💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek sayıların üslü gösterimleri ile yapılan toplama ve çıkarma işlemleri Çözümlü Sorular
1
Çözümlü Soru
Kolay Seviye
📌 Soru:
Aşağıda verilen üslü ifadenin toplama ve çıkarma işlemini yaparak en sade halini bulunuz:
\[ 5 \cdot 2^7 + 3 \cdot 2^7 - 2 \cdot 2^7 \]
Çözüm ve Açıklama
✅ Çözüm:
Üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yaparken, üslü kısımları (tabanları ve üsleri) aynı olan terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır. Bu işleme ortak çarpan parantezine alma denir.
Sorudaki her üç terimde de ortak olan üslü ifade \( 2^7 \) sayısıdır.
İfadeyi \( 2^7 \) ortak parantezine alalım:
\[ (5 + 3 - 2) \cdot 2^7 \]
Parantez içindeki işlemi yapalım:
\[ 5 + 3 - 2 = 6 \]
Bulduğumuz katsayıyı ortak üslü ifade ile çarpım durumunda yazalım:
\[ 6 \cdot 2^7 \]
👉 Cevabımız \( 6 \cdot 2^7 \) olarak bulunur.
2
Çözümlü Soru
Kolay Seviye
📌 Soru:
Aşağıdaki toplama işleminin sonucunu üslü ifade biçiminde yazınız:
\[ 3^8 + 3^8 + 3^8 \]
Çözüm ve Açıklama
✅ Çözüm:
Aynı üslü ifadenin ardışık olarak toplanması, o ifadenin katsayılarının toplanması anlamına gelir.
Her bir \( 3^8 \) ifadesinin önünde gizli bir \( 1 \) katsayısı vardır:
\[ 1 \cdot 3^8 + 1 \cdot 3^8 + 1 \cdot 3^8 \]
İfadeyi \( 3^8 \) parantezine alalım:
\[ (1 + 1 + 1) \cdot 3^8 \]
\[ 3 \cdot 3^8 \]
Üslü sayılarda çarpma kuralına göre, tabanlar aynı ise üsler toplanır (\( 3 = 3^1 \) olduğunu unutmayalım):
\[ 3^1 \cdot 3^8 = 3^{1+8} = 3^9 \]
👉 Doğru cevap \( 3^9 \) olur.
3
Çözümlü Soru
Orta Seviye
📌 Soru:
Aşağıdaki işlemin sonucunu en sade biçimde bulunuz:
\[ 3 \cdot 5^6 + 2 \cdot 5^7 \]
Çözüm ve Açıklama
✅ Çözüm:
Bu soruda üslü ifadelerin üsleri eşit değildir (\( 5^6 \) ve \( 5^7 \)). Toplama işlemi yapabilmek için öncelikle üsleri eşitlememiz gerekir. Küçük olan üsse göre eşitleme yapmak her zaman kolaylık sağlar.
Büyük olan \( 5^7 \) ifadesini, \( 5^6 \) cinsinden yazalım:
\[ 5^7 = 5^1 \cdot 5^6 = 5 \cdot 5^6 \]
Şimdi bu ifadeyi orijinal denklemde yerine yazalım:
Artık üslü kısımlar eşitlendiğine göre \( 5^6 \) ortak parantezine alabiliriz:
\[ (3 + 10) \cdot 5^6 \]
\[ 13 \cdot 5^6 \]
👉 Doğru cevap \( 13 \cdot 5^6 \) olarak elde edilir.
4
Çözümlü Soru
Orta Seviye
📌 Soru:
Negatif üs içeren aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\[ 4 \cdot 10^{-5} + 15 \cdot 10^{-6} \]
Çözüm ve Açıklama
✅ Çözüm:
Negatif üslerde de kural değişmez. Üsleri eşitlemek için büyük olan üssü küçük olan üsse benzetebiliriz. Sayı doğrusunda \( -5 \), \( -6 \)'dan daha büyüktür.
👉 Doğru cevabımız \( 3 \cdot 2^9 \) olarak bulunur.
6
Çözümlü Soru
Orta Seviye
💾 Soru:
Bir bilgisayar mühendisi, geliştirdiği bir yazılımda iki farklı veri dosyasının boyutunu hesaplamak istiyor. Birinci dosyanın boyutu \( 5 \cdot 2^{20} \) bayt, ikinci dosyanın boyutu ise \( 3 \cdot 2^{21} \) bayttır. Bu iki dosyanın toplam boyutu kaç bayttır?
Çözüm ve Açıklama
✅ Çözüm:
Günlük hayatta bilgisayar veri birimleri (bayt, kilobayt vb.) genellikle \( 2 \)'nin kuvvetleri şeklinde ifade edilir. Toplam boyutu bulmak için iki dosya boyutunu toplamamız gerekir.
Yapılacak işlem:
\[ 5 \cdot 2^{20} + 3 \cdot 2^{21} \]
Üsleri eşitlemek için büyük olan \( 2^{21} \) ifadesini parçalayalım:
👉 İki dosyanın toplam boyutu \( 11 \cdot 2^{20} \) bayttır.
7
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
📦 Soru:
Bir lojistik firması, depolarındaki ürünlerin ağırlıklarını ölçmek için dijital bir sistem kullanmaktadır. Sistem, ağırlıkları üslü gösterimlerle kaydetmektedir. Depodaki A kutusunun ağırlığı \( 7 \cdot 3^5 \) gram, B kutusunun ağırlığı ise \( 2 \cdot 3^6 \) gram olarak ölçülmüştür. Bu iki kutu aynı kargo paletine konulduğunda paletin toplam ağırlığı kaç gram olur?
Çözüm ve Açıklama
✅ Çözüm:
Yeni nesil sorularda verilen hikayeyi matematiksel modele dökmek önemlidir. Bizden istenen, iki kutunun ağırlıklarının toplamıdır.
A Kutusu: \( 7 \cdot 3^5 \) gram
B Kutusu: \( 2 \cdot 3^6 \) gram
Toplam Ağırlık: \( 7 \cdot 3^5 + 2 \cdot 3^6 \)
Toplama işlemini yapabilmek için üslü ifadelerin üslerini eşitleyelim:
👉 Paletin toplam ağırlığı \( 13 \cdot 3^5 \) gramdır.
8
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
🔬 Soru:
Bir biyoloji laboratuvarında yapılan deneyde, başlangıçta bir petri kabında \( 5 \cdot 10^8 \) adet bakteri bulunmaktadır. Deneyin birinci aşamasının sonunda bakterilerin \( 12 \cdot 10^7 \) adedi ölmüştür. Son durumda kapta kalan canlı bakteri sayısını bilimsel gösterime uygun şekilde bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
✅ Çözüm:
Kalan bakteri sayısını bulmak için başlangıçtaki bakteri sayısından ölen bakteri sayısını çıkarmamız gerekir.
Bulduğumuz sonucu bilimsel gösterim kurallarına uygun hale getirmek için katsayıyı \( 1 \) ile \( 10 \) arasında (1 dahil) olacak şekilde düzenleyelim:
👉 Son durumda kapta kalan canlı bakteri sayısı \( 3.8 \cdot 10^8 \) adettir.
9. Sınıf Matematik: Gerçek sayıların üslü gösterimleri ile yapılan toplama ve çıkarma işlemleri Çözümlü Sorular
Soru 1:
📌 Soru:
Aşağıda verilen üslü ifadenin toplama ve çıkarma işlemini yaparak en sade halini bulunuz:
\[ 5 \cdot 2^7 + 3 \cdot 2^7 - 2 \cdot 2^7 \]
Çözüm:
✅ Çözüm:
Üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yaparken, üslü kısımları (tabanları ve üsleri) aynı olan terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır. Bu işleme ortak çarpan parantezine alma denir.
Sorudaki her üç terimde de ortak olan üslü ifade \( 2^7 \) sayısıdır.
İfadeyi \( 2^7 \) ortak parantezine alalım:
\[ (5 + 3 - 2) \cdot 2^7 \]
Parantez içindeki işlemi yapalım:
\[ 5 + 3 - 2 = 6 \]
Bulduğumuz katsayıyı ortak üslü ifade ile çarpım durumunda yazalım:
\[ 6 \cdot 2^7 \]
👉 Cevabımız \( 6 \cdot 2^7 \) olarak bulunur.
Soru 2:
📌 Soru:
Aşağıdaki toplama işleminin sonucunu üslü ifade biçiminde yazınız:
\[ 3^8 + 3^8 + 3^8 \]
Çözüm:
✅ Çözüm:
Aynı üslü ifadenin ardışık olarak toplanması, o ifadenin katsayılarının toplanması anlamına gelir.
Her bir \( 3^8 \) ifadesinin önünde gizli bir \( 1 \) katsayısı vardır:
\[ 1 \cdot 3^8 + 1 \cdot 3^8 + 1 \cdot 3^8 \]
İfadeyi \( 3^8 \) parantezine alalım:
\[ (1 + 1 + 1) \cdot 3^8 \]
\[ 3 \cdot 3^8 \]
Üslü sayılarda çarpma kuralına göre, tabanlar aynı ise üsler toplanır (\( 3 = 3^1 \) olduğunu unutmayalım):
\[ 3^1 \cdot 3^8 = 3^{1+8} = 3^9 \]
👉 Doğru cevap \( 3^9 \) olur.
Soru 3:
📌 Soru:
Aşağıdaki işlemin sonucunu en sade biçimde bulunuz:
\[ 3 \cdot 5^6 + 2 \cdot 5^7 \]
Çözüm:
✅ Çözüm:
Bu soruda üslü ifadelerin üsleri eşit değildir (\( 5^6 \) ve \( 5^7 \)). Toplama işlemi yapabilmek için öncelikle üsleri eşitlememiz gerekir. Küçük olan üsse göre eşitleme yapmak her zaman kolaylık sağlar.
Büyük olan \( 5^7 \) ifadesini, \( 5^6 \) cinsinden yazalım:
\[ 5^7 = 5^1 \cdot 5^6 = 5 \cdot 5^6 \]
Şimdi bu ifadeyi orijinal denklemde yerine yazalım:
Artık üslü kısımlar eşitlendiğine göre \( 5^6 \) ortak parantezine alabiliriz:
\[ (3 + 10) \cdot 5^6 \]
\[ 13 \cdot 5^6 \]
👉 Doğru cevap \( 13 \cdot 5^6 \) olarak elde edilir.
Soru 4:
📌 Soru:
Negatif üs içeren aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\[ 4 \cdot 10^{-5} + 15 \cdot 10^{-6} \]
Çözüm:
✅ Çözüm:
Negatif üslerde de kural değişmez. Üsleri eşitlemek için büyük olan üssü küçük olan üsse benzetebiliriz. Sayı doğrusunda \( -5 \), \( -6 \)'dan daha büyüktür.
👉 Doğru cevabımız \( 3 \cdot 2^9 \) olarak bulunur.
Soru 6:
💾 Soru:
Bir bilgisayar mühendisi, geliştirdiği bir yazılımda iki farklı veri dosyasının boyutunu hesaplamak istiyor. Birinci dosyanın boyutu \( 5 \cdot 2^{20} \) bayt, ikinci dosyanın boyutu ise \( 3 \cdot 2^{21} \) bayttır. Bu iki dosyanın toplam boyutu kaç bayttır?
Çözüm:
✅ Çözüm:
Günlük hayatta bilgisayar veri birimleri (bayt, kilobayt vb.) genellikle \( 2 \)'nin kuvvetleri şeklinde ifade edilir. Toplam boyutu bulmak için iki dosya boyutunu toplamamız gerekir.
Yapılacak işlem:
\[ 5 \cdot 2^{20} + 3 \cdot 2^{21} \]
Üsleri eşitlemek için büyük olan \( 2^{21} \) ifadesini parçalayalım:
👉 İki dosyanın toplam boyutu \( 11 \cdot 2^{20} \) bayttır.
Soru 7:
📦 Soru:
Bir lojistik firması, depolarındaki ürünlerin ağırlıklarını ölçmek için dijital bir sistem kullanmaktadır. Sistem, ağırlıkları üslü gösterimlerle kaydetmektedir. Depodaki A kutusunun ağırlığı \( 7 \cdot 3^5 \) gram, B kutusunun ağırlığı ise \( 2 \cdot 3^6 \) gram olarak ölçülmüştür. Bu iki kutu aynı kargo paletine konulduğunda paletin toplam ağırlığı kaç gram olur?
Çözüm:
✅ Çözüm:
Yeni nesil sorularda verilen hikayeyi matematiksel modele dökmek önemlidir. Bizden istenen, iki kutunun ağırlıklarının toplamıdır.
A Kutusu: \( 7 \cdot 3^5 \) gram
B Kutusu: \( 2 \cdot 3^6 \) gram
Toplam Ağırlık: \( 7 \cdot 3^5 + 2 \cdot 3^6 \)
Toplama işlemini yapabilmek için üslü ifadelerin üslerini eşitleyelim:
👉 Paletin toplam ağırlığı \( 13 \cdot 3^5 \) gramdır.
Soru 8:
🔬 Soru:
Bir biyoloji laboratuvarında yapılan deneyde, başlangıçta bir petri kabında \( 5 \cdot 10^8 \) adet bakteri bulunmaktadır. Deneyin birinci aşamasının sonunda bakterilerin \( 12 \cdot 10^7 \) adedi ölmüştür. Son durumda kapta kalan canlı bakteri sayısını bilimsel gösterime uygun şekilde bulunuz.
Çözüm:
✅ Çözüm:
Kalan bakteri sayısını bulmak için başlangıçtaki bakteri sayısından ölen bakteri sayısını çıkarmamız gerekir.
Bulduğumuz sonucu bilimsel gösterim kurallarına uygun hale getirmek için katsayıyı \( 1 \) ile \( 10 \) arasında (1 dahil) olacak şekilde düzenleyelim: