🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek sayıların köklü gösterimi ve üslü ifadelerin köklüye dönüşmesi Çözümlü Sorular
9. Sınıf Matematik: Gerçek sayıların köklü gösterimi ve üslü ifadelerin köklüye dönüşmesi Çözümlü Sorular
Soru 1:
📌 Klasik Örnek 1: Alanı \( 49 \) metrekare olan kare şeklindeki bir bahçenin bir kenar uzunluğunu köklü ifade olarak bulunuz.
Çözüm:
✅ Çözüm Adımları:
- Karenin alanı, bir kenar uzunluğunun kendisi ile çarpılmasıyla bulunur. Kenar uzunluğuna x dersek, \( x \times x = 49 \) denklemi kurulur.
- Bu ifadeyi üslü olarak \( x^2 = 49 \) şeklinde yazabiliriz.
- Hangi pozitif gerçek sayının karesi \( 49 \) yapar sorusunun cevabı köklü gösterimle bulunur.
- Sonuç olarak x = \( \sqrt{49} \) yani x = \( 7 \) metre olarak bulunur.
Soru 2:
📌 Klasik Örnek 2: \( 2^{\frac{3}{2}} \) şeklinde verilen rasyonel üslü ifadeyi köklü ifadeye dönüştürünüz.
Çözüm:
✅ Çözüm Adımları:
- Rasyonel üslü ifadelerde üssün payı kök içindeki sayının kuvvetini, paydası ise kökün derecesini belirtir.
- Verilen ifadede taban \( 2 \), üs ise \( \frac{3}{2} \) şeklindedir.
- Paydadaki \( 2 \) sayısı karekökün derecesidir (İkinci dereceden köklerde derece yazılmayabilir).
- Paydaki \( 3 \) sayısı ise \( 2 \) tabanının kuvveti olur.
- Dönüşüm sonucunda ifade \( \sqrt{2^3} \) veya \( \sqrt{8} \) şeklinde yazılır.
Soru 3:
📌 Klasik Örnek 3: \( \sqrt[3]{5^4} \) köklü ifadesini üslü ifade biçiminde yazınız.
Çözüm:
✅ Çözüm Adımları:
- Köklü bir ifadeyi üslü ifadeye çevirirken kök derecesi üssün paydasına yazılır.
- Verilen ifadede kök derecesi \( 3 \) (payda) ve içerideki sayının kuvveti \( 4 \) (pay) tür.
- Taban olan \( 5 \) sayısının üzerine kesirli bir üs yerleştirilir.
- İşlem sonucunda üslü ifade \( 5^{\frac{4}{3}} \) olarak elde edilir.
Soru 4:
📌 Klasik Örnek 4: \( 8^{\frac{2}{3}} \) işleminin sonucunu üslü ifadelerin köklüye dönüşüm özelliklerini kullanarak bulunuz.
Çözüm:
✅ Çözüm Adımları:
- İlk olarak \( 8^{\frac{2}{3}} \) ifadesini köklü formata çevirelim.
- Kök derecesi \( 3 \) ve içerideki sayının kuvveti \( 2 \) olacaktır, yani \( \sqrt[3]{8^2} \) elde edilir.
- Alternatif olarak önce kök dışına çıkarıp sonra üs alabiliriz: \( (\sqrt[3]{8})^2 \).
- \( \sqrt[3]{8} = 2 \) olduğundan ifade \( 2^2 \) haline gelir.
- Sonuç \( 4 \) olarak bulunur.
Soru 5:
💡 Yeni Nesil Soru: Bir teknoloji tasarım dersinde Eylül, kenar uzunluğu \( 3^{\frac{5}{2}} \) santimetre olan kare biçiminde bir karton tasarlamıştır. Bu kartonun çevre uzunluğu kaç santimetredir?
Çözüm:
✅ Çözüm Adımları:
- Kare şeklindeki kartonun tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir ve çevre uzunluğu bir kenarın \( 4 \) katıdır.
- Verilen kenar uzunluğunu köklü biçimde ifade edelim: \( 3^{\frac{5}{2}} = \sqrt{3^5} \).
- Bu köklü ifadeyi dışarı çıkaralım: \( \sqrt{3^4 \times 3} = 3^2 \times \sqrt{3} = 9\sqrt{3} \) cm.
- Çevreyi bulmak için bu uzunluğu \( 4 \) ile çarpalım: \( 4 \times 9\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \) santimetre.
- Doğru cevap \( 36\sqrt{3} \) olarak bulunur.
Soru 6:
💡 Yeni Nesil Soru: Bir veri depolama cihazında kapasite hesaplamaları yapılırken üslü ifadeler ve köklü gösterimler kullanılmaktadır. Bir dosyanın boyutu \( 27^{\frac{2}{3}} \) megabayt olarak ölçülmüştür. Bu dosya boyutunun köklü gösterimdeki karşılığı nedir?
Çözüm:
✅ Çözüm Adımları:
- Verilen rasyonel üslü ifade \( 27^{\frac{2}{3}} \) şeklindedir.
- Üssün paydası olan \( 3 \) sayısı kökün derecesini, payı olan \( 2 \) sayısı ise tabanın kuvvetini belirtir.
- İfadeyi köklü olarak \( \sqrt[3]{27^2} \) veya \( (\sqrt[3]{27})^2 \) şeklinde yazabiliriz.
- \( \sqrt[3]{27} = 3 \) olduğundan ifade \( 3^2 \) yani \( 9 \) değerine eşit olur.
- Köklü gösterim aşamasında ise \( \sqrt[3]{729} \) veya \( (\sqrt[3]{27})^2 \) formları kullanılır.
Soru 7:
🌍 Günlük Hayat Örneği: Mimar Ahmet Bey, tasarlayacağı dairesel bir parkın alanını hesaplamaktadır. Parkın alanı \( 121 \) metrekare olduğuna göre, bu parkın yarıçapını bulmak için kullanılan köklü ifade ve sonucu nedir? (Not: Alan = \( \pi \times r^2 \) formülünde \( \pi \) değerini \( 3 \) alınız, ancak bu soruda doğrudan alan üzerinden kenar/çap ilişkisi kurgulanmıştır.) Dairenin alanı \( A = \pi \times r^2 \) formülüyle bulunur. Alan \( 75 \) metrekare ve \( \pi = 3 \) alındığında yarıçapın köklü gösterimi nedir?
Çözüm:
✅ Çözüm Adımları:
- Verilen alan formülü \( A = \pi \times r^2 \) şeklindedir.
- Alan \( 75 \) ve \( \pi = 3 \) olarak yerine yazılırsa: \( 75 = 3 \times r^2 \) denklemi elde edilir.
- Her iki tarafı \( 3 \) sayısına böldüğümüzde \( r^2 = 25 \) bulunur.
- Yarıçap pozitif bir gerçek sayı olmalıdır, bu nedenle \( r = \sqrt{25} \) yani \( r = 5 \) metre olur.
- Eğer alan \( 75 \) kalıp tam bölünmeseydi, yarıçap \( r = \sqrt{25} \) yerine \( r = \sqrt{\frac{75}{3}} \) köklü gösterimiyle ifade edilecekti.
Soru 8:
🌍 Günlük Hayat Örneği: Fizik laboratuvarında salıncak hareketini inceleyen Zeynep, bir ipin salınım süresini hesaplarken sürenin ipin uzunluğunun karekökü ile orantılı olduğunu görüyor. İpin uzunluğu \( 16 \) metre olduğunda sürenin köklü gösterimi \( \sqrt{16} \) birim oluyor. Eğer ipin uzunluğu \( 2^{\frac{6}{2}} \) metre olursa, bu üslü ifadenin köklü gösterimi ve normal sayı değeri kaç olur?
Çözüm:
✅ Çözüm Adımları:
- Verilen ip uzunluğu üslü ifade olarak \( 2^{\frac{6}{2}} \) şeklindedir.
- Kesirli üssü sadeleştirirsek \( \frac{6}{2} = 3 \) olur, yani ifade \( 2^3 = 8 \) metresidir.
- Eğer rasyonel üslü olarak köklüye çevirmek istersek: \( 2^{\frac{6}{2}} = \sqrt{2^6} \) şeklinde yazılır.
- \( \sqrt{64} \) köklü gösterimine ulaşılır.
- Hesaplandığında sonuç \( 8 \) metre olarak günlük hayat karşılığını bulur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/9-sinif-matematik-gercek-sayilarin-koklu-gosterimi-ve-uslu-ifadelerin-kokluye-donusmesi/sorular