\( \sqrt{81} = \sqrt{9^2} = 9 \) (Kök derecesi çift olduğu için sonuç pozitiftir).
\( \sqrt[3]{-64} = \sqrt[3]{(-4)^3} = -4 \) (Kök derecesi tek olduğu için içerideki sayı aynen çıkabilir).
\( \sqrt[5]{-1} = \sqrt[5]{(-1)^5} = -1 \) (Kök derecesi tek olduğu için sonuç negatiftir).
Bulduğumuz değerleri yerlerine yazalım:
\( 9 + (-4) - (-1) \)
\( 9 - 4 + 1 = 6 \) olarak bulunur. ✨
3
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Soru: Aşağıdaki toplama ve çıkarma işleminin sonucunu en sade biçimde yazınız:
\[ \sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{27} \]
Çözüm ve Açıklama
Kök içindeki sayıları tam kare çarpanlarına ayırarak kök dışına çıkaralım:
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \)
\( \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \)
\( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \)
Şimdi bu değerleri ana işlemde yerine koyalım:
\( 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \)
Katsayılar arasında işlemi yaparsak:
\( (2 + 5 - 3) \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \) elde edilir. 🚀
4
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Soru: \( \sqrt[3]{2^{x+2}} = 16 \) olduğuna göre \( x \) kaçtır? 💡
Çözüm ve Açıklama
Köklü ifadeyi üslü ifade biçimine dönüştürerek çözelim:
Köklü ifade kuralı: \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \)
Sol taraf: \( 2^{\frac{x+2}{3}} \)
Sağ taraf: \( 16 = 2^4 \)
Tabanlar eşit olduğuna göre üsler de eşit olmalıdır:
\[ \frac{x+2}{3} = 4 \]
İçler dışlar çarpımı yaparsak:
\( x + 2 = 12 \)
\( x = 10 \) olarak bulunur. ✅
5
Çözümlü Soru
Zor Seviye
Soru: Aşağıdaki işlemin sonucunu, paydayı rasyonel yaparak bulunuz:
\[ \frac{10}{\sqrt{5}} - \frac{6}{\sqrt{3}} \]
Çözüm ve Açıklama
Paydadaki köklü ifadelerden kurtulmak için her kesri paydasının eşleniği ile genişletelim:
Birinci kesri \( \sqrt{5} \) ile genişletelim: \( \frac{10 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \)
İkinci kesri \( \sqrt{3} \) ile genişletelim: \( \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \)
Şimdi çıkarma işlemini yapalım:
\( 2\sqrt{5} - 2\sqrt{3} \)
Ortak çarpan parantezine alırsak:
\( 2(\sqrt{5} - \sqrt{3}) \) sonucuna ulaşırız. 🎯
6
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
Soru: Bir kenar uzunluğu \( a \) olan karenin alanı \( a^2 \) formülü ile hesaplanır. Alanı 180 metrekare olan kare şeklindeki bir bahçenin çevresine 2 sıra tel çekilecektir.
Buna göre, bu iş için kaç metre tel gereklidir? (Sonucu köklü ifade olarak bırakınız.) 🌳
Çözüm ve Açıklama
Bahçenin bir kenar uzunluğunu bulalım:
Alan = \( a^2 = 180 \) ise bir kenar \( a = \sqrt{180} \)'dir.
\( \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5} \) metre (Bir kenar uzunluğu).
Bahçenin çevresini hesaplayalım:
Çevre = \( 4 \cdot a = 4 \cdot 6\sqrt{5} = 24\sqrt{5} \) metre.
2 sıra tel çekileceği için toplam tel miktarı:
\( 2 \cdot 24\sqrt{5} = 48\sqrt{5} \) metre tel gereklidir. 📏
7
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Soru: Bir marangoz, alanı 2 metrekare olan kare şeklindeki bir masanın kenarlarını süslemek için çıta alacaktır. Marangozun alacağı çıtanın bir kenar uzunluğu yaklaşık kaç metredir? ( \( \sqrt{2} \approx 1,41 \) alınız.) 🪚
Çözüm ve Açıklama
Masanın alanı \( 2 \) metrekare ise, bu masanın bir kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü almalıyız.
Kenar uzunluğu = \( \sqrt{2} \) metredir.
Soruda verilen yaklaşık değer bilgisine göre: \( \sqrt{2} \approx 1,41 \)
Bu durumda marangozun masanın bir kenarı için yaklaşık 1,41 metre uzunluğunda çıtaya ihtiyacı vardır. 🪵
8
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
Soru: Sayı doğrusu üzerinde \( \sqrt{50} \) noktasına en yakın olan tam sayı \( A \), \( \sqrt{120} \) noktasına en yakın olan tam sayı \( B \) olduğuna göre \( A + B \) toplamı kaçtır? 📍
Çözüm ve Açıklama
Kareköklü sayıların hangi tam sayılar arasında olduğunu belirleyelim:
\( \sqrt{50} \) için: \( \sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{64} \) \( 7 < \sqrt{50} < 8 \) 50 sayısı 49'a çok yakın olduğu için en yakın tam sayı \( A = 7 \) olur.
\( \sqrt{120} \) için: \( \sqrt{100} < \sqrt{120} < \sqrt{121} \) \( 10 < \sqrt{120} < 11 \) 120 sayısı 121'e çok yakın olduğu için en yakın tam sayı \( B = 11 \) olur.
Toplam: \( A + B = 7 + 11 = 18 \) bulunur. 🏁
9. Sınıf Matematik: Gerçek sayıların köklü gösterimi Çözümlü Sorular
Soru 1:
Soru: \( A = \sqrt{x-7} + \sqrt[4]{15-x} \)
Yukarıda verilen \( A \) ifadesinin bir gerçek sayı belirtmesi için \( x \) tam sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? 🤔
Çözüm:
Köklü bir ifadenin gerçek sayı belirtmesi için kök derecesi çift ise kök içerisindeki ifade sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olmalıdır.
Birinci köklü ifade için derece 2 (çift) olduğundan: \( x - 7 \ge 0 \Rightarrow x \ge 7 \) olmalıdır. ✅
İkinci köklü ifade için derece 4 (çift) olduğundan: \( 15 - x \ge 0 \Rightarrow 15 \ge x \) olmalıdır. ✅
Bu iki şartı birleştirdiğimizde: \( 7 \le x \le 15 \) aralığını elde ederiz.
Bu aralıktaki tam sayılar: \( 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 \)
\( \sqrt{81} = \sqrt{9^2} = 9 \) (Kök derecesi çift olduğu için sonuç pozitiftir).
\( \sqrt[3]{-64} = \sqrt[3]{(-4)^3} = -4 \) (Kök derecesi tek olduğu için içerideki sayı aynen çıkabilir).
\( \sqrt[5]{-1} = \sqrt[5]{(-1)^5} = -1 \) (Kök derecesi tek olduğu için sonuç negatiftir).
Bulduğumuz değerleri yerlerine yazalım:
\( 9 + (-4) - (-1) \)
\( 9 - 4 + 1 = 6 \) olarak bulunur. ✨
Soru 3:
Soru: Aşağıdaki toplama ve çıkarma işleminin sonucunu en sade biçimde yazınız:
\[ \sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{27} \]
Çözüm:
Kök içindeki sayıları tam kare çarpanlarına ayırarak kök dışına çıkaralım:
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \)
\( \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \)
\( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \)
Şimdi bu değerleri ana işlemde yerine koyalım:
\( 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \)
Katsayılar arasında işlemi yaparsak:
\( (2 + 5 - 3) \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \) elde edilir. 🚀
Soru 4:
Soru: \( \sqrt[3]{2^{x+2}} = 16 \) olduğuna göre \( x \) kaçtır? 💡
Çözüm:
Köklü ifadeyi üslü ifade biçimine dönüştürerek çözelim:
Köklü ifade kuralı: \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \)
Sol taraf: \( 2^{\frac{x+2}{3}} \)
Sağ taraf: \( 16 = 2^4 \)
Tabanlar eşit olduğuna göre üsler de eşit olmalıdır:
\[ \frac{x+2}{3} = 4 \]
İçler dışlar çarpımı yaparsak:
\( x + 2 = 12 \)
\( x = 10 \) olarak bulunur. ✅
Soru 5:
Soru: Aşağıdaki işlemin sonucunu, paydayı rasyonel yaparak bulunuz:
\[ \frac{10}{\sqrt{5}} - \frac{6}{\sqrt{3}} \]
Çözüm:
Paydadaki köklü ifadelerden kurtulmak için her kesri paydasının eşleniği ile genişletelim:
Birinci kesri \( \sqrt{5} \) ile genişletelim: \( \frac{10 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \)
İkinci kesri \( \sqrt{3} \) ile genişletelim: \( \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \)
Şimdi çıkarma işlemini yapalım:
\( 2\sqrt{5} - 2\sqrt{3} \)
Ortak çarpan parantezine alırsak:
\( 2(\sqrt{5} - \sqrt{3}) \) sonucuna ulaşırız. 🎯
Soru 6:
Soru: Bir kenar uzunluğu \( a \) olan karenin alanı \( a^2 \) formülü ile hesaplanır. Alanı 180 metrekare olan kare şeklindeki bir bahçenin çevresine 2 sıra tel çekilecektir.
Buna göre, bu iş için kaç metre tel gereklidir? (Sonucu köklü ifade olarak bırakınız.) 🌳
Çözüm:
Bahçenin bir kenar uzunluğunu bulalım:
Alan = \( a^2 = 180 \) ise bir kenar \( a = \sqrt{180} \)'dir.
\( \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5} \) metre (Bir kenar uzunluğu).
Bahçenin çevresini hesaplayalım:
Çevre = \( 4 \cdot a = 4 \cdot 6\sqrt{5} = 24\sqrt{5} \) metre.
2 sıra tel çekileceği için toplam tel miktarı:
\( 2 \cdot 24\sqrt{5} = 48\sqrt{5} \) metre tel gereklidir. 📏
Soru 7:
Soru: Bir marangoz, alanı 2 metrekare olan kare şeklindeki bir masanın kenarlarını süslemek için çıta alacaktır. Marangozun alacağı çıtanın bir kenar uzunluğu yaklaşık kaç metredir? ( \( \sqrt{2} \approx 1,41 \) alınız.) 🪚
Çözüm:
Masanın alanı \( 2 \) metrekare ise, bu masanın bir kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü almalıyız.
Kenar uzunluğu = \( \sqrt{2} \) metredir.
Soruda verilen yaklaşık değer bilgisine göre: \( \sqrt{2} \approx 1,41 \)
Bu durumda marangozun masanın bir kenarı için yaklaşık 1,41 metre uzunluğunda çıtaya ihtiyacı vardır. 🪵
Soru 8:
Soru: Sayı doğrusu üzerinde \( \sqrt{50} \) noktasına en yakın olan tam sayı \( A \), \( \sqrt{120} \) noktasına en yakın olan tam sayı \( B \) olduğuna göre \( A + B \) toplamı kaçtır? 📍
Çözüm:
Kareköklü sayıların hangi tam sayılar arasında olduğunu belirleyelim:
\( \sqrt{50} \) için: \( \sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{64} \) \( 7 < \sqrt{50} < 8 \) 50 sayısı 49'a çok yakın olduğu için en yakın tam sayı \( A = 7 \) olur.
\( \sqrt{120} \) için: \( \sqrt{100} < \sqrt{120} < \sqrt{121} \) \( 10 < \sqrt{120} < 11 \) 120 sayısı 121'e çok yakın olduğu için en yakın tam sayı \( B = 11 \) olur.