💡 9. Sınıf Matematik: Bir Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgenler Oluşturma Çözümlü Sorular

✅ Çözüm Adımları:

• Öncelikle \( ABC \) üçgeninin üçüncü açısını bulalım. Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
  \( m(\angle C) = 180^\circ - (m(\angle A) + m(\angle B)) \)
  \( m(\angle C) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) \)
  \( m(\angle C) = 180^\circ - 120^\circ \)
  \( m(\angle C) = 60^\circ \)
• \( DEF \) üçgeninin \( ABC \) üçgenine benzer olması için, karşılıklı açılarının eşit olması gerekir.
• Bu durumda, \( DEF \) üçgeninin açıları da \( 50^\circ, 70^\circ \) ve \( 60^\circ \) olmalıdır. Örneğin:
  \( m(\angle D) = 50^\circ \)
  \( m(\angle E) = 70^\circ \)
  \( m(\angle F) = 60^\circ \)

💡 Unutmayın: İki üçgenin benzer olması için sadece iki açısının eşit olması yeterlidir, çünkü üçüncü açı otomatik olarak eşit olacaktır.

✅ Çözüm Adımları:

• \( KLM \) üçgeninin kenar uzunlukları: \( k = 3 \) cm, \( l = 4 \) cm, \( m = 5 \) cm.
• Benzer \( PQR \) üçgeninin kenar uzunlukları, \( KLM \) üçgeninin kenar uzunluklarının iki katı olacağı belirtilmiştir. Yani benzerlik oranı \( 2 \) dir.
• Bu durumda, \( PQR \) üçgeninin kenar uzunlukları şöyle bulunur:
  \( p = 2 \times k = 2 \times 3 = 6 \) cm
  \( q = 2 \times l = 2 \times 4 = 8 \) cm
  \( r = 2 \times m = 2 \times 5 = 10 \) cm
• Yani, \( PQR \) üçgeninin kenar uzunlukları \( 6 \) cm, \( 8 \) cm ve \( 10 \) cm olmalıdır.

📌 Önemli: Bu iki üçgenin kenar uzunlukları arasındaki oran sabittir: \( \frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{10}{5} = 2 \). Bu da onların benzer olduğunu gösterir.

✅ Çözüm Adımları:

• Öncelikle kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım ve karşılıklı kenarları eşleştirelim.
  \( ABC \) üçgeni: \( 6, 9, 12 \)
  \( DEF \) üçgeni: \( 4, 6, 8 \)
• Şimdi karşılıklı kenarların oranlarını bulalım:
  \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
  \( \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \)
  \( \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \)
• Tüm karşılıklı kenar oranları birbirine eşit ve \( \frac{3}{2} \) olduğu için, bu iki üçgen benzerdir.
• Benzerlik oranı \( k = \frac{3}{2} \) veya \( k = \frac{2}{3} \) olarak ifade edilebilir, hangi üçgenin hangi üçgene oranlandığına bağlıdır.

💡 İpucu: Kenar-Kenar-Kenar (KKK) benzerliğinde, kenarların doğru eşleştirilmesi çok önemlidir. Genellikle en kısa kenarı en kısaya, ortanca kenarı ortancaya, en uzun kenarı en uzuna oranlarız.

✅ Çözüm Adımları:

• \( DE \parallel BC \) olduğu için, \( ADE \) üçgeni ile \( ABC \) üçgeni benzerdir.
• Bu benzerlikten dolayı kenarlar arasında bir oran vardır:
  \( \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \)
• Verilen değerleri yerine yazalım:
  \( \frac{4}{2} = \frac{6}{|EC|} \)
• Denklemi çözelim:
  \( 2 = \frac{6}{|EC|} \)
  \( 2 \times |EC| = 6 \)
  \( |EC| = \frac{6}{2} \)
  \( |EC| = 3 \) cm

👍 Bu tür sorular, benzer üçgenlerin kenarları arasındaki orantılı ilişkiyi anlamak için harika örneklerdir.

✅ Çözüm Adımları:

• \( AB \) ve \( CD \) doğruları \( P \) noktasında kesiştiği için, \( \angle APC \) ve \( \angle BPD \) ters açılardır ve bu nedenle eşitlerdir. Yani \( m(\angle APC) = m(\angle BPD) \).
• Şimdi bu açının kenarlarını oluşturan doğru parçalarının oranlarını kontrol edelim:
  \( APC \) üçgeninin kenarları: \( |AP| = 5 \) cm, \( |CP| = 4 \) cm
  \( BPD \) üçgeninin kenarları: \( |PB| = 10 \) cm, \( |DP| = 8 \) cm
• Karşılıklı kenarların oranlarını kontrol edelim:
  \( \frac{|AP|}{|PB|} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
  \( \frac{|CP|}{|DP|} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
• Görüldüğü gibi, eşit açının kenarlarını oluşturan doğru parçalarının oranları eşittir ( \( \frac{1}{2} \) ).
• Bu durumda, Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerlik kuralına göre \( \triangle APC \sim \triangle BPD \) ( \( APC \) üçgeni \( BPD \) üçgenine benzerdir).
• Benzerlik oranı \( k = \frac{1}{2} \) veya \( k = 2 \) dir.

💡 Hatırlatma: KAK benzerliği için iki kenarın oranı ve bu iki kenar arasındaki açının eşit olması gerekir.

✅ Çözüm Adımları:

• Verilen bilgiye göre \( |AD| = 2 \times |DB| \). Eğer \( |DB| = x \) dersek, \( |AD| = 2x \) olur.
• Bu durumda \( |AB| = |AD| + |DB| = 2x + x = 3x \) olur.
• \( DE \parallel BC \) olduğu için, \( \triangle ADE \) ile \( \triangle ABC \) benzer üçgenlerdir (Açı-Açı Benzerliği).
• Benzerlik oranı \( k \), karşılıklı kenarların oranıdır. \( \frac{|AD|}{|AB|} \) oranını kullanarak benzerlik oranını bulalım:
  \( k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3} \)
• Önemli Bilgi: Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı, benzerlik oranına eşittir.
  \( \frac{\text{Çevre}(ADE)}{\text{Çevre}(ABC)} = k \)
• Verilenleri yerine yazalım:
  \( \frac{\text{Çevre}(ADE)}{36} = \frac{2}{3} \)
• Denklemi çözerek \( ADE \) üçgeninin çevresini bulalım:
  \( \text{Çevre}(ADE) = 36 \times \frac{2}{3} \)
  \( \text{Çevre}(ADE) = 12 \times 2 \)
  \( \text{Çevre}(ADE) = 24 \) cm

🚀 Sonuç: \( ADE \) üçgeninin çevresi \( 24 \) cm'dir.

✅ Çözüm Adımları:

• Ali'nin boyu, Ali'nin gölgesi ve güneş ışınları arasında bir dik üçgen oluşur.
• Ağacın boyu, ağacın gölgesi ve güneş ışınları arasında da benzer bir dik üçgen oluşur.
• Bu iki dik üçgenin taban açıları (gölgenin zemine değdiği yerdeki açı) ve tepe açıları (güneş ışınının geliş açısı) eşittir (Açı-Açı Benzerliği).
• Dolayısıyla, Ali'nin üçgeni ile ağacın üçgeni benzerdir. Kenarların oranları eşit olacaktır:
  \( \frac{\text{Ali'nin boyu}}{\text{Ali'nin gölgesi}} = \frac{\text{Ağacın boyu}}{\text{Ağacın gölgesi}} \)
• Verilen değerleri yerine yazalım:
  \( \frac{1.80}{2.40} = \frac{\text{Ağacın boyu}}{12} \)
• Denklemi çözelim:
  \( \frac{180}{240} = \frac{3}{4} \) olduğundan,
  \( \frac{3}{4} = \frac{\text{Ağacın boyu}}{12} \)
  \( 3 \times 12 = 4 \times \text{Ağacın boyu} \)
  \( 36 = 4 \times \text{Ağacın boyu} \)
  \( \text{Ağacın boyu} = \frac{36}{4} \)
  \( \text{Ağacın boyu} = 9 \) metre

🌳 Sonuç: Ağacın boyu yaklaşık olarak \( 9 \) metredir.

✅ Çözüm Adımları:

• Harita ölçeği \( 1:20000 \) demek, harita üzerindeki \( 1 \) birim uzunluğun, gerçekte \( 20000 \) birim uzunluğa karşılık geldiği anlamına gelir.
• Bu durumda benzerlik oranı \( \frac{1}{20000} \) dir.
• Harita üzerindeki uzaklık \( 5 \) cm olduğuna göre, gerçek uzaklığı bulmak için bu oranı kullanırız:
  \( \frac{\text{Harita üzerindeki uzaklık}}{\text{Gerçek uzaklık}} = \frac{1}{20000} \)
• Verilenleri yerine yazalım:
  \( \frac{5 \text{ cm}}{\text{Gerçek uzaklık}} = \frac{1}{20000} \)
• Denklemi çözelim:
  \( \text{Gerçek uzaklık} = 5 \times 20000 \)
  \( \text{Gerçek uzaklık} = 100000 \) cm
• Sonucu kilometreye çevirmemiz gerekiyor.
  \( 1 \) metre = \( 100 \) cm
  \( 1 \) kilometre = \( 1000 \) metre = \( 1000 \times 100 = 100000 \) cm
• Yani, \( 100000 \) cm = \( 1 \) km.

🗺️ Sonuç: Bu iki nokta arasındaki gerçek uzaklık \( 1 \) kilometredir.