🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: İki Üçgenin Eş Veya Benzer Olması İçin Gerekli Olan Asgari Koşullar Çözümlü Sorular
9. Sınıf Matematik: İki Üçgenin Eş Veya Benzer Olması İçin Gerekli Olan Asgari Koşullar Çözümlü Sorular
Soru 1:
📌 Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm ve \( |AC| = 9 \) cm'dir. Başka bir DEF üçgeninde ise \( |DE| = 5 \) cm, \( |EF| = 7 \) cm ve \( |DF| = 9 \) cm'dir. Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
💡 İki üçgenin eş olup olmadığını belirlemek için Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Kuralı'nı kullanabiliriz.
- Birinci üçgenin kenarları: \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm, \( |AC| = 9 \) cm.
- İkinci üçgenin kenarları: \( |DE| = 5 \) cm, \( |EF| = 7 \) cm, \( |DF| = 9 \) cm.
- Görüldüğü gibi, üçgenlerin karşılıklı tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir:
- \( |AB| = |DE| = 5 \) cm
- \( |BC| = |EF| = 7 \) cm
- \( |AC| = |DF| = 9 \) cm
- ✅ Bu durumda, KKK Eşlik Kuralı'na göre ABC üçgeni ile DEF üçgeni eştir. Bu durum \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) şeklinde gösterilir.
Soru 2:
👉 Bir KLM üçgeninde \( m(\widehat{K}) = 60^\circ \) ve \( m(\widehat{L}) = 70^\circ \) olarak verilmiştir. Bir PRS üçgeninde ise \( m(\widehat{P}) = 60^\circ \) ve \( m(\widehat{R}) = 70^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Eğer benzer iseler, üçüncü açıları hakkında ne söyleyebilirsiniz?
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Eğer benzer iseler, üçüncü açıları hakkında ne söyleyebilirsiniz?
Çözüm:
💡 İki üçgenin benzer olup olmadığını belirlemek için Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı'nı kullanabiliriz.
- Öncelikle KLM üçgeninin üçüncü açısını bulalım: Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( m(\widehat{M}) = 180^\circ - (60^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \).
- Şimdi PRS üçgeninin üçüncü açısını bulalım: Benzer şekilde, \( m(\widehat{S}) = 180^\circ - (60^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \).
- Karşılıklı açıları karşılaştıralım:
- \( m(\widehat{K}) = m(\widehat{P}) = 60^\circ \)
- \( m(\widehat{L}) = m(\widehat{R}) = 70^\circ \)
- \( m(\widehat{M}) = m(\widehat{S}) = 50^\circ \)
- ✅ Görüldüğü gibi, iki üçgenin karşılıklı tüm açıları birbirine eşittir. Bu durumda, AA Benzerlik Kuralı'na göre KLM üçgeni ile PRS üçgeni benzerdir. Bu durum \(\triangle KLM \sim \triangle PRS\) şeklinde gösterilir.
- Üçüncü açıları da birbirine eşittir (\( 50^\circ \)).
Soru 3:
📌 Bir XYZ üçgeninde \( |XY| = 6 \) cm, \( |YZ| = 8 \) cm ve \( m(\widehat{Y}) = 50^\circ \) olarak verilmiştir. Başka bir RST üçgeninde ise \( |RS| = 6 \) cm, \( |ST| = 8 \) cm ve \( m(\widehat{S}) = 50^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını inceleyiniz.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını inceleyiniz.
Çözüm:
💡 İki üçgenin eşliğini kontrol etmek için Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı'nı uygulayalım.
- XYZ üçgeninde:
- Kenar \( |XY| = 6 \) cm
- Açı \( m(\widehat{Y}) = 50^\circ \)
- Kenar \( |YZ| = 8 \) cm
- RST üçgeninde:
- Kenar \( |RS| = 6 \) cm
- Açı \( m(\widehat{S}) = 50^\circ \)
- Kenar \( |ST| = 8 \) cm
- Görüldüğü gibi, birinci üçgenin iki kenarı ile bu kenarlar arasında kalan açısı, ikinci üçgenin karşılıklı iki kenarı ile bu kenarlar arasında kalan açısına eşittir:
- \( |XY| = |RS| = 6 \) cm
- \( m(\widehat{Y}) = m(\widehat{S}) = 50^\circ \)
- \( |YZ| = |ST| = 8 \) cm
- ✅ Bu durumda, KAK Eşlik Kuralı'na göre XYZ üçgeni ile RST üçgeni eştir. \(\triangle XYZ \cong \triangle RST\).
Soru 4:
👉 Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 4 \) cm, \( |BC| = 6 \) cm ve \( m(\widehat{B}) = 40^\circ \) olarak verilmiştir. Bir DEF üçgeninde ise \( |DE| = 8 \) cm, \( |EF| = 12 \) cm ve \( m(\widehat{E}) = 40^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
💡 İki üçgenin benzerliğini kontrol etmek için Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kuralı'nı uygulayalım.
- ABC üçgeninde:
- Kenar \( |AB| = 4 \) cm
- Açı \( m(\widehat{B}) = 40^\circ \)
- Kenar \( |BC| = 6 \) cm
- DEF üçgeninde:
- Kenar \( |DE| = 8 \) cm
- Açı \( m(\widehat{E}) = 40^\circ \)
- Kenar \( |EF| = 12 \) cm
- Öncelikle karşılıklı kenarların oranlarını ve aralarındaki açıları karşılaştıralım:
- Açılar eşittir: \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 40^\circ \).
- Karşılıklı kenarların oranları:
- \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
- \( \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \)
- ✅ Görüldüğü gibi, iki üçgenin karşılıklı iki kenarının uzunlukları oranı eşit ve bu kenarlar arasında kalan açılar da birbirine eşittir. Bu durumda, KAK Benzerlik Kuralı'na göre ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir. \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\). Benzerlik oranı \( \frac{1}{2} \)'dir.
Soru 5:
📌 Bir PQR üçgeninde \( m(\widehat{P}) = 80^\circ \), \( m(\widehat{Q}) = 30^\circ \) ve \( |PQ| = 10 \) cm olarak verilmiştir. Başka bir STU üçgeninde ise \( m(\widehat{S}) = 80^\circ \), \( m(\widehat{T}) = 30^\circ \) ve \( |ST| = 10 \) cm olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını inceleyiniz.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını inceleyiniz.
Çözüm:
💡 İki üçgenin eşliğini kontrol etmek için Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Kuralı'nı uygulayalım.
- PQR üçgeninde:
- Açı \( m(\widehat{P}) = 80^\circ \)
- Kenar \( |PQ| = 10 \) cm
- Açı \( m(\widehat{Q}) = 30^\circ \)
- STU üçgeninde:
- Açı \( m(\widehat{S}) = 80^\circ \)
- Kenar \( |ST| = 10 \) cm
- Açı \( m(\widehat{T}) = 30^\circ \)
- Görüldüğü gibi, birinci üçgenin bir kenarı ile bu kenarın köşelerindeki açıları, ikinci üçgenin karşılıklı kenarı ile bu kenarın köşelerindeki açılara eşittir:
- \( m(\widehat{P}) = m(\widehat{S}) = 80^\circ \)
- \( |PQ| = |ST| = 10 \) cm
- \( m(\widehat{Q}) = m(\widehat{T}) = 30^\circ \)
- ✅ Bu durumda, AKA Eşlik Kuralı'na göre PQR üçgeni ile STU üçgeni eştir. \(\triangle PQR \cong \triangle STU\).
Soru 6:
🌳 Bir ormanda, boyu bilinmeyen bir ağacın gölgesi öğlen saatlerinde \( 15 \) metre olarak ölçülmüştür. Aynı anda, \( 1.8 \) metre boyundaki bir öğrencinin gölgesi \( 3 \) metre olarak ölçülmüştür.
Bu verilere göre ağacın boyu yaklaşık olarak kaç metredir? (Ağaç ve öğrencinin yere dik durduğu varsayılacaktır.)
Bu verilere göre ağacın boyu yaklaşık olarak kaç metredir? (Ağaç ve öğrencinin yere dik durduğu varsayılacaktır.)
Çözüm:
💡 Bu problemde, ağaç ve öğrenci ile gölgeleri arasında oluşan dik üçgenler benzer üçgenler oluşturur. Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için, üçgenlerin açıları eşit olacaktır (gölge açısı ve dik açı). Yani Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı'nı kullanabiliriz.
- Ağacın boyu \( x \) metre olsun. Ağacın gölgesi \( 15 \) metre.
- Öğrencinin boyu \( 1.8 \) metre. Öğrencinin gölgesi \( 3 \) metre.
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir:
- \[ \frac{\text{Ağacın Boyu}}{\text{Öğrencinin Boyu}} = \frac{\text{Ağacın Gölgesi}}{\text{Öğrencinin Gölgesi}} \]
- \[ \frac{x}{1.8} = \frac{15}{3} \]
- Oranı sadeleştirelim: \( \frac{15}{3} = 5 \).
- Denklemi çözelim: \( \frac{x}{1.8} = 5 \)
- \( x = 5 \times 1.8 \)
- \( x = 9 \)
- ✅ Buna göre, ağacın boyu yaklaşık olarak \( 9 \) metredir.
Soru 7:
🏡 Bir mimar, bir evin çatısını tasarlarken iki farklı bölüme aynı tipte üçgen pencere yerleştirmek istiyor. Birinci pencerenin kenar uzunlukları \( 100 \) cm, \( 120 \) cm ve \( 150 \) cm olarak belirlenmiştir. İkinci pencerenin de aynı ölçülerde olması gerekmektedir.
Bu iki pencerenin birbirine "tamamen aynı" olduğunu matematiksel olarak nasıl ifade edersiniz?
Bu iki pencerenin birbirine "tamamen aynı" olduğunu matematiksel olarak nasıl ifade edersiniz?
Çözüm:
💡 Günlük hayatta "tamamen aynı" ifadesi matematikte eşlik kavramına karşılık gelir. İki üçgenin eş olması için gereken asgari koşullardan biri olan Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Kuralı bu durum için geçerlidir.
- Birinci üçgen pencerenin kenar uzunlukları: \( a_1 = 100 \) cm, \( b_1 = 120 \) cm, \( c_1 = 150 \) cm.
- İkinci üçgen pencerenin kenar uzunlukları: \( a_2 = 100 \) cm, \( b_2 = 120 \) cm, \( c_2 = 150 \) cm.
- Pencerelerin şekil ve boyutlarının tamamen aynı olması, karşılıklı kenar uzunluklarının eşit olduğu anlamına gelir:
- \( a_1 = a_2 = 100 \) cm
- \( b_1 = b_2 = 120 \) cm
- \( c_1 = c_2 = 150 \) cm
- ✅ KKK Eşlik Kuralı gereği, bu iki üçgen pencere eştir. Bu durum, pencerelerin birbiri üzerine tam olarak çakışabileceği ve tüm özelliklerinin (açılar, alan vb.) aynı olduğu anlamına gelir. Mimarın istediği "tamamen aynı" pencereler bu şekilde sağlanır.
Soru 8:
🗺️ Bir harita üzerinde, üçgen şeklinde bir bölge ABC üçgeni olarak gösterilmiştir. Haritanın ölçeği \( 1:100000 \) (yani haritadaki \( 1 \) birim, gerçekte \( 100000 \) birimdir). Haritada \( |AB| = 3 \) cm, \( |BC| = 4 \) cm ve \( |AC| = 5 \) cm olarak ölçülmüştür.
Bu üçgen bölgenin gerçek hayattaki boyutları ile haritadaki boyutları arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak nasıl ifade edersiniz?
Bu üçgen bölgenin gerçek hayattaki boyutları ile haritadaki boyutları arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak nasıl ifade edersiniz?
Çözüm:
💡 Haritalar, gerçek dünyadaki nesnelerin belirli bir oranda küçültülerek kağıda aktarılmasıyla oluşturulur. Bu durum, haritadaki şekiller ile gerçek hayattaki şekiller arasında benzerlik ilişkisi olduğu anlamına gelir.
- Haritadaki ABC üçgeninin kenar uzunlukları \( |AB| = 3 \) cm, \( |BC| = 4 \) cm ve \( |AC| = 5 \) cm'dir.
- Haritanın ölçeği \( 1:100000 \) olarak verilmiştir. Bu, haritadaki her uzunluğun gerçek hayatta \( 100000 \) katı olduğu anlamına gelir. Bu oran, benzerlik oranıdır.
- Gerçek hayattaki A'B'C' üçgeninin kenar uzunluklarını bulalım:
- \( |A'B'| = |AB| \times 100000 = 3 \text{ cm} \times 100000 = 300000 \text{ cm} = 3000 \text{ metre} = 3 \text{ km} \)
- \( |B'C'| = |BC| \times 100000 = 4 \text{ cm} \times 100000 = 400000 \text{ cm} = 4000 \text{ metre} = 4 \text{ km} \)
- \( |A'C'| = |AC| \times 100000 = 5 \text{ cm} \times 100000 = 500000 \text{ cm} = 5000 \text{ metre} = 5 \text{ km} \)
- Haritadaki \(\triangle ABC\) ile gerçek hayattaki \(\triangle A'B'C'\) arasında Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kuralı geçerlidir. Çünkü tüm karşılıklı kenar uzunluklarının oranı aynıdır (benzerlik oranı \( k = 100000 \)).
- \[ \frac{|A'B'|}{|AB|} = \frac{|B'C'|}{|BC|} = \frac{|A'C'|}{|AC|} = 100000 \]
- ✅ Bu durum, haritadaki üçgenin gerçek hayattaki üçgenin bir benzeri olduğunu gösterir. Yani \(\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\). Benzer üçgenlerin karşılıklı açıları da eşit olacağından, bu bölgenin gerçek hayattaki açıları haritadaki açılarıyla aynıdır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/9-sinif-matematik-iki-ucgenin-es-veya-benzer-olmasi-icin-gerekli-olan-asgari-kosullar/sorular