🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayı Aralıklarının Gösterimi Ve Aralıklarla İlgili İşlemlerde Kümeler Çözümlü Sorular
9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayı Aralıklarının Gösterimi Ve Aralıklarla İlgili İşlemlerde Kümeler Çözümlü Sorular
Soru 1:
🔢 Aşağıda verilen aralıkları küme gösterimi ve sayı doğrusu üzerinde gösteriniz:
a) Kapalı aralık: \( [-2, 3] \)
b) Açık aralık: \( (1, 5) \)
c) Yarı açık aralık: \( [-4, 0) \)
a) Kapalı aralık: \( [-2, 3] \)
b) Açık aralık: \( (1, 5) \)
c) Yarı açık aralık: \( [-4, 0) \)
Çözüm:
Bu aralıkları adım adım inceleyelim:
- 👉 a) Kapalı aralık: \( [-2, 3] \)
- Küme Gösterimi: \( \{x \mid -2 \le x \le 3, x \in \mathbb{R}\} \)
- Sayı Doğrusunda Gösterimi: Sayı doğrusu üzerinde -2 ve 3 noktaları dolu daire ile işaretlenir ve bu iki nokta arasındaki kısım kalın bir çizgiyle belirtilir. (Metinsel betimleme)
- Açıklama: Bu aralık, -2 ve 3 dâhil olmak üzere, bu iki gerçek sayı arasındaki tüm gerçek sayıları kapsar. ✅
- 👉 b) Açık aralık: \( (1, 5) \)
- Küme Gösterimi: \( \{x \mid 1 < x < 5, x \in \mathbb{R}\} \)
- Sayı Doğrusunda Gösterimi: Sayı doğrusu üzerinde 1 ve 5 noktaları boş daire ile işaretlenir ve bu iki nokta arasındaki kısım kalın bir çizgiyle belirtilir. (Metinsel betimleme)
- Açıklama: Bu aralık, 1 ve 5 hariç olmak üzere, bu iki gerçek sayı arasındaki tüm gerçek sayıları kapsar. 💡
- 👉 c) Yarı açık aralık: \( [-4, 0) \)
- Küme Gösterimi: \( \{x \mid -4 \le x < 0, x \in \mathbb{R}\} \)
- Sayı Doğrusunda Gösterimi: Sayı doğrusu üzerinde -4 noktası dolu daire, 0 noktası boş daire ile işaretlenir ve bu iki nokta arasındaki kısım kalın bir çizgiyle belirtilir. (Metinsel betimleme)
- Açıklama: Bu aralık, -4 dâhil, 0 hariç olmak üzere, bu iki gerçek sayı arasındaki tüm gerçek sayıları kapsar. 📌
Soru 2:
📝 \( A = [-3, 5] \) ve \( B = (2, 7] \) aralıkları veriliyor. Buna göre \( A \cap B \) kümesini bulunuz ve sayı doğrusunda gösteriniz.
Çözüm:
İki aralığın kesişimi, her iki aralıkta da bulunan elemanlardan oluşur.
- 1. Aralıkları Yazalım:
- \( A = \{x \mid -3 \le x \le 5, x \in \mathbb{R}\} \)
- \( B = \{x \mid 2 < x \le 7, x \in \mathbb{R}\} \)
- 2. Kesişimi Belirleyelim:
- Kesişim için alt sınırda büyük olanı, üst sınırda küçük olanı alırız.
- Alt sınırlar: -3 ve 2. Büyük olan 2.
- Üst sınırlar: 5 ve 7. Küçük olan 5.
- Sınırların dahil olup olmamasına dikkat edelim. 2, A kümesine dahil değildir (\( x > 2 \)). 5, her iki kümeye de dahildir (\( x \le 5 \)).
- 3. Sonuç:
- Bu durumda \( A \cap B = (2, 5] \) olur. ✅
- Küme Gösterimi: \( \{x \mid 2 < x \le 5, x \in \mathbb{R}\} \)
- 4. Sayı Doğrusunda Gösterimi:
- Sayı doğrusu üzerinde 2 noktası boş daire, 5 noktası dolu daire ile işaretlenir ve bu iki nokta arasındaki kısım kalın bir çizgiyle belirtilir. (Metinsel betimleme) 💡
Soru 3:
➕ \( K = (-\infty, 4] \) ve \( L = [0, \infty) \) aralıkları veriliyor. Buna göre \( K \cup L \) kümesini bulunuz.
Çözüm:
İki aralığın birleşimi, her iki aralıktaki tüm elemanları kapsar.
- 1. Aralıkları Yazalım:
- \( K = \{x \mid x \le 4, x \in \mathbb{R}\} \)
- \( L = \{x \mid x \ge 0, x \in \mathbb{R}\} \)
- 2. Birleşimi Belirleyelim:
- \( K \) aralığı 4'ten küçük veya eşit tüm gerçek sayıları kapsar. Bu, sayı doğrusunda soldan 4'e kadar uzanır.
- \( L \) aralığı 0'dan büyük veya eşit tüm gerçek sayıları kapsar. Bu, sayı doğrusunda 0'dan sağa doğru uzanır.
- Bu iki aralığı birleştirdiğimizde, tüm gerçek sayıları kapsayan bir aralık elde ederiz çünkü 0 ile 4 arasındaki sayılar her iki aralıkta da veya birinde bulunur.
- 3. Sonuç:
- \( K \cup L = (-\infty, \infty) = \mathbb{R} \) olur. ✅
- Açıklama: Bu, tüm gerçek sayılar kümesidir. 📌
Soru 4:
➖ \( M = [-5, 6) \) ve \( N = [1, 8) \) aralıkları veriliyor. Buna göre \( M \setminus N \) kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bir kümeden diğerini çıkarmak (fark işlemi), birinci kümede olup ikinci kümede olmayan elemanları bulmak demektir.
- 1. Aralıkları Yazalım:
- \( M = \{x \mid -5 \le x < 6, x \in \mathbb{R}\} \)
- \( N = \{x \mid 1 \le x < 8, x \in \mathbb{R}\} \)
- 2. Fark İşlemini Uygulayalım (\( M \setminus N \)):
- \( M \) aralığı \( [-5, 6) \) iken, \( N \) aralığı \( [1, 8) \) şeklindedir.
- \( M \setminus N \), \( M \) kümesinde olan ancak \( N \) kümesinde olmayan elemanlardır.
- \( N \) kümesi 1'den başlar. Bu nedenle \( M \) kümesinin 1'den küçük olan kısmı \( M \setminus N \) kümesinin bir parçası olacaktır. Bu kısım \( [-5, 1) \) şeklindedir.
- 1 sayısı \( N \) kümesine dahil olduğu için, \( M \setminus N \) kümesinde 1 sayısı dahil olmayacaktır. Yani aralığın üst sınırı 1 ve açık parantez olacaktır.
- 3. Sonuç:
- \( M \setminus N = [-5, 1) \) olur. ✅
- Küme Gösterimi: \( \{x \mid -5 \le x < 1, x \in \mathbb{R}\} \)
- Açıklama: -5'ten başlayıp 1'e kadar (1 dâhil değil) olan tüm gerçek sayılardır. 💡
Soru 5:
🔢 \( A = [-7, k+2] \) aralığında toplam 12 tane tam sayı bulunmaktadır. Buna göre \( k \) gerçek sayısının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz.
Çözüm:
Bir \( [a, b] \) kapalı aralığındaki tam sayı adedi \( b - a + 1 \) formülüyle bulunur.
- 1. Tam Sayı Adedi Formülünü Kullanma:
- Verilen aralık \( [-7, k+2] \) kapalı aralığıdır.
- Tam sayı adedi = \( (k+2) - (-7) + 1 \)
- Tam sayı adedi = \( k+2+7+1 = k+10 \)
- 2. Denklemi Kurma:
- Soruda 12 tane tam sayı olduğu belirtilmiştir.
- \( k+10 = 12 \)
- 3. \( k \) Değerini Bulma:
- \( k = 12 - 10 \)
- \( k = 2 \)
- 4. Aralık Sınırını Kontrol Etme:
- Bu durumda aralığımız \( [-7, 2+2] = [-7, 4] \) olur.
- Bu aralıktaki tam sayılar: \(-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\). Sayarsak 12 tane tam sayı vardır.
- Ancak aralık \( [-7, k+2] \) şeklinde verildiği için, \( k+2 \) ifadesinin tam sayı olması gerekmez. Sadece aralıktaki tam sayı adedini etkiler.
- Eğer \( k+2 \) değeri tam sayı ise \( k+2 - (-7) + 1 = 12 \) olur ve \( k+10 = 12 \Rightarrow k=2 \) bulunur.
- Peki ya \( k+2 \) tam sayı değilse? Örneğin \( [-7, 4.5] \) aralığında da 12 tam sayı vardır. (\(-7, ..., 4\))
- Yani \( k+2 \) değeri 4'ten büyük veya eşit, 5'ten küçük olmalıdır.
- \( 4 \le k+2 < 5 \)
- 5. \( k \) için Eşitsizliği Çözme:
- Her taraftan 2 çıkaralım: \( 4 - 2 \le k+2 - 2 < 5 - 2 \)
- \( 2 \le k < 3 \)
- 6. \( k \)'nin Alabileceği Tam Sayı Değerleri:
- Bu eşitsizliği sağlayan tek tam sayı değeri \( k = 2 \) dir. ✅
- Dolayısıyla \( k \)'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı sadece 2'dir. 💡
Soru 6:
📱 Bir cep telefonu uygulamasında, kullanıcıların yaş aralığına göre içerik filtrelemesi yapılmaktadır. Uygulama, 15 yaşından küçük olmayan ve 25 yaşından büyük olmayan kişilere özel içerikler sunmaktadır. Buna ek olarak, 18 yaş ve üzeri kullanıcılara da ayrı bir "premium" içerik sunulmaktadır.
Buna göre, hem özel içerikleri hem de premium içerikleri görebilen kullanıcıların yaş aralığını bulunuz.
Buna göre, hem özel içerikleri hem de premium içerikleri görebilen kullanıcıların yaş aralığını bulunuz.
Çözüm:
Öncelikle her iki durumu da matematiksel aralıklar şeklinde ifade edelim.
- 1. Özel İçeriklerin Yaş Aralığı:
- "15 yaşından küçük olmayan" demek \( x \ge 15 \) demektir.
- "25 yaşından büyük olmayan" demek \( x \le 25 \) demektir.
- Bu iki koşulu sağlayan yaş aralığı \( A = [15, 25] \) olur. 📌
- 2. Premium İçeriklerin Yaş Aralığı:
- "18 yaş ve üzeri" demek \( x \ge 18 \) demektir.
- Bu koşulu sağlayan yaş aralığı \( B = [18, \infty) \) olur. 💡
- 3. Her İki İçeriği Görebilen Kullanıcılar:
- Hem özel içerikleri hem de premium içerikleri görebilen kullanıcılar, her iki aralığın kesişim kümesinde yer alan kişilerdir.
- Yani \( A \cap B \) işlemini yapmalıyız.
- \( A = [15, 25] \)
- \( B = [18, \infty) \)
- Kesişim için alt sınırda büyük olanı (18), üst sınırda küçük olanı (25) alırız. Her iki sınır da kapalı aralık olduğu için dahil edilir.
- 4. Sonuç:
- \( A \cap B = [18, 25] \) olur. ✅
- Bu durumda, hem özel içerikleri hem de premium içerikleri görebilen kullanıcıların yaş aralığı 18 ile 25 (dâhil) arasındadır.
Soru 7:
🌡️ Bir şehirde hava sıcaklığı ölçümleri yapılmıştır. Pazartesi günü sıcaklık \( 5^\circ\text{C} \) ile \( 12^\circ\text{C} \) (dâhil) arasında seyretmiştir. Salı günü ise sıcaklık \( 8^\circ\text{C} \) (dâhil değil) ile \( 15^\circ\text{C} \) (dâhil) arasında olmuştur.
Buna göre, her iki gün de gözlemlenen sıcaklık değerlerinin aralığını bulunuz.
Buna göre, her iki gün de gözlemlenen sıcaklık değerlerinin aralığını bulunuz.
Çözüm:
Hava sıcaklığı verilerini matematiksel aralıklar şeklinde ifade edelim.
- 1. Pazartesi Sıcaklık Aralığı:
- "\( 5^\circ\text{C} \) ile \( 12^\circ\text{C} \) (dâhil)" ifadesi, kapalı aralık \( P = [5, 12] \) şeklinde gösterilir. 📌
- 2. Salı Sıcaklık Aralığı:
- "\( 8^\circ\text{C} \) (dâhil değil) ile \( 15^\circ\text{C} \) (dâhil)" ifadesi, yarı açık aralık \( S = (8, 15] \) şeklinde gösterilir. 💡
- 3. Her İki Gün Gözlemlenen Sıcaklıklar:
- Her iki gün de gözlemlenen sıcaklık değerleri, bu iki aralığın kesişim kümesini oluşturur.
- Yani \( P \cap S \) işlemini yapmalıyız.
- \( P = [5, 12] \)
- \( S = (8, 15] \)
- Kesişim için alt sınırda büyük olanı (8), üst sınırda küçük olanı (12) alırız.
- Alt sınır 8, \( S \) aralığında dâhil olmadığı için kesişimde de dâhil olmaz.
- Üst sınır 12, her iki aralıkta da dâhil olduğu için kesişimde de dâhil olur.
- 4. Sonuç:
- \( P \cap S = (8, 12] \) olur. ✅
- Yani, her iki gün de gözlemlenen sıcaklık aralığı \( (8^\circ\text{C}, 12^\circ\text{C}] \) şeklindedir.
Soru 8:
🧩 \( A = [-6, 3) \), \( B = (1, 8] \) ve \( C = [0, 5] \) aralıkları veriliyor. Buna göre \( (A \cup B) \cap C \) kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bu tür soruları adım adım çözmek en doğrusudur. Önce parantez içindeki işlemi yapalım.
- 1. \( A \cup B \) işlemini bulalım:
- \( A = [-6, 3) \)
- \( B = (1, 8] \)
- Birleşim işlemi için en küçük alt sınırı ve en büyük üst sınırı alırız.
- Alt sınırlar: -6 ve 1. En küçük olan -6 (dâhil).
- Üst sınırlar: 3 ve 8. En büyük olan 8 (dâhil).
- Aralıklar birbirini kapsadığı için (3 ile 1 arasında boşluk yok), birleşim tek bir aralık olacaktır.
- \( A \cup B = [-6, 8] \) olur. 📌
- 2. Şimdi \( (A \cup B) \cap C \) işlemini yapalım:
- Bulduğumuz \( A \cup B = [-6, 8] \) aralığı ile \( C = [0, 5] \) aralığının kesişimini alacağız.
- \( [-6, 8] \cap [0, 5] \)
- Kesişim için alt sınırda büyük olanı, üst sınırda küçük olanı alırız.
- Alt sınırlar: -6 ve 0. Büyük olan 0 (dâhil).
- Üst sınırlar: 8 ve 5. Küçük olan 5 (dâhil).
- 3. Sonuç:
- \( (A \cup B) \cap C = [0, 5] \) olur. ✅
- Küme Gösterimi: \( \{x \mid 0 \le x \le 5, x \in \mathbb{R}\} \)
- Açıklama: Bu aralık, 0 ve 5 dâhil olmak üzere, bu iki gerçek sayı arasındaki tüm gerçek sayıları kapsar. 💡
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/9-sinif-matematik-gercek-sayi-araliklarinin-gosterimi-ve-araliklarla-ilgili-islemlerde-kumeler/sorular