Adım 2: Elde edilen sonucu paydadaki sayıya bölelim. Tabanlar aynı olduğunda payın üssünden paydanın üssü çıkarılır: \( \frac{2^8}{2^6} = 2^{8-6} = 2^2 \)
Adım 3: Sonucu hesaplayalım: \( 2^2 = 4 \)
✅ Cevap: 4
2
Çözümlü Soru
Kolay Seviye
Aşağıdaki köklü ifadeyi en sade biçimde yazınız:
\[ \sqrt{75} - \sqrt{12} \]
Çözüm ve Açıklama
Köklü sayılarda toplama ve çıkarma yapabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir:
Adım 1: 75 ve 12 sayılarını çarpanlarına ayırarak kök dışına çıkaralım. \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \) \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \)
Adım 2: Şimdi çıkarma işlemini yapalım: \( 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \)
Adım 3: Kök içleri aynı olduğu için katsayılar arasında işlem yapılır: \( (5 - 2)\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)
💡 İpucu: Kök dışına tam kare çarpanları çıkararak işlemi kolaylaştırabiliriz.
✅ Cevap: \( 3\sqrt{3} \)
3
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Aşağıdaki işlemin sonucunu rasyonel sayı olarak bulunuz:
\[ (3^{-1} + 3^{-2})^{-1} \]
Çözüm ve Açıklama
Negatif üs ve rasyonel sayılarla işlem adımlarını takip edelim:
Adım 2: Payda eşitleyerek toplama işlemini yapalım: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9} \)
Adım 3: Şimdi parantez dışındaki -1. kuvveti uygulayalım. Bir sayının -1. kuvveti o sayının çarpmaya göre tersidir: \( (\frac{4}{9})^{-1} = \frac{9}{4} \)
✅ Cevap: \( \frac{9}{4} \)
4
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Aşağıdaki ondalık gösterimli köklü ifadelerin toplamını bulunuz:
\[ \sqrt{0,09} + \sqrt{1,44} \]
Çözüm ve Açıklama
Ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirerek kök dışına çıkaralım:
Adım 1: Sayıları kesir olarak yazalım: \( 0,09 = \frac{9}{100} \) \( 1,44 = \frac{144}{100} \)
Adım 2: Kök dışına çıkaralım: \( \sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{3}{10} = 0,3 \) \( \sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{12}{10} = 1,2 \)
📌 Not: Karekök içindeki ondalık sayılarda virgülden sonra çift sayıda basamak olmasına dikkat edilmelidir.
✅ Cevap: 1,5
5
Çözümlü Soru
Zor Seviye
x ve y birer tam sayı olmak üzere;
\[ 5^{x+y-8} = 7^{2x-y-1} \]
olduğuna göre \( x \cdot y \) çarpımı kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
Tabanları aralarında asal olan (5 ve 7 gibi) iki üslü ifadenin birbirine eşit olabilmesi için üslerin 0 olması gerekir.
Adım 1: Üsleri sıfıra eşitleyelim: 1) \( x + y - 8 = 0 \Rightarrow x + y = 8 \) 2) \( 2x - y - 1 = 0 \Rightarrow 2x - y = 1 \)
Adım 2: Bu iki denklemi taraf tarafa toplayalım: \( (x + y) + (2x - y) = 8 + 1 \) \( 3x = 9 \) \( x = 3 \)
Adım 3: Bulduğumuz x değerini ilk denklemde yerine yazarak y'yi bulalım: \( 3 + y = 8 \) \( y = 5 \)
Adım 4: Bizden istenen çarpımı hesaplayalım: \( x \cdot y = 3 \cdot 5 = 15 \)
✅ Cevap: 15
6
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
Bir kenar uzunluğu \( \sqrt{18} \) birim ve diğer kenar uzunluğu \( \sqrt{50} \) birim olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin alanı kaç birimkaredir?
Çözüm ve Açıklama
Dikdörtgenin alanı, iki farklı kenar uzunluğunun çarpımı ile bulunur.
Adım 1: Alan formülünü uygulayalım: Alan = \( \sqrt{18} \cdot \sqrt{50} \)
Adım 2: Köklü sayıları daha basit formda yazalım: \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \) \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \)
Adım 3: Çarpma işlemini gerçekleştirelim: Alan = \( (3\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{2}) \) Alan = \( (3 \cdot 5) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) \) Alan = \( 15 \cdot 2 = 30 \)
👉 Alternatif Yol: Kök içlerini direkt çarpıp sonra dışarı çıkarabiliriz: \( \sqrt{18 \cdot 50} = \sqrt{900} = 30 \)
✅ Cevap: 30
7
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Bir laboratuvardaki bakteri sayısı her 1 saatin sonunda 2 katına çıkmaktadır. Başlangıçta ortamda \( 2^5 \) adet bakteri olduğuna göre, 4 saatin sonunda ortamda toplam kaç bakteri olur?
Çözüm ve Açıklama
Bu soru bir üslü sayı artış problemidir.
Adım 1: Başlangıçtaki bakteri sayısı: \( 2^5 \)
Adım 2: Her saat 2 katına çıkması demek, her saat için sayıyı 2 ile çarpmak demektir. 4 saat sonunda sayı \( 2^4 \) ile çarpılmış olur.
Adım 3: İşlemi yapalım: Sonuç = \( 2^5 \cdot 2^4 \)
Adım 4: Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplayalım: \( 2^{5+4} = 2^9 \)
Adım 5: Değeri hesaplayalım: \( 2^9 = 512 \)
🦠 4 saatin sonunda ortamda 512 bakteri bulunur.
✅ Cevap: \( 2^9 \) veya 512
8
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
Aşağıdaki sayılardan hangisi \( \sqrt{40} \) sayısına en yakındır?
A) 6,1 B) 6,3 C) 6,7 D) 7,1
Çözüm ve Açıklama
Köklü bir sayının hangi tam sayılar arasında olduğunu bularak tahminde bulunalım:
Adım 1: 40 sayısına en yakın tam kare sayıları belirleyelim: \( 36 < 40 < 49 \)
Adım 2: Her tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{36} < \sqrt{40} < \sqrt{49} \) \( 6 < \sqrt{40} < 7 \)
Adım 3: 40 sayısı 36'ya mı yoksa 49'a mı daha yakındır? \( 40 - 36 = 4 \) \( 49 - 40 = 9 \) 40 sayısı 36'ya (yani 6'ya) daha yakındır.
Adım 4: Seçeneklere baktığımızda 6'ya en yakın ve 6'dan büyük olan değer 6,3'tür. (6,1 de yakındır ancak \( 6,3^2 = 39,69 \) olduğu için 40'a çok daha yakındır).
✅ Cevap: B) 6,3
9. Sınıf Matematik: Gerçek sayıların üslü ve köklü gösterimleri ile yapılan işlemler Çözümlü Sorular
Soru 1:
Aşağıdaki üslü ifadenin sonucunu bulunuz:
\[ \frac{2^5 \cdot 2^3}{2^6} \]
Çözüm:
Üslü sayılarda çarpma ve bölme kurallarını uygulayalım:
Adım 2: Elde edilen sonucu paydadaki sayıya bölelim. Tabanlar aynı olduğunda payın üssünden paydanın üssü çıkarılır: \( \frac{2^8}{2^6} = 2^{8-6} = 2^2 \)
Adım 3: Sonucu hesaplayalım: \( 2^2 = 4 \)
✅ Cevap: 4
Soru 2:
Aşağıdaki köklü ifadeyi en sade biçimde yazınız:
\[ \sqrt{75} - \sqrt{12} \]
Çözüm:
Köklü sayılarda toplama ve çıkarma yapabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir:
Adım 1: 75 ve 12 sayılarını çarpanlarına ayırarak kök dışına çıkaralım. \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \) \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \)
Adım 2: Şimdi çıkarma işlemini yapalım: \( 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \)
Adım 3: Kök içleri aynı olduğu için katsayılar arasında işlem yapılır: \( (5 - 2)\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)
💡 İpucu: Kök dışına tam kare çarpanları çıkararak işlemi kolaylaştırabiliriz.
✅ Cevap: \( 3\sqrt{3} \)
Soru 3:
Aşağıdaki işlemin sonucunu rasyonel sayı olarak bulunuz:
\[ (3^{-1} + 3^{-2})^{-1} \]
Çözüm:
Negatif üs ve rasyonel sayılarla işlem adımlarını takip edelim:
Adım 2: Payda eşitleyerek toplama işlemini yapalım: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9} \)
Adım 3: Şimdi parantez dışındaki -1. kuvveti uygulayalım. Bir sayının -1. kuvveti o sayının çarpmaya göre tersidir: \( (\frac{4}{9})^{-1} = \frac{9}{4} \)
✅ Cevap: \( \frac{9}{4} \)
Soru 4:
Aşağıdaki ondalık gösterimli köklü ifadelerin toplamını bulunuz:
\[ \sqrt{0,09} + \sqrt{1,44} \]
Çözüm:
Ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirerek kök dışına çıkaralım:
Adım 1: Sayıları kesir olarak yazalım: \( 0,09 = \frac{9}{100} \) \( 1,44 = \frac{144}{100} \)
Adım 2: Kök dışına çıkaralım: \( \sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{3}{10} = 0,3 \) \( \sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{12}{10} = 1,2 \)
📌 Not: Karekök içindeki ondalık sayılarda virgülden sonra çift sayıda basamak olmasına dikkat edilmelidir.
✅ Cevap: 1,5
Soru 5:
x ve y birer tam sayı olmak üzere;
\[ 5^{x+y-8} = 7^{2x-y-1} \]
olduğuna göre \( x \cdot y \) çarpımı kaçtır?
Çözüm:
Tabanları aralarında asal olan (5 ve 7 gibi) iki üslü ifadenin birbirine eşit olabilmesi için üslerin 0 olması gerekir.
Adım 1: Üsleri sıfıra eşitleyelim: 1) \( x + y - 8 = 0 \Rightarrow x + y = 8 \) 2) \( 2x - y - 1 = 0 \Rightarrow 2x - y = 1 \)
Adım 2: Bu iki denklemi taraf tarafa toplayalım: \( (x + y) + (2x - y) = 8 + 1 \) \( 3x = 9 \) \( x = 3 \)
Adım 3: Bulduğumuz x değerini ilk denklemde yerine yazarak y'yi bulalım: \( 3 + y = 8 \) \( y = 5 \)
Adım 4: Bizden istenen çarpımı hesaplayalım: \( x \cdot y = 3 \cdot 5 = 15 \)
✅ Cevap: 15
Soru 6:
Bir kenar uzunluğu \( \sqrt{18} \) birim ve diğer kenar uzunluğu \( \sqrt{50} \) birim olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin alanı kaç birimkaredir?
Çözüm:
Dikdörtgenin alanı, iki farklı kenar uzunluğunun çarpımı ile bulunur.
Adım 1: Alan formülünü uygulayalım: Alan = \( \sqrt{18} \cdot \sqrt{50} \)
Adım 2: Köklü sayıları daha basit formda yazalım: \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \) \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \)
Adım 3: Çarpma işlemini gerçekleştirelim: Alan = \( (3\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{2}) \) Alan = \( (3 \cdot 5) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) \) Alan = \( 15 \cdot 2 = 30 \)
👉 Alternatif Yol: Kök içlerini direkt çarpıp sonra dışarı çıkarabiliriz: \( \sqrt{18 \cdot 50} = \sqrt{900} = 30 \)
✅ Cevap: 30
Soru 7:
Bir laboratuvardaki bakteri sayısı her 1 saatin sonunda 2 katına çıkmaktadır. Başlangıçta ortamda \( 2^5 \) adet bakteri olduğuna göre, 4 saatin sonunda ortamda toplam kaç bakteri olur?
Çözüm:
Bu soru bir üslü sayı artış problemidir.
Adım 1: Başlangıçtaki bakteri sayısı: \( 2^5 \)
Adım 2: Her saat 2 katına çıkması demek, her saat için sayıyı 2 ile çarpmak demektir. 4 saat sonunda sayı \( 2^4 \) ile çarpılmış olur.
Adım 3: İşlemi yapalım: Sonuç = \( 2^5 \cdot 2^4 \)
Adım 4: Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplayalım: \( 2^{5+4} = 2^9 \)
Adım 5: Değeri hesaplayalım: \( 2^9 = 512 \)
🦠 4 saatin sonunda ortamda 512 bakteri bulunur.
✅ Cevap: \( 2^9 \) veya 512
Soru 8:
Aşağıdaki sayılardan hangisi \( \sqrt{40} \) sayısına en yakındır?
A) 6,1 B) 6,3 C) 6,7 D) 7,1
Çözüm:
Köklü bir sayının hangi tam sayılar arasında olduğunu bularak tahminde bulunalım:
Adım 1: 40 sayısına en yakın tam kare sayıları belirleyelim: \( 36 < 40 < 49 \)
Adım 2: Her tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{36} < \sqrt{40} < \sqrt{49} \) \( 6 < \sqrt{40} < 7 \)
Adım 3: 40 sayısı 36'ya mı yoksa 49'a mı daha yakındır? \( 40 - 36 = 4 \) \( 49 - 40 = 9 \) 40 sayısı 36'ya (yani 6'ya) daha yakındır.
Adım 4: Seçeneklere baktığımızda 6'ya en yakın ve 6'dan büyük olan değer 6,3'tür. (6,1 de yakındır ancak \( 6,3^2 = 39,69 \) olduğu için 40'a çok daha yakındır).