🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Bir üçgenden hareketle ona benzer üçgen oluşturma Çözümlü Sorular
9. Sınıf Matematik: Bir üçgenden hareketle ona benzer üçgen oluşturma Çözümlü Sorular
Soru 1:
Bir ABC üçgeni veriliyor. Bu üçgene benzer ve kenar uzunlukları ABC üçgeninin 2 katı olan bir DEF üçgeni çizmek istiyoruz. Hangi adımları izlemeliyiz?
Çözüm:
Benzer bir üçgen oluşturmak için şu adımları izleyebiliriz:
- 1. Adım: Açıları Eşleştirme: Benzer üçgenlerde karşılıklı açılar eşittir. Bu nedenle, DEF üçgeninin açıları ABC üçgeninin açılarına eşit olmalıdır. Yani, \( \angle D = \angle A \), \( \angle E = \angle B \) ve \( \angle F = \angle C \) olmalıdır.
- 2. Adım: Kenar Uzunluklarını Belirleme: Soruda, yeni üçgenin kenar uzunluklarının orijinal üçgenin 2 katı olması isteniyor. Eğer \( |AB| = c \), \( |BC| = a \) ve \( |AC| = b \) ise, yeni üçgenimizin kenar uzunlukları \( |DE| = 2c \), \( |EF| = 2a \) ve \( |DF| = 2b \) olacaktır.
- 3. Adım: Çizim: Bir başlangıç noktası seçilir (örneğin D noktası). D noktasına, A açısına eşit bir açı ile bir doğru parçası çizilir. Ardından, bu doğru parçası üzerinde \( |DE| = 2c \) olacak şekilde E noktası belirlenir. E noktasında, B açısına eşit bir açı ile bir doğru parçası çizilir. Bu doğru parçası üzerinde \( |EF| = 2a \) olacak şekilde F noktası belirlenir. Son olarak, D ve F noktaları birleştirilerek DEF üçgeni tamamlanır.
Soru 2:
Kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5 cm olan bir dik üçgenimiz var. Bu üçgene benzer ve en kısa kenarı 6 cm olan yeni bir dik üçgen oluşturmak için diğer kenar uzunlukları ne olmalıdır?
Çözüm:
Bu problemi çözmek için benzerlik oranını kullanacağız:
- 1. Adım: Benzerlik Oranını Bulma: Orijinal üçgenin en kısa kenarı 3 cm'dir. Yeni üçgenin en kısa kenarının 6 cm olması isteniyor. Bu durumda, benzerlik oranı \( k = \frac{\text{Yeni Kenar}}{\text{Orijinal Kenar}} = \frac{6 \text{ cm}}{3 \text{ cm}} = 2 \) olur.
- 2. Adım: Diğer Kenarları Hesaplama: Benzerlik oranı 2 olduğuna göre, orijinal üçgenin diğer kenarlarını da bu oranla çarparak yeni üçgenin kenar uzunluklarını bulabiliriz.
- 3. Adım: Sonuç:
- Orijinal orta kenar: 4 cm. Yeni orta kenar: \( 4 \text{ cm} \times 2 = 8 \text{ cm} \).
- Orijinal en uzun kenar (hipotenüs): 5 cm. Yeni en uzun kenar: \( 5 \text{ cm} \times 2 = 10 \text{ cm} \).
Soru 3:
Bir mimar, 1:100 ölçekli bir proje çizmiştir. Projedeki bir binanın yüksekliği 15 cm olarak ölçülmüştür. Gerçekte bu binanın yüksekliği kaç metredir?
Çözüm:
Bu problem, ölçeklendirme ve benzerlik kavramının günlük hayattaki bir uygulamasıdır:
- 1. Adım: Ölçeği Anlama: 1:100 ölçeği, projede çizilen her 1 birimin gerçekte 100 birime karşılık geldiği anlamına gelir.
- 2. Adım: Birimleri Eşitleme: Projedeki yükseklik santimetre (cm) cinsinden verildiği için, önce bu yüksekliği metreye çevirelim veya ölçeği santimetre cinsinden kullanalım.
- 3. Adım: Gerçek Yüksekliği Hesaplama: Projedeki yükseklik 15 cm ise, gerçek yükseklik bu değerin 100 katı olacaktır.
Gerçek Yükseklik (cm) = \( 15 \text{ cm} \times 100 = 1500 \text{ cm} \) - 4. Adım: Metreye Çevirme: Elde ettiğimiz gerçek yüksekliği metreye çevirelim. 1 metre = 100 cm'dir.
Gerçek Yükseklik (m) = \( \frac{1500 \text{ cm}}{100 \text{ cm/m}} = 15 \text{ m} \)
Soru 4:
ABC üçgeninde \( |AB| = 6 \), \( |BC| = 8 \) ve \( |AC| = 10 \) olarak verilmiştir. Bu üçgene benzer ve çevresi 36 birim olan bir DEF üçgeni çizilecektir. DEF üçgeninin kenar uzunlukları kaçar birim olur?
Çözüm:
Benzer üçgenlerin çevreleri de kenar uzunlukları ile aynı orantıda değişir:
- 1. Adım: Orijinal Üçgenin Çevresini Hesaplama:
Çevre(ABC) = \( |AB| + |BC| + |AC| = 6 + 8 + 10 = 24 \) birim. - 2. Adım: Benzerlik Oranını Bulma: Yeni üçgenin çevresi 36 birim olarak verilmiş. Benzerlik oranı \( k \), çevrelerin oranına eşittir.
\( k = \frac{\text{Çevre(DEF)}}{\text{Çevre(ABC)}} = \frac{36}{24} \) - 3. Adım: Benzerlik Oranını Sadeleştirme:
\( k = \frac{36}{24} = \frac{3 \times 12}{2 \times 12} = \frac{3}{2} \) - 4. Adım: Yeni Üçgenin Kenar Uzunluklarını Hesaplama: Benzerlik oranı \( \frac{3}{2} \) olduğuna göre, DEF üçgeninin kenar uzunlukları ABC üçgeninin kenar uzunluklarının \( \frac{3}{2} \) katı olacaktır.
- \( |DE| = |AB| \times k = 6 \times \frac{3}{2} = 9 \) birim
- \( |EF| = |BC| \times k = 8 \times \frac{3}{2} = 12 \) birim
- \( |DF| = |AC| \times k = 10 \times \frac{3}{2} = 15 \) birim
Soru 5:
Bir fotoğrafçı, elindeki 10 cm x 15 cm boyutlarındaki bir fotoğrafı, daha büyük bir çerçeveye sığdırmak istiyor. Çerçevenin iç boyutu 20 cm x 30 cm. Fotoğrafı çerçeveye tam olarak sığdırabilmesi için fotoğrafı büyütmesi gerekiyor. Bu büyütme işlemi sonucunda elde edilecek yeni fotoğraf, orijinal fotoğrafla benzer midir? Eğer benzerse, benzerlik oranı nedir?
Çözüm:
Bu durum, benzerlik oranının nasıl korunduğunu gösteren güzel bir örnektir:
- 1. Adım: Orijinal Fotoğrafın Boyutları: Genişlik = 10 cm, Yükseklik = 15 cm.
- 2. Adım: Çerçeve Boyutları: Genişlik = 20 cm, Yükseklik = 30 cm.
- 3. Adım: Benzerlik Oranlarını Kontrol Etme: Fotoğrafın çerçeveye tam sığması için, iki boyutun da aynı oranda büyümesi gerekir.
- 4. Adım: Genişlik Oranı: \( \frac{\text{Çerçeve Genişliği}}{\text{Fotoğraf Genişliği}} = \frac{20 \text{ cm}}{10 \text{ cm}} = 2 \)
- 5. Adım: Yükseklik Oranı: \( \frac{\text{Çerçeve Yüksekliği}}{\text{Fotoğraf Yüksekliği}} = \frac{30 \text{ cm}}{15 \text{ cm}} = 2 \)
- 6. Adım: Sonuç: Hem genişlik hem de yükseklik oranı 2 çıktığı için, büyütülen fotoğraf orijinal fotoğrafla benzer olacaktır. Benzerlik oranı 2'dir.
Soru 6:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle B = 70^\circ \) olarak verilmiştir. Bu üçgene benzer ve en uzun kenarı 18 birim olan bir DEF üçgeni çizilecektir. DEF üçgeninin \( \angle D \) açısı kaç derecedir ve en kısa kenarı kaç birimdir?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için hem açıların hem de kenar uzunluklarının benzerlik ilişkisini kullanmalıyız:
- 1. Adım: ABC Üçgeninin Üçüncü Açısını Bulma: Bir üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
- 2. Adım: DEF Üçgeninin Açılarını Belirleme: Benzer üçgenlerde karşılıklı açılar eşittir. Bu nedenle, \( \angle D = \angle A = 50^\circ \), \( \angle E = \angle B = 70^\circ \) ve \( \angle F = \angle C = 60^\circ \).
- 3. Adım: En Uzun Kenarı Belirleme: ABC üçgeninde en büyük açı \( \angle B = 70^\circ \) olduğundan, bu açıya karşılık gelen kenar \( |AC| \) en uzundur. DEF üçgeninde ise en büyük açı \( \angle E = 70^\circ \) olduğundan, bu açıya karşılık gelen kenar \( |DF| \) en uzundur.
- 4. Adım: Benzerlik Oranını Bulma: DEF üçgeninin en uzun kenarı 18 birim olarak verilmiştir. Bu kenar \( |DF| \) olmalıdır. Bu durumda, \( |DF| = 18 \) birimdir.
- 5. Adım: Orijinal Üçgenin En Uzun Kenarını Bulma: ABC üçgeninde en uzun kenar \( |AC| \) idi. Ancak \( |AC| \) 'nin uzunluğu verilmemiş. Bu durumda, soruda bir eksiklik var gibi görünüyor. Varsayalım ki, soruda "en uzun kenarı 18 birim olan bir DEF üçgeni çizilecektir" ifadesi, DEF üçgeninin herhangi bir kenarının 18 birim olduğu anlamına gelmiyor, aksine DEF üçgeninin en uzun kenarı 18 birimdir. Bu durumda, \( |DF| = 18 \) olmalıdır (çünkü \( \angle E \) en büyük açı değil, \( \angle B \) en büyük açıydı, dolayısıyla \( \angle E \) en büyük açı olmalı). Tekrar gözden geçirelim: ABC'de en büyük açı B (70) ise en uzun kenar AC'dir. DEF'de E=70 ise en uzun kenar DF'dir. Yani \( |DF| = 18 \).
- 6. Adım: Kenar Uzunluklarını Hesaplama (Varsayımsal): Eğer ABC üçgeninin kenar uzunlukları verilseydi, örneğin \( |AC| = x \) olsaydı, benzerlik oranı \( k = \frac{|DF|}{|AC|} = \frac{18}{x} \) olurdu. Ardından diğer kenarlar hesaplanırdı.
- 7. Adım: En Kısa Kenarı Bulma: ABC üçgeninde en küçük açı \( \angle A = 50^\circ \) olduğundan, bu açıya karşılık gelen kenar \( |BC| \) en kısadır. DEF üçgeninde ise en küçük açı \( \angle D = 50^\circ \) olduğundan, bu açıya karşılık gelen kenar \( |EF| \) en kısadır.
- 8. Adım: Sonuç (Açı İçin): DEF üçgeninin \( \angle D \) açısı \( 50^\circ \) olur. Kenar uzunluklarını hesaplamak için orijinal üçgenin bir kenar uzunluğunun verilmesi gerekmektedir. Eğer \( |AC| \) verilseydi, \( |EF| \) kolayca hesaplanabilirdi.
Soru 7:
Bir ABC üçgeni çizilmiştir. Bu üçgenin kenar uzunlukları \( |AB| = 5 \), \( |BC| = 7 \) ve \( |AC| = 9 \) birimdir. Bu üçgene benzer ve kenar uzunlukları orijinal üçgenin 3 katı olan bir DEF üçgeni çizilecektir. DEF üçgeninin çevresi kaç birim olur?
Çözüm:
Benzer üçgenlerin çevreleri arasındaki ilişkiyi kullanarak bu soruyu kolayca çözebiliriz:
- 1. Adım: Orijinal Üçgenin Çevresini Hesaplama:
Çevre(ABC) = \( |AB| + |BC| + |AC| = 5 + 7 + 9 = 21 \) birim. - 2. Adım: Benzerlik Oranını Belirleme: Yeni üçgenin kenar uzunlukları orijinal üçgenin 3 katı olacağı için, benzerlik oranı \( k = 3 \) olur.
- 3. Adım: Yeni Üçgenin Çevresini Hesaplama: Benzer üçgenlerde çevreler arasındaki oran, kenar uzunlukları arasındaki orana eşittir. Yani, DEF üçgeninin çevresi, ABC üçgeninin çevresinin 3 katı olacaktır.
Çevre(DEF) = Çevre(ABC) \(\times k = 21 \times 3 = 63 \) birim.
Soru 8:
Bir ABC üçgeni veriliyor. Bu üçgenin \( \angle A = 60^\circ \) ve \( \angle B = 45^\circ \) olarak verilmiştir. Bu üçgene benzer ve \( |DE| = 12 \) birim olan bir DEF üçgeni çizilecektir. \( |DE| \) kenarı, \( |AB| \) kenarına karşılık gelmektedir. \( |EF| \) kenarının uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır. Bu bilgiyi kullanarak soruyu çözeceğiz:
- 1. Adım: Açıları Belirleme: ABC üçgeninde \( \angle A = 60^\circ \) ve \( \angle B = 45^\circ \) ise, \( \angle C = 180^\circ - (60^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \).
- 2. Adım: DEF Üçgeninin Açılarını Belirleme: Benzerlikten dolayı \( \angle D = \angle A = 60^\circ \), \( \angle E = \angle B = 45^\circ \) ve \( \angle F = \angle C = 75^\circ \).
- 3. Adım: Benzerlik Oranını Bulma: Soruda \( |DE| \) kenarının \( |AB| \) kenarına karşılık geldiği belirtilmiş. \( |DE| = 12 \) birim verilmiş. \( |AB| \) kenarının uzunluğu verilmemiş. Bu durumda soruda bir eksiklik var. Varsayalım ki \( |AB| = 6 \) birim olarak verilmiş olsaydı:
Benzerlik Oranı \( k = \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{12}{6} = 2 \). - 4. Adım: \( |EF| \) Kenarını Hesaplama (Varsayımsal): \( |EF| \) kenarı, \( |BC| \) kenarına karşılık gelir. Eğer \( |BC| \) kenarının uzunluğu verilseydi (örneğin \( |BC| = x \) birim), o zaman \( |EF| = |BC| \times k = x \times 2 \) olurdu.
- 5. Adım: Sonuç (Varsayımsal): Eğer \( |BC| = 5 \) birim olsaydı, \( |EF| = 5 \times 2 = 10 \) birim olurdu.
Soru 9:
Bir harita üzerinde iki şehir arasındaki mesafe 5 cm olarak gösterilmiştir. Haritanın ölçeği 1:250.000'dir. Gerçekte bu iki şehir arasındaki mesafe kaç kilometredir?
Çözüm:
Bu soru, ölçeklendirme ve benzerlik kavramının coğrafi uygulamalarından biridir:
- 1. Adım: Ölçeği Anlama: 1:250.000 ölçeği, haritada çizilen her 1 birimin gerçekte 250.000 birime karşılık geldiği anlamına gelir.
- 2. Adım: Gerçek Mesafeyi Hesaplama (Aynı Birimde): Haritadaki mesafe 5 cm olduğuna göre, gerçek mesafe bu değerin 250.000 katı olacaktır.
Gerçek Mesafe (cm) = \( 5 \text{ cm} \times 250.000 = 1.250.000 \text{ cm} \) - 3. Adım: Birimleri Dönüştürme: Gerçek mesafeyi kilometreye çevirmemiz gerekiyor.
- 1 metre = 100 cm
- 1 kilometre = 1000 metre
- Dolayısıyla, 1 kilometre = 1000 \(\times\) 100 cm = 100.000 cm
- 4. Adım: Kilometreye Çevirme: Elde ettiğimiz cm cinsinden mesafeyi 100.000'e bölerek kilometreye çevirebiliriz.
Gerçek Mesafe (km) = \( \frac{1.250.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} = 12.5 \text{ km} \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/9-sinif-matematik-bir-ucgenden-hareketle-ona-benzer-ucgen-olusturma/sorular