📄 9. Sınıf Matematik: Eşlik Ve Benzerlikle İlgili Çıkarım Ve Teoremleri İçeren Problemler Çözebilme Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Temel Benzerlik Teoremi'ne göre, bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı olarak böler.
Buna göre, \(\triangle ADE\) üçgeni ile \(\triangle ABC\) üçgeni benzerdir.
Bu benzerlikten dolayı kenar oranları eşit olacaktır:
\(\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|}\)
Verilen değerleri yerine yazarsak:
\(\frac{4}{x} = \frac{6}{9}\)
Oranı sadeleştirelim:
\(\frac{4}{x} = \frac{2}{3}\)
İçler dışlar çarpımı yaparak \(x\) değerini bulalım:
\(2 \times x = 4 \times 3\)
\(2x = 12\)
\(x = \frac{12}{2}\)
\(x = 6\) cm bulunur.

💡 Çözüm Adımları:

Bu bir dik üçgende öklid bağıntıları ile ilgili bir sorudur. Ancak 9. sınıf müfredatında Öklid bağıntılarının türetilmesi benzerlikten gelir. Bu yüzden benzerlik kullanarak çözeceğiz.
\(\triangle ABC\) bir dik üçgendir. \(AD\) yüksekliği \(BC\) kenarına diktir.
Bu durumda oluşan \(\triangle ABD\) ve \(\triangle CAD\) üçgenleri ile \(\triangle ABC\) üçgeni benzerdir.
\(m(\angle B) = \alpha\) dersek, \(\triangle ABD\)'de \(m(\angle BAD) = 90^\circ - \alpha\) olur.
\(m(\angle C) = \beta\) dersek, \(\triangle CAD\)'de \(m(\angle CAD) = 90^\circ - \beta\) olur.
Aynı zamanda \(\triangle ABC\)'de \(m(\angle C) = 90^\circ - \alpha = \beta\).
Yani \(m(\angle BAD) = m(\angle C)\) ve \(m(\angle CAD) = m(\angle B)\).
Bu durumda \(\triangle ABD \sim \triangle CAD\) (A.A. Benzerliği).
Karşılıklı kenar oranlarını yazarsak:
\(\frac{|AD|}{|CD|} = \frac{|BD|}{|AD|}\)
\(|AD|^2 = |BD| \times |CD|\)
Verilen değerleri yerine yazalım:
\(|AD|^2 = 4 \times 9\)
\(|AD|^2 = 36\)
\(|AD| = \sqrt{36}\)
\(|AD| = 6\) cm bulunur.

💡 Çözüm Adımları:

Benzer iki üçgenin çevreleri oranı, benzerlik oranına eşittir.
Benzerlik oranı \(k = \frac{2}{3}\) olarak verilmiş. (Küçük üçgen / Büyük üçgen)
Küçük üçgenin çevresi \(C_k = 18\) cm. Büyük üçgenin çevresi \(C_b\) olsun.
\(\frac{C_k}{C_b} = k\)
\(\frac{18}{C_b} = \frac{2}{3}\)
İçler dışlar çarpımı yaparak \(C_b\) değerini bulalım:
\(2 \times C_b = 18 \times 3\)
\(2 C_b = 54\)
\(C_b = \frac{54}{2}\)
\(C_b = 27\) cm.
Büyük üçgenin çevresi 27 cm'dir.

Şimdi alanları hesaplayalım. Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
\(\frac{Alan_k}{Alan_b} = k^2\)
Küçük üçgenin alanı \(Alan_k = 20\) \(\text{cm}^2\). Büyük üçgenin alanı \(Alan_b\) olsun.
\(\frac{20}{Alan_b} = (\frac{2}{3})^2\)
\(\frac{20}{Alan_b} = \frac{4}{9}\)
İçler dışlar çarpımı yaparak \(Alan_b\) değerini bulalım:
\(4 \times Alan_b = 20 \times 9\)
\(4 Alan_b = 180\)
\(Alan_b = \frac{180}{4}\)
\(Alan_b = 45\) \(\text{cm}^2\).
Büyük üçgenin alanı 45 \(\text{cm}^2\)'dir.