💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik ve Benzerlik Çözümlü Sorular

İki üçgenin eş olabilmesi için aşağıdaki koşullardan biri veya birkaçı sağlanmalıdır:

• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği: İki üçgenin ikişer kenarı ve bu kenarların arasındaki açılar eş ise bu üçgenler eştir.
• Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği: İki üçgenin ikişer açısı ve bu açılar arasındaki kenarları eş ise bu üçgenler eştir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı üç kenarı da eş ise bu üçgenler eştir.
• Kenar-Kenar-Açı (KKA) Eşliği (Özel Durum): Eğer iki üçgenin ikişer kenarı ve bu kenarlardan birinin karşısındaki açıları eş ise ve eş kenarların karşısındaki açılar dik açıdan küçükse bu üçgenler eştir. (Bu durum genellikle KAK eşliğine indirgenir.)

Bu koşullar sağlandığında, üçgenlerin diğer açıları ve kenarları da karşılıklı olarak eş olur. ✅

Verilen bilgilere göre:

• İki kenar uzunluğu eş: \( AB = DE \) ve \( BC = EF \)
• Bu kenarlar arasındaki açı eş: \( \angle B = \angle E \)

Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik kuralını ifade eder. Dolayısıyla, ABC üçgeni ile DEF üçgeni KAK eşliğine göre eştir. 📌

ABCD bir paralelkenardır. Paralelkenarın köşegenleri, karşılıklı kenarları eşit uzunlukta böler ve üçgenler oluşturur.

• Köşegen AC çizildiğinde, \( \triangle ABC \) ve \( \triangle CDA \) oluşur.
• \( AB = DC \) (paralelkenarın karşılıklı kenarları eş)
• \( BC = AD \) (paralelkenarın karşılıklı kenarları eş)
• \( AC = CA \) (ortak kenar)

Bu durumda, \( \triangle ABC \cong \triangle CDA \) (KKK eşliği).
Benzer şekilde, köşegen BD çizildiğinde \( \triangle ABD \cong \triangle CDB \) (KKK eşliği) olur. 👉

İki üçgenin benzer olabilmesi için aşağıdaki koşullardan biri veya her ikisi sağlanmalıdır:

• Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eş ise bu üçgenler benzerdir. Bu durumda üçüncü açıları da eş olmak zorundadır.
• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin ikişer kenarı orantılı ve bu kenarlar arasındaki açılar eş ise bu üçgenler benzerdir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı üç kenarı da orantılı ise bu üçgenler benzerdir.

Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir ve bu orana "benzerlik oranı" denir. ✅

Bu problemde benzerlik kavramını kullanacağız. Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir.

• Küçük çerçevenin kenarları: 6 cm, 8 cm, 10 cm.
• Büyük çerçevenin en kısa kenarı 9 cm olarak verilmiş. Küçük çerçevenin en kısa kenarı 6 cm'dir.
• Benzerlik oranı (k) = (Büyük Çerçeve Kenarı) / (Küçük Çerçeve Kenarı)
• Burada, büyük çerçevenin en kısa kenarı 9 cm ve küçük çerçevenin en kısa kenarı 6 cm olduğundan, benzerlik oranı \( k = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \) olur.
• Büyük çerçevenin diğer kenarlarını bulmak için bu oranı kullanırız:
• Orta kenar: \( 8 \text{ cm} \times k = 8 \times \frac{3}{2} = 12 \) cm
• En uzun kenar: \( 10 \text{ cm} \times k = 10 \times \frac{3}{2} = 15 \) cm

Büyük çerçevenin diğer iki kenar uzunluğu 12 cm ve 15 cm'dir. 👉

Bu problemde ölçek kavramı, benzerlik prensibine dayanır. Harita üzerindeki şekiller, gerçek şekillerin küçültülmüş benzerleridir.

• Harita ölçeği 1:200.000 demektir. Bu, haritada 1 birimlik uzaklığın gerçekte 200.000 birim olduğu anlamına gelir.
• Harita üzerindeki uzaklık: 5 cm
• Gerçek uzaklık = Harita üzerindeki uzaklık \( \times \) Ölçekteki payda
• Gerçek uzaklık = \( 5 \text{ cm} \times 200.000 \)
• Gerçek uzaklık = \( 1.000.000 \) cm
• Şimdi bu uzaklığı kilometreye çevirelim:
• 1 km = 100.000 cm
• Gerçek uzaklık (km) = \( \frac{1.000.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} \)
• Gerçek uzaklık = 10 km

Bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık 10 kilometredir. 💡

İki üçgenin benzer olup olmadığını anlamak için açılarını kontrol etmeliyiz.

• ABC Üçgeni:
• \( \angle A = 70^\circ \)
• \( \angle B = 50^\circ \)
• Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( \angle C = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
• ABC üçgeninin açıları: \( 70^\circ, 50^\circ, 60^\circ \)
• DEF Üçgeni:
• \( \angle D = 60^\circ \)
• \( \angle E = 50^\circ \)
• Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( \angle F = 180^\circ - (60^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)
• DEF üçgeninin açıları: \( 60^\circ, 50^\circ, 70^\circ \)

Her iki üçgenin de açıları \( 70^\circ, 50^\circ, 60^\circ \) olarak aynıdır. Bu nedenle, bu iki üçgen benzerdir. Açı-Açı (AA) benzerlik kuralına göre benzerdirler.
Benzerlik sırası önemlidir: \( \angle A \) ile \( \angle F \), \( \angle B \) ile \( \angle E \), ve \( \angle C \) ile \( \angle D \) eşittir.
Dolayısıyla, \( \triangle ABC \sim \triangle FED \) şeklinde gösterilir. 📌

Bu problemde, güneş ışınlarının paralel geldiği varsayımıyla, mühendisin ve binanın oluşturduğu dik üçgenlerin benzerliğini kullanabiliriz.

• Mühendisin boyu = 1.8 metre
• Mühendisin gölgesi = 2.5 metre
• Binanın yüksekliği = \( h \) metre (bilinmiyor)
• Binanın gölgesi = 15 metre

Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları eşittir:

• \( \frac{\text{Binanın Yüksekliği}}{\text{Binanın Gölgesi}} = \frac{\text{Mühendisin Boyu}}{\text{Mühendisin Gölgesi}} \)
• \( \frac{h}{15} = \frac{1.8}{2.5} \)

Şimdi \( h \) değerini bulmak için denklemi çözelim:

• \( h = 15 \times \frac{1.8}{2.5} \)
• Önce \( \frac{1.8}{2.5} \) oranını hesaplayalım: \( \frac{1.8}{2.5} = \frac{18}{25} = 0.72 \)
• \( h = 15 \times 0.72 \)
• \( h = 10.8 \) metre

Binanın yüksekliği 10.8 metredir. ✅

İki üçgenin benzer olup olmadığını anlamak için Kenar-Kenar-Kenar (KKK) benzerlik kuralını kontrol edebiliriz. Bu kurala göre, eğer iki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise, üçgenler benzerdir.

• Birinci üçgenin kenarları: 3 cm, 4 cm, 5 cm
• İkinci üçgenin kenarları: 6 cm, 8 cm, 10 cm

Karşılıklı kenarları oranlayalım (küçükten büyüğe doğru sıralayarak):

• \( \frac{6}{3} = 2 \)
• \( \frac{8}{4} = 2 \)
• \( \frac{10}{5} = 2 \)

Tüm karşılıklı kenarların oranları eşittir (oran 2'dir). Bu, üçüncü kenarın karşısındaki açılar da eş olacağı anlamına gelir.
Bu nedenle, bu iki üçgen benzerdir. KKK benzerlik kuralına göre benzerdirler. 📌