📄 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayı Aralıklarının Gösterimi Ve Aralıklarla İlgili İşlemlerde Kümeler Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle verilen aralıkları anlayalım:
\(A = [-4, 5]\) demek, \(-4 \le x \le 5\) demektir. Sayı doğrusunda \(-4\) ve \(5\) noktaları dahil, aradaki tüm gerçek sayılar.
\(B = (1, 8]\) demek, \(1 < x \le 8\) demektir. Sayı doğrusunda \(1\) noktası hariç, \(8\) noktası dahil, aradaki tüm gerçek sayılar.

a) \(A \cup B\) (Birleşim Kümesi):
\(A\) ve \(B\)'nin tüm elemanlarını içeren kümedir.
\(A = [-4, 5]\) ve \(B = (1, 8]\) aralıklarını birleştirdiğimizde en küçük eleman \(-4\) ve en büyük eleman \(8\) olur.
Bu durumda \(A \cup B = [-4, 8]\) olur.
Sayı doğrusunda \(-4\)'ten başlayıp \(8\)'e kadar olan tüm noktalar taranır, uç noktalar dahildir.

b) \(A \cap B\) (Kesişim Kümesi):
\(A\) ve \(B\)'nin ortak elemanlarını içeren kümedir.
\(A\)'daki elemanlar \(-4\) ile \(5\) arasında (dahil), \(B\)'deki elemanlar \(1\) ile \(8\) arasında (\(1\) hariç, \(8\) dahil).
Ortak kısım \(1\)'den büyük ve \(5\)'ten küçük veya eşit olan sayılardır.
Bu durumda \(A \cap B = (1, 5]\) olur.
Sayı doğrusunda \(1\)'in içi boş, \(5\)'in içi dolu olarak işaretlenir ve arası taranır.

c) \(A \setminus B\) (Fark Kümesi):
\(A\) kümesinde olup \(B\) kümesinde olmayan elemanlardır.
\(A = [-4, 5]\) kümesinden \(B = (1, 8]\) kümesinin elemanlarını çıkarıyoruz.
\(B\)'nin \(A\) ile kesişen kısmı \((1, 5]\) idi. Bu kısmı \(A\)'dan çıkarırsak, \(1\) noktası \(B\)'de olmadığı için \(A \setminus B\)'ye dahil olur. \(5\) noktası ise \(B\)'nin kesişim kısmında olduğu için çıkarılır.
Bu durumda \(A \setminus B = [-4, 1]\) olur.
Sayı doğrusunda \(-4\)'ten başlayıp \(1\)'e kadar olan tüm noktalar taranır, uç noktalar dahildir.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen eşitsizlik \(3x - 1 \le 8\) şeklindedir.
Eşitsizliği çözmek için \(x\)'i yalnız bırakalım:
Önce her iki tarafa \(1\) ekleyelim:
\(3x - 1 + 1 \le 8 + 1\)
\(3x \le 9\)
Şimdi her iki tarafı \(3\)'e bölelim:
\(\frac{3x}{3} \le \frac{9}{3}\)
\(x \le 3\)
Bu eşitsizliği sağlayan \(x\) gerçek sayılarının aralığı \((-\infty, 3]\)'tür.
Bu aralıktaki en büyük tam sayı \(3\)'tür. Çünkü aralık \(3\)'ü de içermektedir ve \(3\)'ten küçük veya eşit tüm gerçek sayılar bu aralıktadır.

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle verilen kümeleri aralık notasyonu ile yazalım:
\(A = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 < x \le 4\}\) ifadesi, \(x\)'in \(-2\)'den büyük ve \(4\)'ten küçük veya eşit olduğu anlamına gelir. Bu da \(A = (-2, 4]\) aralığını temsil eder.
\(B = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 \le x < 7\}\) ifadesi, \(x\)'in \(0\)'dan büyük veya eşit ve \(7\)'den küçük olduğu anlamına gelir. Bu da \(B = [0, 7)\) aralığını temsil eder.

a) \(A \cap B\) (Kesişim Kümesi):
\(A\) ve \(B\)'nin ortak elemanlarını bulmalıyız.
\(A = (-2, 4]\) ve \(B = [0, 7)\).
\(x\)'in hem \(-2 < x \le 4\) hem de \(0 \le x < 7\) koşullarını sağlaması gerekir.
Bu durumda, \(x\)'in alt sınırı \(0\) (çünkü \(0 > -2\)) ve üst sınırı \(4\) (çünkü \(4 < 7\)) olur.
\(0\) her iki aralıkta da dahil olduğundan dahil olur. \(4\) her iki aralıkta da dahil olduğundan dahil olur.
Dolayısıyla, \(A \cap B = [0, 4]\) olur.

b) \(B \setminus A\) (Fark Kümesi):
\(B\) kümesinde olup \(A\) kümesinde olmayan elemanlardır.
\(B = [0, 7)\) kümesinden \(A = (-2, 4]\) kümesinin elemanlarını çıkarıyoruz.
\(B\) kümesindeki \(x\)'in \(0 \le x < 7\) olması gerekiyor.
Ayrica \(x\)'in \(-2 < x \le 4\) koşulunu sağlamaması gerekiyor. Yani \(x \le -2\) veya \(x > 4\) olması gerekiyor.
\(B\) kümesindeki elemanlar \([0, 7)\) aralığında olduğundan, \(x \le -2\) kısmı \(B\) ile kesişmez.
Geriye \(x > 4\) kalır.
\(B\) kümesindeki \(x > 4\) koşulunu sağlayan kısım \((4, 7)\)'dir.
\(4\) noktası \(A\)'da olduğu için \(B \setminus A\)'da yer almaz.
Dolayısıyla, \(B \setminus A = (4, 7)\) olur.