🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Bir üçgenden hareketle ona benzer üçgen oluşturma Çözümlü Sorular
9. Sınıf Matematik: Bir üçgenden hareketle ona benzer üçgen oluşturma Çözümlü Sorular
Soru 1:
Bir ABC üçgeni veriliyor. Bu üçgene benzer ve kenar uzunlukları ABC üçgeninin 2 katı olan bir DEF üçgeni oluşturmak istiyoruz. Hangi adımları izlemeliyiz? 💡
Çözüm:
Benzer bir üçgen oluşturmak için aşağıdaki adımları izleyebiliriz:
- 1. Adım: Açılar Sabit Kalır: Benzer üçgenlerin karşılıklı açıları eşittir. Bu nedenle, ABC üçgeninin açılarını ölçeriz (veya verilen değerleri kullanırız). DEF üçgeninin açıları da ABC üçgeninin açıları ile aynı olacaktır. Yani,
\( \angle D = \angle A \),
\( \angle E = \angle B \),
\( \angle F = \angle C \) olur. - 2. Adım: Kenar Uzunluklarını Orantılı Artırma: Benzerlik oranı 2 olacağı için, ABC üçgeninin her bir kenar uzunluğunu 2 ile çarparız.
Eğer \( |AB| = c' \), \( |BC| = a' \), \( |AC| = b' \) ise,
DEF üçgeninin kenar uzunlukları şu şekilde olur:
\( |DE| = 2c' \),
\( |EF| = 2a' \),
\( |DF| = 2b' \). - 3. Adım: Üçgeni Çizme: Belirlenen açıları ve kenar uzunluklarını kullanarak DEF üçgenini çizebiliriz. Örneğin, bir kenarı (örneğin DE) çizip, D ve E açılarından ışınlar çizerek F noktasını bulabiliriz.
Soru 2:
Kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5 cm olan bir ABC üçgeni verilmiştir. Bu üçgene benzer ve en kısa kenarı 6 cm olan bir DEF üçgeni çizilecektir. DEF üçgeninin diğer kenar uzunlukları kaçar cm olur? 🤔
Çözüm:
Bu problemi çözmek için benzerlik oranını bulmamız gerekiyor:
- 1. Adım: Benzerlik Oranını Bulma: ABC üçgeninin en kısa kenarı 3 cm'dir. DEF üçgeninin en kısa kenarı ise 6 cm olarak verilmiş. Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranına eşittir.
Benzerlik Oranı \( k = \frac{DEF \text{ üçgeninin kenarı}}{ABC \text{ üçgeninin karşılık kenarı}} = \frac{6 \text{ cm}}{3 \text{ cm}} = 2 \). - 2. Adım: Diğer Kenarları Hesaplama: Benzerlik oranı 2 olduğuna göre, DEF üçgeninin diğer kenar uzunluklarını bulmak için ABC üçgeninin karşılık kenarlarını 2 ile çarparız.
ABC üçgeninin diğer kenarları 4 cm ve 5 cm'dir.
DEF üçgeninin ikinci kenarı = \( 4 \text{ cm} \times 2 = 8 \text{ cm} \).
DEF üçgeninin üçüncü kenarı = \( 5 \text{ cm} \times 2 = 10 \text{ cm} \).
Soru 3:
Bir harita üzerinde A ve B şehirleri arasındaki uzaklık 5 cm olarak gösterilmiştir. Haritanın ölçeği 1:200.000'dir. Gerçekte A ve B şehirleri arasındaki uzaklık kaç km'dir? 🗺️
Çözüm:
Bu soru, benzerlik prensibinin günlük hayattaki bir uygulamasıdır:
- 1. Adım: Ölçeği Anlama: Ölçek 1:200.000 demek, haritada 1 birimlik mesafenin gerçekte 200.000 birimlik mesafeye karşılık geldiği anlamına gelir.
- 2. Adım: Gerçek Uzaklığı Hesaplama: Haritadaki uzaklık 5 cm olduğuna göre, gerçek uzaklığı bulmak için bu değeri ölçekteki ikinci sayıyla çarparız.
Gerçek Uzaklık (cm) = Haritadaki Uzaklık \( \times \) Ölçekteki Sayı
Gerçek Uzaklık = \( 5 \text{ cm} \times 200.000 = 1.000.000 \text{ cm} \). - 3. Adım: Birimi Kilometreye Çevirme: Soruda uzaklık kilometre olarak istendiği için, bulduğumuz santimetre değerini kilometreye çevirmeliyiz.
1 km = 1000 metre
1 metre = 100 cm
Dolayısıyla, 1 km = 1000 \( \times \) 100 cm = 100.000 cm.
Gerçek Uzaklık (km) = \( \frac{1.000.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} = 10 \text{ km} \).
Soru 4:
Bir fotoğrafçı, elindeki 10 cm x 15 cm boyutlarındaki bir fotoğrafı, orijinaline benzer olacak şekilde büyütmek istiyor. Eğer büyütülen fotoğrafın kısa kenarı 30 cm olursa, uzun kenarı kaç cm olur? 🖼️
Çözüm:
Bu bir benzer üçgen sorusudur, çünkü fotoğrafın kenar oranları korunmalıdır:
- 1. Adım: Kenar Oranlarını Belirleme: Orijinal fotoğrafın kenar oranları \( \frac{10 \text{ cm}}{15 \text{ cm}} \) şeklindedir. Bu oran sadeleştirildiğinde \( \frac{2}{3} \) olur.
- 2. Adım: Benzerlik Oranını Bulma: Büyütülen fotoğrafın kısa kenarı 30 cm olarak verilmiş. Orijinal fotoğrafın kısa kenarı 10 cm idi.
Benzerlik Oranı \( k = \frac{\text{Büyütülen Kısa Kenar}}{\text{Orijinal Kısa Kenar}} = \frac{30 \text{ cm}}{10 \text{ cm}} = 3 \). - 3. Adım: Uzun Kenarı Hesaplama: Benzerlik oranı 3 olduğuna göre, büyütülen fotoğrafın uzun kenarını bulmak için orijinal uzun kenarı 3 ile çarparız.
Büyütülen Uzun Kenar = Orijinal Uzun Kenar \( \times \) Benzerlik Oranı
Büyütülen Uzun Kenar = \( 15 \text{ cm} \times 3 = 45 \text{ cm} \).
Soru 5:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle B = 70^\circ \) olarak verilmiştir. Bu üçgene benzer bir DEF üçgeni çizilecektir. DEF üçgeninin açıları ne olur? 📐
Çözüm:
Benzer üçgenlerin karşılıklı açıları eşittir. Bu kuralı kullanarak DEF üçgeninin açılarını bulabiliriz:
- 1. Adım: ABC Üçgeninin Üçüncü Açısını Bulma: Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)dir.
\( \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \)
\( \angle C = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) \)
\( \angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \). - 2. Adım: DEF Üçgeninin Açılarını Belirleme: Benzerlik nedeniyle, DEF üçgeninin açıları ABC üçgeninin açıları ile aynı olacaktır.
\( \angle D = \angle A = 50^\circ \)
\( \angle E = \angle B = 70^\circ \)
\( \angle F = \angle C = 60^\circ \)
Soru 6:
Bir mimar, projelendirdiği bir evin maketini yapacaktır. Projedeki bir duvarın uzunluğu 8 metre ve yüksekliği 3 metredir. Makette bu duvarın uzunluğu 40 cm olarak temsil edilecektir. Maketteki duvarın yüksekliği kaç cm olmalıdır ki, maket gerçek yapıya benzer olsun? 🏗️
Çözüm:
Bu durum, benzerlik prensibinin mimarideki bir uygulamasıdır:
- 1. Adım: Benzerlik Oranını Bulma: Maketteki duvarın uzunluğu 40 cm, gerçekteki uzunluğu ise 8 metredir. Öncelikle birimleri eşitleyelim. 8 metre = 800 cm.
Benzerlik Oranı \( k = \frac{\text{Maketteki Uzunluk}}{\text{Gerçekteki Uzunluk}} = \frac{40 \text{ cm}}{800 \text{ cm}} = \frac{1}{20} \). - 2. Adım: Maketteki Yüksekliği Hesaplama: Benzerlik oranı \( \frac{1}{20} \) olduğuna göre, maketteki yüksekliği bulmak için gerçekteki yüksekliği bu oranla çarparız.
Maketteki Yükseklik = Gerçekteki Yükseklik \( \times \) Benzerlik Oranı
Gerçekteki yükseklik 3 metredir, yani 300 cm'dir.
Maketteki Yükseklik = \( 300 \text{ cm} \times \frac{1}{20} = \frac{300}{20} \text{ cm} = 15 \text{ cm} \).
Soru 7:
Kenar uzunlukları sırasıyla 5, 12 ve 13 birim olan bir dik üçgen verilmiştir. Bu üçgene benzer ve çevresi 78 birim olan bir üçgen oluşturulacaktır. Oluşturulan bu yeni üçgenin dik kenar uzunlukları kaçar birim olur? 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için benzerlik oranını ve üçgenin çevresini kullanacağız:
- 1. Adım: Orijinal Üçgenin Çevresini Hesaplama: Orijinal üçgenin kenar uzunlukları 5, 12 ve 13 birimdir.
Orijinal Çevre = \( 5 + 12 + 13 = 30 \) birim. - 2. Adım: Benzerlik Oranını Bulma: Yeni üçgenin çevresi 78 birim olarak verilmiştir. Benzerlik oranı, karşılıklı çevrelerin oranına eşittir.
Benzerlik Oranı \( k = \frac{\text{Yeni Çevre}}{\text{Orijinal Çevre}} = \frac{78 \text{ birim}}{30 \text{ birim}} \).
Bu oranı sadeleştirelim: \( k = \frac{78}{30} = \frac{13}{5} \). - 3. Adım: Yeni Üçgenin Kenar Uzunluklarını Hesaplama: Benzerlik oranı \( \frac{13}{5} \) olduğuna göre, yeni üçgenin kenar uzunluklarını bulmak için orijinal üçgenin karşılık kenarlarını bu oranla çarparız.
Yeni Birinci Dik Kenar = \( 5 \times \frac{13}{5} = 13 \) birim.
Yeni İkinci Dik Kenar = \( 12 \times \frac{13}{5} = \frac{156}{5} = 31.2 \) birim.
Yeni Hipotenüs = \( 13 \times \frac{13}{5} = \frac{169}{5} = 33.8 \) birim.
Soru 8:
Bir teknoloji mağazasında, 55 inç (yaklaşık 139 cm ekran köşegen uzunluğu) bir televizyonun ekran en-boy oranı 16:9'dur. Mağaza, bu televizyona benzer boyutta ve aynı en-boy oranına sahip, ancak ekran köşegen uzunluğu 65 inç (yaklaşık 165 cm) olan başka bir televizyon modeli sergilemektedir. 65 inçlik modelin ekranının eni ve boyu kaçar cm olur? (Köşegen uzunluğu, en ve boy arasındaki ilişkiyi Pisagor teoremiyle kurabiliriz, ancak burada sadece benzerlik oranını ve verilen en-boy oranını kullanacağız.) 📺
Çözüm:
Bu soruda, benzer üçgenlerin kenar oranlarının korunması prensibini kullanacağız:
- 1. Adım: En-Boy Oranını Anlama: En-boy oranı 16:9, ekranın eninin boyuna oranının \( \frac{16}{9} \) olduğunu gösterir. Bu oran, her iki televizyon modeli için de aynıdır çünkü benzerdirler.
- 2. Adım: Orantı Kurma: En-boy oranı 16:9 olduğundan, ekranın enini \( 16x \) ve boyunu \( 9x \) olarak ifade edebiliriz. Köşegen uzunluğu \( d \) ise, Pisagor teoremine göre \( (16x)^2 + (9x)^2 = d^2 \) olur.
- 3. Adım: 65 İnçlik Model İçin Kenarları Hesaplama: 65 inçlik modelin köşegen uzunluğu yaklaşık 165 cm'dir. Bu değeri \( d \) yerine koyalım.
\( (16x)^2 + (9x)^2 = (165 \text{ cm})^2 \)
\( 256x^2 + 81x^2 = 27225 \text{ cm}^2 \)
\( 337x^2 = 27225 \text{ cm}^2 \)
\( x^2 = \frac{27225}{337} \approx 80.786 \)
\( x \approx \sqrt{80.786} \approx 8.988 \text{ cm} \). - 4. Adım: En ve Boyu Hesaplama: Şimdi \( x \) değerini kullanarak en ve boyu bulabiliriz.
Ekran Eni = \( 16x \approx 16 \times 8.988 \text{ cm} \approx 143.81 \text{ cm} \).
Ekran Boyu = \( 9x \approx 9 \times 8.988 \text{ cm} \approx 80.89 \text{ cm} \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/9-sinif-matematik-bir-ucgenden-hareketle-ona-benzer-ucgen-olusturma/sorular