerlik oranı \( k = \frac{1}{2} \) olarak verilmiştir.
- Benzer üçgenlerde çevre uzunluklarının oranı, benzerlik oranına eşittir: \[ \frac{\text{Çevre(DEF)}}{\text{Çevre(ABC)}} = k \] \[ \frac{\text{Çevre(DEF)}}{24} = \frac{1}{2} \]
- Şimdi DEF üçgeninin çevre uzunluğunu bulalım: \[ 2 \cdot \text{Çevre(DEF)} = 24 \cdot 1 \] \[ 2 \cdot \text{Çevre(DEF)} = 24 \] \[ \text{Çevre(DEF)} = \frac{24}{2} \] \[ \text{Çevre(DEF)} = 12 \] cm.
Soru 7:
Bir dik üçgen olan ABC üçgeninde, B açısı dik açıdır (\( \angle B = 90^\circ \)). Hipotenüs AC üzerinde bir D noktası ve BC kenarı üzerinde bir E noktası alınıyor. DE, AB'ye paraleldir (\( DE \parallel AB \)).
Eğer \( AB = 8 \) cm, \( BC = 12 \) cm ve \( DE = 6 \) cm ise, CE uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Eğer \( AB = 8 \) cm, \( BC = 12 \) cm ve \( DE = 6 \) cm ise, CE uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Paralel doğruların oluşturduğu benzer üçgenler prensibini kullanacağız. 💡
- DE doğru parçası, AB kenarına paralel olduğu için, CDE üçgeni ile CBA üçgeni benzerdir. (Açı-Açı benzerliği: \( \angle C \) ortaktır, \( \angle CED = \angle CBA = 90^\circ \) yöndeş açılardır veya \( \angle CDE = \angle CAB \) yöndeş açılardır.)
- Benzerlik oranını, karşılıklı kenarların oranları ile buluruz.
- \( \triangle CDE \sim \triangle CBA \) olduğundan: \[ \frac{DE}{BA} = \frac{CE}{CB} = \frac{CD}{CA} \]
- Bize verilen değerler: \( AB = 8 \) cm, \( BC = 12 \) cm, \( DE = 6 \) cm. Bizden CE uzunluğu isteniyor.
- İlk iki oranı kullanalım: \[ \frac{DE}{BA} = \frac{CE}{CB} \] \[ \frac{6}{8} = \frac{CE}{12} \]
- Denklemi çözerek CE uzunluğunu bulalım: \[ 6 \cdot 12 = 8 \cdot CE \] \[ 72 = 8 \cdot CE \] \[ CE = \frac{72}{8} \] \[ CE = 9 \] cm.
Soru 8:
Bir oyun parkında, bir kaydırağın yerden yüksekliği 3 metredir. Kaydırağın merdiveni, zeminle \( 45^\circ \) açı yapmaktadır. Kaydırağın iniş kısmı ise zeminle \( 30^\circ \) açı yapmaktadır. (Bu açılar soruyu basitleştirmek için verilmiştir, benzerlik için dik üçgenler oluşturulacaktır.)
Kaydırağın yüksekliğini kullanarak, kaydırağın alt ucundan merdivenin başladığı noktaya kadar olan yatay mesafeyi (kaydırağın altındaki toplam zemin uzunluğunu) ölçmek isteyen bir çocuk, kaydırağın tam altından 2 metre uzağa bir çubuk dikiyor. Çubuğun boyu 1 metredir. Çocuğun gözlem noktasından (çubuğun tepesinden), kaydırağın en yüksek noktası ve iniş noktasının zemindeki ucu aynı hizada görülmektedir.
Bu senaryoda, benzer üçgenler prensibini kullanarak kaydırağın yüksekliğinin 3 metre olduğunu biliyorsak, çocuğun çubuğu diktiği noktadan kaydırağın iniş noktasının zemindeki ucuna kadar olan mesafeyi bulunuz. (Çubuk yere diktir ve çocuğun gözlem noktası çubuğun tepesidir.) 🎢
Kaydırağın yüksekliğini kullanarak, kaydırağın alt ucundan merdivenin başladığı noktaya kadar olan yatay mesafeyi (kaydırağın altındaki toplam zemin uzunluğunu) ölçmek isteyen bir çocuk, kaydırağın tam altından 2 metre uzağa bir çubuk dikiyor. Çubuğun boyu 1 metredir. Çocuğun gözlem noktasından (çubuğun tepesinden), kaydırağın en yüksek noktası ve iniş noktasının zemindeki ucu aynı hizada görülmektedir.
Bu senaryoda, benzer üçgenler prensibini kullanarak kaydırağın yüksekliğinin 3 metre olduğunu biliyorsak, çocuğun çubuğu diktiği noktadan kaydırağın iniş noktasının zemindeki ucuna kadar olan mesafeyi bulunuz. (Çubuk yere diktir ve çocuğun gözlem noktası çubuğun tepesidir.) 🎢
Çözüm:
Bu problemde, gözlem noktasından yola çıkarak benzer üçgenler oluşturacağız. 🧐
- Kaydırağın en yüksek noktasına H diyelim. Yüksekliği \( 3 \) metredir.
- Çubuğun boyu \( 1 \) metredir.
- Çubuk, kaydırağın tam altından \( 2 \) metre uzağa dikilmiştir.
- Çocuğun gözlem noktası (çubuğun tepesi) ile kaydırağın en yüksek noktası ve iniş noktasının zemindeki ucu aynı hizada görülüyorsa, bu bir doğru üzerinde demektir.
- Bu durumda, çubuğun tepesinden kaydırağın en yüksek noktasına ve kaydırağın iniş noktasına kadar olan doğru ile zemin arasında iki benzer dik üçgen oluşur.
- Küçük üçgen: Çubuğun tepesi ile kaydırağın en yüksek noktası arasındaki dikey mesafe \( 3 - 1 = 2 \) metredir. Yatay mesafe ise çubuğun kaydırağın altından uzaklığı olan \( 2 \) metredir.
- Büyük üçgen: Çubuğun tepesinden kaydırağın iniş noktasına kadar olan üçgen. Bu üçgenin tepe noktası çubuğun tepesidir.
- Bu iki üçgenin benzer olabilmesi için, çubuğun tepesinden kaydırağın yüksekliği ve iniş noktasına uzanan çizginin bir doğru olması gerekir.
- Yani, çubuğun tepesinden kaydırağın en yüksek noktasına olan yatay uzaklık \( x_1 = 2 \) metre ve dikey uzaklık \( y_1 = 3 - 1 = 2 \) metre.
- Çubuğun tepesinden kaydırağın iniş noktasının zemindeki ucuna kadar olan yatay uzaklık \( x_2 \) olsun. İniş noktasının zemindeki ucunun çubuğun tepesinden dikey uzaklığı ise \( y_2 = 1 \) metredir (çubuğun boyu).
- Bu senaryoda, benzer üçgenler, çubuğun tepesini köşe kabul eden ve zeminle dik açı yapan üçgenlerdir. Birinci üçgenin (kaydırağın tepesiyle oluşan) yatay kenarı \( 2 \) m, dikey kenarı \( 2 \) m. İkinci üçgenin (kaydırağın iniş noktasıyla oluşan) yatay kenarı \( x_2 \) m, dikey kenarı \( 1 \) m. Bu iki üçgen benzerdir. (Bu iki üçgen, gözlem noktasından çıkan çizginin zeminle yaptığı açıları ortak kabul eder.) Ancak bu durumda, kaydırağın tepesi ile iniş noktasının aynı doğru üzerinde olması için çubuğun tepesinden geçen bir çizgi olması gerekir. Bu bir "ters benzerlik" durumu gibidir. Gözlem noktasını tepe kabul edelim. Gözlem noktasının yerden yüksekliği: \( h_ç = 1 \) m. Kaydırağın yüksekliği: \( H_k = 3 \) m. Çubuğun kaydırağa uzaklığı: \( d_1 = 2 \) m. Kaydırağın iniş noktasının çubuğa uzaklığı: \( d_2 \) (bizden istenen). Benzerlik kuralı: \[ \frac{h_ç}{H_k} = \frac{d_1}{d_1 + d_2} \] (Bu, kaydırağın tepesinden çubuğa ve kaydırağın iniş noktasına olan yatay uzaklıkları kullanan bir benzerliktir.) Ancak soruda "çocuğun gözlem noktasından (çubuğun tepesinden), kaydırağın en yüksek noktası ve iniş noktasının zemindeki ucu aynı hizada görülmektedir" deniyor. Bu, Thales Teoremi'nin kelebek benzerliği gibi bir uygulamasıdır. Çubuğun tepesini bir köşe (T) olarak alalım. Kaydırağın yüksek noktasını (K), kaydırağın zemindeki ucunu (Z) alalım. Kaydırağın altındaki noktayı (A) ve çubuğun altındaki noktayı (B) alalım. Çubuk (TB) \( 1 \) m. Kaydırak (KA) \( 3 \) m. AB = \( 2 \) m. T noktasından K ve Z noktaları bir doğru üzerinde. B noktasından T noktasına, A noktasından K noktasına. Bu durumda: \( \triangle TBZ \sim \triangle KAZ \) benzerliği oluşur. Yani, çubuğun boyunun kaydırağın yüksekliğine oranı, çubuğun iniş noktasına uzaklığının kaydırağın iniş noktasına uzaklığına oranıdır. Daha basit bir yöntem: Çubuğun tepesinden zemine paralel bir çizgi çekelim. Kaydırağın yüksekliği \( 3 \) m. Çubuğun yüksekliği \( 1 \) m. Çubuğun tepesinden kaydırağın tepesine olan dikey mesafe \( 3 - 1 = 2 \) m. Çubuğun tepesinden kaydırağın iniş noktasına olan dikey mesafe \( 1 \) m. Yatay mesafeler: Çubuğun kaydırağın altındaki noktaya uzaklığı \( 2 \) m. Kaydırağın iniş noktasının çubuğa uzaklığına \( x \) diyelim. Bu iki üçgen benzerdir: \[ \frac{\text{Çubuğun tepesinden kaydırağın tepesine dikey mesafe}}{\text{Çubuğun tepesinden kaydırağın iniş noktasına dikey mesafe}} = \frac{\text{Çubuğun tepesinden kaydırağın altındaki noktaya yatay mesafe}}{\text{Çubuğun tepesinden kaydırağın iniş noktasına yatay mesafe}} \] \[ \frac{2}{1} = \frac{2}{x} \] \[ 2x = 2 \] \[ x = 1 \] metre.
Soru 9:
Bir ABC üçgeninde, AB kenarının orta noktası D, AC kenarının orta noktası E'dir. DE doğru parçası çiziliyor. Eğer BC kenarının uzunluğu \( 14 \) cm ise, DE uzunluğu kaç cm'dir? 📌
Çözüm:
Bu problem, Orta Taban Teoremi olarak bilinen bir benzerlik uygulamasıdır. 💡
- D noktası AB kenarının orta noktası olduğu için \( AD = DB \).
- E noktası AC kenarının orta noktası olduğu için \( AE = EC \).
- Bu durumda, ADE üçgeni ile ABC üçgeni arasında bir benzerlik ilişkisi vardır.
- \( \angle A \) açısı hem ADE üçgeni hem de ABC üçgeni için ortaktır.
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerlik kuralını uygulayabiliriz:
- \( \frac{AD}{AB} = \frac{AD}{2 \cdot AD} = \frac{1}{2} \)
- \( \frac{AE}{AC} = \frac{AE}{2 \cdot AE} = \frac{1}{2} \)
- Ortak açı \( \angle A \).
- Bu durumda, ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir ve benzerlik oranı \( k = \frac{1}{2} \)'dir. Yani, \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \).
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları benzerlik oranına eşittir: \[ \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{2} \]
- Bizden DE uzunluğu isteniyor ve BC uzunluğu \( 14 \) cm olarak verilmiş. \[ \frac{DE}{BC} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{DE}{14} = \frac{1}{2} \]
- Denklemi çözerek DE uzunluğunu bulalım: \[ 2 \cdot DE = 14 \cdot 1 \] \[ 2 \cdot DE = 14 \] \[ DE = \frac{14}{2} \] \[ DE = 7 \] cm.
Soru 10:
Bir ABC üçgeninde, D noktası AB kenarı üzerinde ve E noktası AC kenarı üzerindedir. DE doğru parçası çiziliyor. \( AD = 2 \) cm, \( DB = 4 \) cm, \( AE = 3 \) cm ve \( EC = 6 \) cm olarak verilmiştir. Buna göre, ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzer midir? Eğer benzerlerse, benzerlik oranını bulunuz. 🤔
Çözüm:
İki üçgenin benzer olup olmadığını anlamak için kenar oranlarına ve aralarındaki açılara bakmalıyız. 🔍
- Verilen kenar uzunlukları:
- \( AD = 2 \) cm
- \( DB = 4 \) cm \( \implies AB = AD + DB = 2 + 4 = 6 \) cm
- \( AE = 3 \) cm
- \( EC = 6 \) cm \( \implies AC = AE + EC = 3 + 6 = 9 \) cm
- ADE üçgeni ile ABC üçgenini karşılaştıralım. Her iki üçgenin de \( \angle A \) açısı ortaktır.
- Şimdi bu ortak açıyı çevreleyen kenarların oranlarına bakalım:
- ADE üçgeninin AD kenarının ABC üçgeninin AB kenarına oranı: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
- ADE üçgeninin AE kenarının ABC üçgeninin AC kenarına oranı: \[ \frac{AE}{AC} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]
- Görüldüğü gibi, ortak açı \( \angle A \)'nın kenarları olan AD ve AE'nin, ABC üçgenindeki karşılık gelen kenarları AB ve AC'ye oranları eşittir (\( \frac{1}{3} \)).
- Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği şartını sağlar. Yani, ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir.
- Benzerlik oranı, bulduğumuz bu oranlara eşittir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/9-sinif-matematik-bir-ucgenden-benzer-ucgenler-olusturma/sorular