🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Geometrik Dönüşümler Çözümlü Sorular
9. Sınıf Matematik: Geometrik Dönüşümler Çözümlü Sorular
Soru 1:
📍 Bir \(A(3, -5)\) noktasının, x-ekseni boyunca 4 birim sağa ve y-ekseni boyunca 2 birim yukarı ötelenmesiyle oluşan \(A'\) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
Öteleme, bir noktanın veya şeklin konumunu değiştirmeden belirli bir yönde ve miktarda kaydırma işlemidir. İşte çözüm adımları:
- 👉 Başlangıç Noktası: Verilen noktamız \(A(3, -5)\).
- 👉 X-ekseni Boyunca Öteleme:
- X-ekseni boyunca 4 birim sağa öteleme, noktanın x-koordinatına 4 eklemek demektir.
- Yeni x-koordinatı: \(3 + 4 = 7\).
- 👉 Y-ekseni Boyunca Öteleme:
- Y-ekseni boyunca 2 birim yukarı öteleme, noktanın y-koordinatına 2 eklemek demektir.
- Yeni y-koordinatı: \(-5 + 2 = -3\).
- ✅ Sonuç: Öteleme sonucunda oluşan \(A'\) noktasının koordinatları \(A'(7, -3)\) olur.
Soru 2:
💡 \(B(-2, 7)\) noktasının y-eksenine göre yansıması olan \(B'\) noktasının koordinatları nedir?
Çözüm:
Yansıma, bir noktanın veya şeklin bir doğruya (yansıma ekseni) veya bir noktaya (yansıma merkezi) göre simetriğini almaktır.
- 👉 Yansıma Kuralı: Bir noktanın y-eksenine göre yansımasında, noktanın x-koordinatının işareti değişir, y-koordinatı ise aynı kalır.
- Eğer noktamız \(P(x, y)\) ise, y-eksenine göre yansıması \(P'(-x, y)\) olur.
- 👉 Uygulama: Verilen noktamız \(B(-2, 7)\).
- X-koordinatının işaretini değiştirelim: \(-(-2) = 2\).
- Y-koordinatı aynı kalır: \(7\).
- ✅ Sonuç: \(B(-2, 7)\) noktasının y-eksenine göre yansıması \(B'(2, 7)\) noktasıdır.
Soru 3:
📌 \(C(4, -1)\) noktasının orijin etrafında saat yönünün tersine \(90^\circ\) döndürülmesiyle oluşan \(C'\) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
Dönme, bir noktanın veya şeklin sabit bir nokta (dönme merkezi) etrafında belirli bir açı kadar hareket ettirilmesidir.
- 👉 Dönme Kuralı: Orijin etrafında saat yönünün tersine \(90^\circ\) dönme kuralı şöyledir: Bir \(P(x, y)\) noktası, döndürüldüğünde \(P'(-y, x)\) noktasına dönüşür.
- Yani, x ve y koordinatları yer değiştirir ve yeni y-koordinatının (eski x) işareti değişir.
- 👉 Uygulama: Verilen noktamız \(C(4, -1)\).
- x-koordinatı \(x=4\), y-koordinatı \(y=-1\).
- Kuralı uygulayalım: \(P'(-y, x)\)
- Yeni x-koordinatı: \(-(-1) = 1\).
- Yeni y-koordinatı: \(4\).
- ✅ Sonuç: \(C(4, -1)\) noktasının orijin etrafında saat yönünün tersine \(90^\circ\) döndürülmesiyle oluşan \(C'\) noktasının koordinatları \(C'(1, 4)\) olur.
Soru 4:
👉 Bir \(D(5, 2)\) noktası önce x-ekseni boyunca 3 birim sola öteleniyor, ardından oluşan noktanın orijine göre yansıması alınıyor. Son durumda elde edilen \(D''\) noktasının koordinatları nedir?
Çözüm:
Bu soru, ardışık dönüşümleri içermektedir. Adım adım ilerleyelim:
- 1️⃣ Birinci Dönüşüm: Öteleme
- 👉 Başlangıç Noktası: \(D(5, 2)\).
- X-ekseni boyunca 3 birim sola öteleme, x-koordinatından 3 çıkarmak demektir.
- Yeni x-koordinatı: \(5 - 3 = 2\).
- Y-koordinatı değişmez: \(2\).
- Öteleme sonrası oluşan nokta \(D'(2, 2)\) olur.
- 2️⃣ İkinci Dönüşüm: Yansıma
- 👉 Yansıma Noktası: \(D'(2, 2)\).
- Orijine göre yansıma kuralı: Bir \(P(x, y)\) noktasının orijine göre yansıması \(P'(-x, -y)\) olur. Yani hem x hem de y koordinatlarının işaretleri değişir.
- X-koordinatının işareti değişir: \(-2\).
- Y-koordinatının işareti değişir: \(-2\).
- ✅ Sonuç: Son durumda elde edilen \(D''\) noktasının koordinatları \(D''(-2, -2)\) olur.
Soru 5:
Bir \(E(-3, 6)\) noktasının \(y=x\) doğrusuna göre yansıması olan \(E'\) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
Yansıma, geometrik dönüşümlerin temel elemanlarından biridir. \(y=x\) doğrusuna göre yansıma özel bir durumdur.
- 👉 Yansıma Kuralı: Bir noktanın \(y=x\) doğrusuna göre yansımasında, noktanın x ve y koordinatları yer değiştirir.
- Eğer noktamız \(P(x, y)\) ise, \(y=x\) doğrusuna göre yansıması \(P'(y, x)\) olur.
- 👉 Uygulama: Verilen noktamız \(E(-3, 6)\).
- x-koordinatı \(x=-3\), y-koordinatı \(y=6\).
- Kuralı uygulayalım: Koordinatları yer değiştirelim.
- Yeni x-koordinatı: \(6\).
- Yeni y-koordinatı: \(-3\).
- ✅ Sonuç: \(E(-3, 6)\) noktasının \(y=x\) doğrusuna göre yansıması \(E'(6, -3)\) noktasıdır.
Soru 6:
\(F(2, -4)\) noktasının orijin etrafında saat yönünde \(90^\circ\) döndürülmesiyle oluşan \(F'\) noktasının koordinatları nedir?
Çözüm:
Dönme yönü, dönüşüm kuralını etkiler. Saat yönünde dönme, saat yönünün tersine dönmenin tam tersidir.
- 👉 Dönme Kuralı: Orijin etrafında saat yönünde \(90^\circ\) dönme kuralı şöyledir: Bir \(P(x, y)\) noktası, döndürüldüğünde \(P'(y, -x)\) noktasına dönüşür.
- Yani, x ve y koordinatları yer değiştirir ve yeni y-koordinatının (eski x) işareti değişir. (Bu, saat yönünün tersine \(270^\circ\) dönme ile aynıdır).
- 👉 Uygulama: Verilen noktamız \(F(2, -4)\).
- x-koordinatı \(x=2\), y-koordinatı \(y=-4\).
- Kuralı uygulayalım: \(P'(y, -x)\)
- Yeni x-koordinatı: \(-4\).
- Yeni y-koordinatı: \(-(2) = -2\).
- ✅ Sonuç: \(F(2, -4)\) noktasının orijin etrafında saat yönünde \(90^\circ\) döndürülmesiyle oluşan \(F'\) noktasının koordinatları \(F'(-4, -2)\) olur.
Soru 7:
Bir robot, düz bir zeminde \(K(1, 3)\), \(L(4, 3)\) ve \(M(4, 1)\) noktalarını köşe kabul eden bir üçgen şeklinde alan taraması yapmaktadır. Robotun programında bir hata oluşuyor ve taradığı alanı önce x-eksenine göre yansıtıp, ardından oluşan yeni üçgeni x-ekseni boyunca 2 birim sola ötelemesi gerekiyor.
Buna göre, hata sonrası robotun taradığı alanın yeni köşe koordinatları \(K''\), \(L''\) ve \(M''\) ne olur?
Buna göre, hata sonrası robotun taradığı alanın yeni köşe koordinatları \(K''\), \(L''\) ve \(M''\) ne olur?
Çözüm:
Bu tür sorular, birden fazla geometrik dönüşümü ardışık olarak uygulamayı gerektirir. Her bir köşeyi ayrı ayrı dönüştürelim.
- 1️⃣ Birinci Dönüşüm: X-eksenine Göre Yansıma
- X-eksenine göre yansıma kuralı: \(P(x, y) \to P'(x, -y)\).
- \(K(1, 3) \to K'(1, -3)\)
- \(L(4, 3) \to L'(4, -3)\)
- \(M(4, 1) \to M'(4, -1)\)
- Bu adımla üçgenin yansıması olan \(K'L'M'\) üçgeninin koordinatlarını bulduk.
- 2️⃣ İkinci Dönüşüm: X-ekseni Boyunca 2 Birim Sola Öteleme
- Öteleme kuralı: \(P'(x, y) \to P''(x-2, y)\).
- \(K'(1, -3) \to K''(1-2, -3) = K''(-1, -3)\)
- \(L'(4, -3) \to L''(4-2, -3) = L''(2, -3)\)
- \(M'(4, -1) \to M''(4-2, -1) = M''(2, -1)\)
- ✅ Sonuç: Hata sonrası robotun taradığı yeni alanın köşe koordinatları \(K''(-1, -3)\), \(L''(2, -3)\) ve \(M''(2, -1)\) olur.
Soru 8:
Bir inşaat firması, bir binanın temelini atmadan önce, mimari plan üzerindeki bir dikdörtgen şeklindeki havuzun yerini değiştirmek istiyor.
Havuzun plan üzerindeki başlangıç köşeleri \(A(2, 1)\), \(B(5, 1)\), \(C(5, 3)\) ve \(D(2, 3)\) olsun.
Mimar, havuzu önce x-ekseni boyunca 1 birim sağa ve y-ekseni boyunca 2 birim aşağı öteleyerek, ardından oluşan yeni havuzu orijin etrafında saat yönünün tersine \(180^\circ\) döndürerek son konumuna getirmeyi planlıyor.
Buna göre, havuzun son konumdaki köşe koordinatları ne olur?
Havuzun plan üzerindeki başlangıç köşeleri \(A(2, 1)\), \(B(5, 1)\), \(C(5, 3)\) ve \(D(2, 3)\) olsun.
Mimar, havuzu önce x-ekseni boyunca 1 birim sağa ve y-ekseni boyunca 2 birim aşağı öteleyerek, ardından oluşan yeni havuzu orijin etrafında saat yönünün tersine \(180^\circ\) döndürerek son konumuna getirmeyi planlıyor.
Buna göre, havuzun son konumdaki köşe koordinatları ne olur?
Çözüm:
Bu örnek, günlük hayatta mimari planlamada geometrik dönüşümlerin nasıl kullanılabileceğini göstermektedir. Her köşeyi adım adım dönüştürelim.
- 1️⃣ Birinci Dönüşüm: Öteleme
- 👉 Öteleme Kuralı: x-ekseni boyunca 1 birim sağa (\(x+1\)), y-ekseni boyunca 2 birim aşağı (\(y-2\)).
- \(A(2, 1) \to A'(2+1, 1-2) = A'(3, -1)\)
- \(B(5, 1) \to B'(5+1, 1-2) = B'(6, -1)\)
- \(C(5, 3) \to C'(5+1, 3-2) = C'(6, 1)\)
- \(D(2, 3) \to D'(2+1, 3-2) = D'(3, 1)\)
- Bu adımla havuzun öteleme sonrası yeni konumunu bulduk.
- 2️⃣ İkinci Dönüşüm: Orijin Etrafında Saat Yönünün Tersine \(180^\circ\) Dönme
- 👉 Dönme Kuralı: Orijin etrafında \(180^\circ\) dönme kuralı: \(P(x, y) \to P''(-x, -y)\). (Bu, aynı zamanda orijine göre yansıma ile aynıdır.)
- \(A'(3, -1) \to A''(-3, -(-1)) = A''(-3, 1)\)
- \(B'(6, -1) \to B''(-6, -(-1)) = B''(-6, 1)\)
- \(C'(6, 1) \to C''(-6, -1)\)
- \(D'(3, 1) \to D''(-3, -1)\)
- ✅ Sonuç: Havuzun son konumdaki köşe koordinatları \(A''(-3, 1)\), \(B''(-6, 1)\), \(C''(-6, -1)\) ve \(D''(-3, -1)\) olur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/9-sinif-matematik-geometrik-donusumler/sorular