9. Sınıf İki Üçgenin Eş Veya Benzer Olması İçin Gerekli Olan Asgari Koşullarla İlgili Çıkarım Yapabilme Çözümlü Sorular ve Örnekler Pdf

Çözümlü Soru

Kolay Seviye

Birinci üçgenimiz ABC üçgeni olsun. Bu üçgenin kenar uzunlukları sırasıyla AB = \( 5 \) cm, BC = \( 7 \) cm ve AC = \( 9 \) cm'dir. İkinci üçgenimiz DEF üçgeni olsun. Bu üçgenin kenar uzunlukları DE = \( 5 \) cm, EF = \( 7 \) cm ve DF = \( 9 \) cm'dir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını asgari koşulları göz önünde bulundurarak belirleyiniz.

Çözümlü Soru

Orta Seviye

Bir ABC üçgeninde AB kenarının uzunluğu \( 6 \) cm, BC kenarının uzunluğu \( 8 \) cm ve B açısının ölçüsü \( 50^\circ \) olsun.
Bir DEF üçgeninde DE kenarının uzunluğu \( 6 \) cm, EF kenarının uzunluğu \( 8 \) cm ve E açısının ölçüsü \( 50^\circ \) olsun.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını asgari koşulları göz önünde bulundurarak belirleyiniz.

Çözümlü Soru

Orta Seviye

Bir KLM üçgeninde K açısının ölçüsü \( 70^\circ \), M açısının ölçüsü \( 60^\circ \) ve KM kenarının uzunluğu \( 10 \) cm olsun.
Bir PRS üçgeninde P açısının ölçüsü \( 70^\circ \), S açısının ölçüsü \( 60^\circ \) ve PS kenarının uzunluğu \( 10 \) cm olsun.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını asgari koşulları göz önünde bulundurarak belirleyiniz.

Çözümlü Soru

Kolay Seviye

Bir ABC üçgeninde A açısının ölçüsü \( 70^\circ \), B açısının ölçüsü \( 60^\circ \) olsun.
Bir DEF üçgeninde D açısının ölçüsü \( 70^\circ \), E açısının ölçüsü \( 60^\circ \) olsun.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını asgari koşulları göz önünde bulundurarak belirleyiniz.

Çözümlü Soru

Orta Seviye

Bir ABC üçgeni ve bu üçgenin içinde, BC kenarına paralel olan bir DE doğru parçası çizilmiştir. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir.
Verilenler: AD = \( 3 \) cm, DB = \( 6 \) cm, AE = \( 4 \) cm.
EC uzunluğunu bulunuz. Bu üçgenlerin benzerliğini asgari koşullarla açıklayınız.

Çözümlü Soru

Zor Seviye

Bir ABC üçgeninde AB = \( 4 \) cm, BC = \( 6 \) cm ve B açısı \( 40^\circ \) olsun.
Bir DEF üçgeninde DE = \( 6 \) cm, EF = \( 9 \) cm ve E açısı \( 40^\circ \) olsun.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını asgari koşulları göz önünde bulundurarak belirleyiniz.

Çözümlü Soru

Zor Seviye

Bir KLM üçgeninin kenar uzunlukları KL = \( 6 \) cm, LM = \( 9 \) cm ve KM = \( 12 \) cm olsun.
Bir PRS üçgeninin kenar uzunlukları PR = \( 4 \) cm, RS = \( 6 \) cm ve PS = \( 8 \) cm olsun.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını asgari koşulları göz önünde bulundurarak belirleyiniz.

Çözümlü Soru

Yeni Nesil Soru

Ayşe, boyunun uzunluğunu ölçmek için bir ağacın gölgesinden faydalanmak istiyor. Güneşli bir günde, Ayşe'nin boyu \( 1.6 \) metre iken gölgesinin uzunluğu \( 2 \) metre olarak ölçülüyor. Aynı anda, ağacın gölgesinin uzunluğu ise \( 15 \) metre olarak ölçülüyor.
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir? Bu durumu hangi asgari benzerlik koşulu ile açıklarsınız?

Çözüm ve Açıklama

Bu bir Günlük Hayat problemidir ve üçgenlerde benzerlik prensibini kullanırız. 📌

👉 Adım 1: Durumu üçgenlere dönüştürelim.

Ayşe ve gölgesi ile yer arasında bir dik üçgen oluşur.
Ağaç ve gölgesi ile yer arasında başka bir dik üçgen oluşur.
Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için, Ayşe'nin oluşturduğu üçgendeki güneş açısı ile ağacın oluşturduğu üçgendeki güneş açısı birbirine eşittir.

👉 Adım 2: Benzerlik koşullarını belirleyelim.

Her iki üçgende de zemin ile kişi/ağaç arasındaki açı \( 90^\circ \) (dik açı) olduğu için eşittir.
Güneş ışınlarının yere düşme açısı her iki durumda da aynı olduğu için, bu açılar da eşittir.
Bu durumda, iki üçgenin ikişer açısı eşit olduğundan, Açı-Açı (A.A.) Benzerlik Kuralı'na göre bu iki üçgen benzerdir.

👉 Adım 3: Verilenleri listeleyelim ve oranları kuralım.

Ayşe'nin boyu (üçgenin dik kenarı) = \( 1.6 \) m
Ayşe'nin gölgesi (üçgenin diğer dik kenarı) = \( 2 \) m
Ağacın gölgesi (büyük üçgenin diğer dik kenarı) = \( 15 \) m
Ağacın boyu (büyük üçgenin dik kenarı) = \( x \) m (Bunu bulacağız)

👉 Adım 4: Benzerlik oranını kullanarak ağacın boyunu bulalım.

\( \frac{\text{Ayşe'nin boyu}}{\text{Ağacın boyu}} = \frac{\text{Ayşe'nin gölgesi}}{\text{Ağacın gölgesi}} \)
\( \frac{1.6}{x} = \frac{2}{15} \)
İçler dışlar çarpımı yaparak: \( 2 \cdot x = 1.6 \cdot 15 \)
\( 2x = 24 \)
\( x = \frac{24}{2} \)
\( x = 12 \) metre

✅ Sonuç: Ağacın boyu \( 12 \) metredir. Bu durumu A.A. benzerlik kuralı ile açıkladık.

Çözümlü Soru

Orta Seviye

Bir mühendis, bir köprü projesi için nehrin genişliğini doğrudan ölçemediği bir noktadan hesaplamak istiyor. Nehrin karşı kıyısındaki bir ağacı (A noktası) işaretler. Kendi bulunduğu kıyıda, ağacın tam karşısına (B noktası) ve B noktasından nehir kenarına paralel olacak şekilde \( 30 \) metre ilerleyerek bir C noktasına gelir. C noktasında, AC doğru parçasına dik olacak şekilde bir D noktası belirler ve CD uzunluğunu \( 20 \) metre olarak ölçer. D noktasından ağaç (A) ve C noktasına bakıldığında, DAC açısı ile ABC açısının aynı olduğu gözlemleniyor. (Yani \( m(\angle DAC) = m(\angle ABC) \)).
Bu bilgilere göre nehrin genişliği (AB uzunluğu) kaç metredir? Bu hesaplamada hangi asgari benzerlik koşulu kullanılmıştır?

Çözüm ve Açıklama

Bu problemde, nehrin genişliğini bulmak için iki üçgen arasındaki benzerliği kullanacağız. 🗺️

👉 Adım 1: Oluşan üçgenleri belirleyelim.

Birinci üçgen: \( \triangle ABC \) (Nehir kıyısındaki A, B ve C noktaları)
İkinci üçgen: \( \triangle DAC \) (Karşı kıyıdaki A, ve bulunduğumuz kıyıdaki D, C noktaları)
B noktası A'nın tam karşısında olduğu için AB, nehre diktir. Yani \( m(\angle ABC) = 90^\circ \).
CD, AC'ye dik olduğu için \( m(\angle ACD) = 90^\circ \) (Soruda DAC açısı ile ABC açısının aynı olduğu belirtilmiş, bu durumda \( m(\angle ACD) \) yerine \( m(\angle BCD) = 90^\circ \) veya \( m(\angle ADC) = 90^\circ \) gibi bir bilgi daha mantıklı olurdu. Ancak soruda "AC doğru parçasına dik olacak şekilde bir D noktası belirler" deniyor, bu da \( m(\angle ACD) \) veya \( m(\angle CAD) \) açılarından birinin dik olduğunu ima eder. Soruda netlik açısından \( m(\angle ABC) = 90^\circ \) ve \( m(\angle CDE) = 90^\circ \) gibi bir düzeltme yapılabilirdi. Ancak verilen "CD uzunluğunu 20 metre olarak ölçer. D noktasından ağaç (A) ve C noktasına bakıldığında, DAC açısı ile ABC açısının aynı olduğu gözlemleniyor." ifadesine göre, biz iki dik açıyı ve verilen eşit açıları kullanarak benzerliği kuracağız.)
Soruda \( m(\angle DAC) = m(\angle ABC) \) olduğu verilmiş.
Ayrıca, B noktasından nehir kenarına paralel ilerleyerek C noktasına geldiği için, BC, AB'ye diktir, yani \( m(\angle ABC) = 90^\circ \).
Soruda "AC doğru parçasına dik olacak şekilde bir D noktası belirler" ifadesi biraz kafa karıştırıcı. Genellikle bu tür problemlerde bir dik üçgen daha oluşturulur. Eğer \( m(\angle C) \) açısı her iki üçgen için de ortak kabul edilirse (ki bu durumda \( \triangle ABC \) ve \( \triangle DEC \) benzerliği oluşur) veya başka bir dik açı bulunur.
Soruyu daha anlaşılır hale getirmek için varsayımda bulunalım: B noktasından \( 30 \) metre ilerleyerek C noktasına gelinmiş ve C noktasından AC'ye dik bir CD çizilmiş. Bu durumda \( m(\angle ACD) = 90^\circ \) olur. Ayrıca \( m(\angle ABC) = 90^\circ \) (nehir genişliği diktir).
Bu durumda \( \triangle ABC \) ve \( \triangle DCA \) üçgenlerine bakarsak:

\( m(\angle ABC) = 90^\circ \)
\( m(\angle ACD) = 90^\circ \)
Soruda \( m(\angle DAC) = m(\angle ABC) \) denmiş, bu da \( m(\angle DAC) = 90^\circ \) anlamına gelir ki bu \( \triangle DCA \) için mümkün değil.

Daha klasik bir benzerlik senaryosu düşünelim:
Ağaç A noktasında. B noktası A'nın tam karşısı. Nehir kenarı boyunca B'den C'ye \( 30 \) m ilerlenir. C'den, AC'ye dik olacak şekilde D noktasına \( 20 \) m gidilir. Bu durumda \( m(\angle ACD) = 90^\circ \).
Şimdi, \( \triangle ABC \) ve \( \triangle DCE \) (D'den AB'ye paralel bir E noktasına inildiği varsayılırsa) benzerliği kurulabilir.
Ancak soruda verilen "DAC açısı ile ABC açısının aynı olduğu gözlemleniyor" ifadesi bizi \( \triangle ABC \) ve \( \triangle CAD \) üçgenleri arasında bir ilişki kurmaya yöneltiyor.
Eğer \( m(\angle ABC) = 90^\circ \) ve \( m(\angle ACD) = 90^\circ \) ise,
Ve \( m(\angle BAC) = m(\angle ADC) \) (ters açılar veya Z kuralı ile değil, gözlemle)
Bu durumda, Açı-Açı (A.A.) Benzerlik Kuralı'nı kullanabiliriz.
Verilenler: BC = \( 30 \) m, CD = \( 20 \) m.
Nehrin genişliği AB'yi bulmak istiyoruz.

👉 Adım 2: Üçgenlerin benzerliğini kuralım.

Nehir kıyısı AB'ye dik olduğundan \( m(\angle ABC) = 90^\circ \).
Soruda "AC doğru parçasına dik olacak şekilde bir D noktası belirler" ifadesinden \( m(\angle ACD) = 90^\circ \) olduğunu varsayalım. (Aksi takdirde benzerlik kurmak için yeterli bilgi olmazdı.)
Soruda \( m(\angle DAC) = m(\angle ABC) \) denmiş, bu durumda \( m(\angle DAC) = 90^\circ \) olur. Bu ifade matematiksel olarak bir üçgen için (üçgenin iki açısı \( 90^\circ \) olamaz) çelişkilidir.
Bu soruyu, klasik nehir genişliği ölçme problemi formatına uyarlayarak çözeceğiz.
Genellikle bu tür sorularda: Nehir A noktasından B noktasına kadar uzanır. B noktasından kıyı boyunca C noktasına gidilir. C noktasında, BC'ye dik bir CD doğrusu çizilir. D noktasından A noktasına bakılır ve E noktası belirlenir öyle ki A, C, E doğrusal olsun.
Ancak sorudaki ifadeyi olduğu gibi kullanmak zorundayız.
Düzeltilmiş Yorum: Eğer \( m(\angle ABC) = 90^\circ \) ve \( m(\angle BCD) = 90^\circ \) (C noktasından nehir kenarına dik bir çizgi) olsaydı. Ve \( m(\angle BAC) = m(\angle CDE) \) (karşı kıyıdaki A noktasından B'ye ve B'den C'ye, C'den D'ye gidip, D'den A'ya bakıldığında oluşan açı).
Sorudaki "DAC açısı ile ABC açısının aynı olduğu gözlemleniyor" ifadesi kritik.
Eğer \( m(\angle ABC) = 90^\circ \) ve \( m(\angle BCD) = 90^\circ \) ise (nehir kenarı boyunca dik çizgi),
\( \triangle ABC \) ve \( \triangle BCD \) üçgenleri arasında benzerlik kurulamaz.
Tekrar soruyu okuyalım: "B noktasından nehir kenarına paralel olacak şekilde \( 30 \) metre ilerleyerek bir C noktasına gelir." Bu, BC'nin AB'ye dik olduğunu söyler, yani \( m(\angle ABC) = 90^\circ \).
"C noktasında, AC doğru parçasına dik olacak şekilde bir D noktası belirler" yani \( m(\angle ACD) = 90^\circ \).
"DAC açısı ile ABC açısının aynı olduğu gözlemleniyor." Yani \( m(\angle DAC) = m(\angle ABC) = 90^\circ \).
Bu durumda \( \triangle ADC \) üçgeninde iki tane \( 90^\circ \) açı (D ve C'deki açılar) olamaz. Bu bir çelişki.
Bu tip sorularda genellikle D noktasından AB'ye paralel bir çizgi çizilir ve benzerlik kurulur.
Varsayım: Sorudaki "AC doğru parçasına dik olacak şekilde bir D noktası belirler" ifadesi aslında C noktasından AB doğrusuna paralel bir doğru üzerinde bir D noktası belirler ve bu CD uzunluğu 20 metredir anlamına geliyordur. Ve "DAC açısı ile ABC açısının aynı olduğu gözlemleniyor" ifadesi de, A ve D noktaları arasındaki bir doğru ile C noktasındaki bir açının benzerlik için kullanıldığı anlamına gelir.
En yaygın senaryo:
Ağaç A'da. B A'nın tam karşısı. C B'den \( 30 \)m ileride. D C'den AB'ye paralel bir doğru üzerinde \( 20 \)m ileride.
Bu durumda, \( \triangle ABC \) ve \( \triangle EDC \) (E noktası AD ve BC'nin kesişimi) benzerliği kurulur.
Ancak soruda \( m(\angle DAC) = m(\angle ABC) \) denmesi önemli.
Eğer \( m(\angle ABC) = 90^\circ \) ise, o zaman \( m(\angle DAC) = 90^\circ \) olur.
Bu durumda \( \triangle ABC \) ve \( \triangle CAD \) üçgenleri arasında benzerlik arayalım.
\( m(\angle ABC) = 90^\circ \)
\( m(\angle DAC) = 90^\circ \)
C açısı her iki üçgen için de ortak açıdır (\( m(\angle ACB) = m(\angle DCA) \)).
Bu durumda, A.A. Benzerlik Kuralı'na göre \( \triangle ABC \sim \triangle DAC \) olur. (Bu durumda D noktası AC'nin üzerinde olamaz, farklı bir yerdedir).

👉 Adım 3: Verilenleri listeleyelim ve oranları kuralım.

AB = Nehrin genişliği (aranan \( x \))
BC = \( 30 \) m
CD = \( 20 \) m (Bu CD, \( \triangle DAC \) üçgeninin bir kenarıdır)
Benzerlik: \( \triangle ABC \sim \triangle DAC \)
Karşılıklı kenarların oranları: \( \frac{AB}{DA} = \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{DC} \)
Buradan, \( \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{DC} \) oranını kullanarak AC'yi bulalım:
\( \frac{30}{AC} = \frac{AC}{20} \)
\( AC^2 = 30 \cdot 20 \)
\( AC^2 = 600 \)
\( AC = \sqrt{600} = \sqrt{100 \cdot 6} = 10\sqrt{6} \) m
Şimdi nehrin genişliği AB'yi bulmak için \( \frac{AB}{DA} = \frac{AC}{DC} \) veya \( \frac{AB}{DA} = \frac{BC}{AC} \) oranını kullanmalıyız. Ancak DA uzunluğunu bilmiyoruz.
Daha basit bir oran: \( \frac{AB}{AC} = \frac{BC}{DC} \) (Yanlış. Karşılıklı kenarların doğru eşleşmesi önemli.)
Doğru eşleşme: \( \frac{AB}{DA} = \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{DC} \)
İlk ve son oranı kullanalım: \( \frac{AB}{DA} = \frac{AC}{DC} \)
\( \frac{x}{DA} = \frac{10\sqrt{6}}{20} \)
\( \frac{x}{DA} = \frac{\sqrt{6}}{2} \)
Buradan DA'yı bilmeden x'i bulamayız.
Pisagor Teoremi'ni kullanalım: \( \triangle ABC \) bir dik üçgen (B açısı \( 90^\circ \)).
\( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)
\( x^2 + 30^2 = (10\sqrt{6})^2 \)
\( x^2 + 900 = 600 \)
\( x^2 = 600 - 900 = -300 \)
Bu sonuç, sorunun verilenlerinde bir çelişki olduğunu gösterir. Bir uzunluğun karesi negatif olamaz.

👉 Adım 4: Sorunun en olası ve klasik yorumuyla çözelim (Sorunun metni hatalı olabilir).

Ağaç A noktasında. B noktası A'nın tam karşısı. B'den nehir kenarı boyunca C noktasına \( 30 \) m ilerlenir. C noktasından, AB'ye paralel olacak şekilde D noktasına \( 20 \) m ilerlenir. Bu durumda \( CD // AB \).
Şimdi \( \triangle ABC \) ve \( \triangle EDC \) (E noktası AD ve BC'nin kesişimi) veya daha basiti, A noktasından CD'ye dik bir E noktası çizilirse, \( \triangle ABC \) ve \( \triangle ADE \) benzerliği.
Ancak soruda \( m(\angle DAC) = m(\angle ABC) \) deniyor.
Bu tür "nehir genişliği" sorularında genellikle iki dik üçgen ve iki ortak açı bulunur:
A noktası karşıda, B noktası tam karşısı, C noktası B'den \( 30 \)m uzakta.
C noktasından, AC'ye dik değil, AB'ye paralel olacak şekilde bir D noktası belirlenir ve CD = \( 20 \)m ölçülür.
Bu durumda \( \triangle ABC \) ve \( \triangle EDC \) (AD ve BC'nin kesişim noktası E olsun) benzerliği kurulur.
VEYA, Tales Teoremi'nin uygulaması:
Ağaç A'da. B A'nın karşısı. B'den C'ye \( 30 \)m. C'den bir D noktası belirlenir. Bu D noktası, B, C, D doğrusal olabilir.
Ve bir E noktası belirlenir ki, \( AE // BD \).
Sorunun orijinal ifadesinde bir hata var gibi görünüyor. "DAC açısı ile ABC açısının aynı olduğu gözlemleniyor" ve "AC doğru parçasına dik olacak şekilde bir D noktası belirler" ifadeleri çelişki yaratıyor.
En olası senaryo (Klasik nehir problemi):
Ağaç A noktasında. B noktası A'nın tam karşısı (AB nehrin genişliği).
B noktasından nehir kıyısı boyunca \( 30 \) metre C noktasına ilerlenir.
C noktasından, AB'ye dik olacak şekilde bir D noktası belirlenir ve CD = \( 20 \) metre ölçülür.
A, C ve D noktaları doğrusal ise, yani A, C, D bir doğru üzerinde ise.
Bu durumda \( \triangle ABC \) ve \( \triangle DBC \) benzerliği kuramayız.
Farklı bir yorum:
\( \triangle ABC \) (AB nehrin genişliği, BC nehir boyunca uzaklık)
\( \triangle EDC \) (D noktası C'den ölçülen bir nokta, E noktası AB'ye paralel çizilen bir doğru üzerindeki nokta)
Eğer \( m(\angle ABC) = 90^\circ \) ve \( m(\angle CDE) = 90^\circ \) ise (C'den AB'ye paralel bir doğruya dik inilmiş gibi).
Ve C açısı ortak ise (\( m(\angle ACB) = m(\angle ECD) \), ters açılar).
Bu durumda A.A. Benzerlik Kuralı geçerlidir.
Verilenler: BC = \( 30 \) m. CD = \( 20 \) m.
Bu yorumla bile "DAC açısı ile ABC açısının aynı olduğu gözlemleniyor" ifadesi hala anlamsız kalıyor.
En mantıklı düzeltme ve çözüm:
Ağaç A noktasında. B noktası A'nın tam karşısı.
B noktasından nehir kıyısı boyunca \( 30 \) metre C noktasına ilerlenir.
C noktasından, AB'ye paralel bir doğru üzerinde bir D noktası belirlenir ve CD = \( 20 \) metre ölçülür.
AD ve BC doğrularının kesiştiği nokta E olsun.
Bu durumda \( \triangle ABE \) ve \( \triangle DCE \) üçgenleri oluşur.
\( AB // CD \) olduğu için:
\( m(\angle BAE) = m(\angle CDE) \) (iç ters açılar)
\( m(\angle ABE) = m(\angle DCE) \) (iç ters açılar)
\( m(\angle AEB) = m(\angle DEC) \) (ters açılar)
Yani \( \triangle ABE \sim \triangle DCE \) dir. A.A. Benzerlik Kuralı geçerlidir.
Burada AB nehrin genişliği (\( x \)).
Ancak bu durumda C noktası B ile E arasında kalır, bu da \( BC = 30 \)m ile çelişir.

Sorunun en klasik ve doğru yorumu (metin hatalarını göz ardı ederek):
Ağaç A'da. B A'nın tam karşısı.
B'den C'ye \( 30 \) m ilerlenir.
C noktasından, AB'ye paralel bir CD doğrusu çizilir ve D noktasında durulur (CD = \( 20 \) m).
A, C, D noktaları doğrusal değildir.
Düzeltilmiş ve Çözülen Senaryo:
Ağaç A noktasında. B noktası A'nın tam karşısı. Nehrin genişliği AB = \( x \).
B'den nehir kenarı boyunca \( 30 \) metre C noktasına ilerlenir.
C noktasından, AB'ye dik olacak şekilde (nehir kenarına paralel değil) bir D noktasına \( 20 \) metre ilerlenir.
Yani \( m(\angle B) = 90^\circ \) (\( AB \perp BC \)).
Ve \( m(\angle C) = 90^\circ \) (\( BC \perp CD \)).
Şimdi A, D noktalarını birleştirirsek, \( \triangle ABC \) ve \( \triangle BCD \) üçgenleri oluşur.
Sorudaki "DAC açısı ile ABC açısının aynı olduğu gözlemleniyor" ifadesini:
\( m(\angle CAB) = m(\angle CDB) \) olarak yorumlarsak, bu durumda A.A. Benzerlik Kuralı'nı kullanabiliriz.
Yani, \( \triangle ABC \sim \triangle BDC \) (B açısı 90, C açısı 90, ve A ve D açıları eşit).
Verilenler: BC = \( 30 \) m, CD = \( 20 \) m. AB = \( x \).
Benzerlik oranları: \( \frac{AB}{BD} = \frac{BC}{DC} = \frac{AC}{BC} \)
\( \frac{x}{BD} = \frac{30}{20} = \frac{AC}{30} \)
Önce \( \frac{30}{20} \) oranını sadeleştirelim: \( \frac{3}{2} \).
Şimdi \( \frac{x}{BD} = \frac{3}{2} \) ve \( \frac{AC}{30} = \frac{3}{2} \)
AC uzunluğunu bulalım: \( 2 \cdot AC = 3 \cdot 30 \implies AC = 45 \) m.
\( \triangle ABC \) bir dik üçgen olduğundan (B'de \( 90^\circ \)):
\( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)
\( x^2 + 30^2 = 45^2 \)
\( x^2 + 900 = 2025 \)
\( x^2 = 2025 - 900 \)
\( x^2 = 1125 \)
\( x = \sqrt{1125} = \sqrt{225 \cdot 5} = 15\sqrt{5} \) metre.
Bu çözüm, sorudaki metin hatalarını en makul şekilde düzelterek yapılmıştır.
Kullanılan asgari benzerlik koşulu: A.A. Benzerlik Kuralı.

✅ Sonuç: Nehrin genişliği \( 15\sqrt{5} \) metredir. Bu hesaplamada A.A. Benzerlik Kuralı kullanılmıştır.

9. Sınıf Matematik: İki Üçgenin Eş Veya Benzer Olması İçin Gerekli Olan Asgari Koşullarla İlgili Çıkarım Yapabilme Çözümlü Sorular

Soru 1:

Çözüm:

Bu soruyu çözmek için Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Eşlik Kuralı'nı kullanacağız. 💡

👉 Adım 1: ABC üçgeninin kenar uzunluklarını belirleyelim.

AB = \( 5 \) cm
BC = \( 7 \) cm
AC = \( 9 \) cm

👉 Adım 2: DEF üçgeninin kenar uzunluklarını belirleyelim.

DE = \( 5 \) cm
EF = \( 7 \) cm
DF = \( 9 \) cm

👉 Adım 3: Karşılıklı kenarların uzunluklarını karşılaştıralım.

AB kenarı ile DE kenarı eşittir: \( AB = DE = 5 \) cm.
BC kenarı ile EF kenarı eşittir: \( BC = EF = 7 \) cm.
AC kenarı ile DF kenarı eşittir: \( AC = DF = 9 \) cm.

👉 Adım 4: K.K.K. Eşlik Kuralı'nı uygulayalım.

İki üçgenin de tüm karşılıklı kenarları birbirine eşit olduğundan, bu iki üçgen K.K.K. Eşlik Kuralı'na göre eştir.

✅ Sonuç: \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) 'dir. Yani ABC ve DEF üçgenleri eştir.

Soru 2:

Çözüm:

Bu soruyu çözmek için Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) Eşlik Kuralı'nı kullanacağız. 📌

👉 Adım 1: ABC üçgeninin verilenlerini belirleyelim.

AB = \( 6 \) cm
BC = \( 8 \) cm
\( m(\angle B) = 50^\circ \)

👉 Adım 2: DEF üçgeninin verilenlerini belirleyelim.

DE = \( 6 \) cm
EF = \( 8 \) cm
\( m(\angle E) = 50^\circ \)

👉 Adım 3: Karşılıklı kenarları ve bu kenarlar arasındaki açıları karşılaştıralım.

AB kenarı ile DE kenarı eşittir: \( AB = DE = 6 \) cm.
BC kenarı ile EF kenarı eşittir: \( BC = EF = 8 \) cm.
Bu iki kenar arasında kalan açılar (B ve E açıları) eşittir: \( m(\angle B) = m(\angle E) = 50^\circ \).

👉 Adım 4: K.A.K. Eşlik Kuralı'nı uygulayalım.

İki üçgenin karşılıklı iki kenarı ve bu kenarlar arasında kalan açıları eşit olduğundan, bu iki üçgen K.A.K. Eşlik Kuralı'na göre eştir.

✅ Sonuç: \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) 'dir. Yani ABC ve DEF üçgenleri eştir.

Soru 3:

Çözüm:

Bu soruyu çözmek için Açı-Kenar-Açı (A.K.A.) Eşlik Kuralı'nı kullanacağız. 💡

👉 Adım 1: KLM üçgeninin verilenlerini belirleyelim.

\( m(\angle K) = 70^\circ \)
\( m(\angle M) = 60^\circ \)
KM = \( 10 \) cm

👉 Adım 2: PRS üçgeninin verilenlerini belirleyelim.

\( m(\angle P) = 70^\circ \)
\( m(\angle S) = 60^\circ \)
PS = \( 10 \) cm

👉 Adım 3: Karşılıklı açıları ve bu açılar arasındaki kenarı karşılaştıralım.

K açısı ile P açısı eşittir: \( m(\angle K) = m(\angle P) = 70^\circ \).
M açısı ile S açısı eşittir: \( m(\angle M) = m(\angle S) = 60^\circ \).
Bu iki açı arasında kalan kenarlar (KM ve PS kenarları) eşittir: \( KM = PS = 10 \) cm.

👉 Adım 4: A.K.A. Eşlik Kuralı'nı uygulayalım.

İki üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu açılar arasında kalan kenarları eşit olduğundan, bu iki üçgen A.K.A. Eşlik Kuralı'na göre eştir.

✅ Sonuç: \( \triangle KLM \cong \triangle PRS \) 'dir. Yani KLM ve PRS üçgenleri eştir.

Soru 4:

Çözüm:

Bu soruyu çözmek için Açı-Açı (A.A.) Benzerlik Kuralı'nı kullanacağız. 📌

👉 Adım 1: ABC üçgeninin verilenlerini belirleyelim.

\( m(\angle A) = 70^\circ \)
\( m(\angle B) = 60^\circ \)

👉 Adım 2: DEF üçgeninin verilenlerini belirleyelim.

\( m(\angle D) = 70^\circ \)
\( m(\angle E) = 60^\circ \)

👉 Adım 3: Karşılıklı açıları karşılaştıralım.

A açısı ile D açısı eşittir: \( m(\angle A) = m(\angle D) = 70^\circ \).
B açısı ile E açısı eşittir: \( m(\angle B) = m(\angle E) = 60^\circ \).

👉 Adım 4: A.A. Benzerlik Kuralı'nı uygulayalım.

İki üçgenin karşılıklı iki açısı eşit olduğundan, üçüncü açıları da otomatik olarak eşit olacaktır (Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğu için). Bu durumda, bu iki üçgen A.A. Benzerlik Kuralı'na göre benzerdir.

✅ Sonuç: \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) 'dir. Yani ABC ve DEF üçgenleri benzerdir.

Soru 5:

Çözüm:

Bu soruyu çözmek için Temel Benzerlik Teoremi'ni (Thales Teoremi'nin bir uygulaması) ve A.A. Benzerlik Kuralı'nı kullanacağız. 💡

👉 Adım 1: Üçgenleri ve verilenleri analiz edelim.

Büyük üçgen: \( \triangle ABC \)
Küçük üçgen: \( \triangle ADE \)
DE // BC olduğu verilmiş.
AD = \( 3 \) cm, DB = \( 6 \) cm, AE = \( 4 \) cm.

👉 Adım 2: Benzerlik koşullarını belirleyelim.

DE // BC olduğundan, yöndeş açılar eşittir:

\( m(\angle ADE) = m(\angle ABC) \)
\( m(\angle AED) = m(\angle ACB) \)

A açısı her iki üçgen için de ortak açıdır: \( m(\angle DAE) = m(\angle BAC) \).
Bu durumda, \( \triangle ADE \) ve \( \triangle ABC \) üçgenleri A.A. Benzerlik Kuralı'na göre benzerdir.

👉 Adım 3: Benzerlik oranlarını yazalım.

Karşılıklı kenarların oranları eşittir: \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \)
AB uzunluğu \( AD + DB = 3 + 6 = 9 \) cm'dir.
AC uzunluğu \( AE + EC = 4 + EC \) cm'dir.

👉 Adım 4: EC uzunluğunu bulmak için oranları kullanalım.

\( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \)
\( \frac{3}{9} = \frac{4}{4 + EC} \)
\( \frac{1}{3} = \frac{4}{4 + EC} \)
İçler dışlar çarpımı yaparak: \( 1 \cdot (4 + EC) = 3 \cdot 4 \)
\( 4 + EC = 12 \)
\( EC = 12 - 4 \)
\( EC = 8 \) cm

✅ Sonuç: EC uzunluğu \( 8 \) cm'dir. Üçgenler A.A. benzerlik kuralına göre benzerdir.

Soru 6:

Çözüm:

Bu soruyu çözmek için Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) Benzerlik Kuralı'nı kullanacağız. 📌

👉 Adım 1: ABC üçgeninin verilenlerini belirleyelim.

AB = \( 4 \) cm
BC = \( 6 \) cm
\( m(\angle B) = 40^\circ \)

👉 Adım 2: DEF üçgeninin verilenlerini belirleyelim.

DE = \( 6 \) cm
EF = \( 9 \) cm
\( m(\angle E) = 40^\circ \)

👉 Adım 3: Karşılıklı kenarların oranlarını ve bu kenarlar arasındaki açıları karşılaştıralım.

B açısı ile E açısı eşittir: \( m(\angle B) = m(\angle E) = 40^\circ \). Bu, aradaki açı koşulunu sağlar.
Kenar oranlarına bakalım:

\( \frac{AB}{DE} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{BC}{EF} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)

👉 Adım 4: K.A.K. Benzerlik Kuralı'nı uygulayalım.

İki üçgenin karşılıklı iki kenarının oranları eşit ve bu kenarlar arasında kalan açılar da eşit olduğundan, bu iki üçgen K.A.K. Benzerlik Kuralı'na göre benzerdir.

✅ Sonuç: \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) 'dir. Yani ABC ve DEF üçgenleri benzerdir. Benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \)'tür.

Soru 7:

Çözüm:

Bu soruyu çözmek için Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Benzerlik Kuralı'nı kullanacağız. 💡

👉 Adım 1: KLM üçgeninin kenar uzunluklarını belirleyelim.

KL = \( 6 \) cm
LM = \( 9 \) cm
KM = \( 12 \) cm

👉 Adım 2: PRS üçgeninin kenar uzunluklarını belirleyelim.

PR = \( 4 \) cm
RS = \( 6 \) cm
PS = \( 8 \) cm

👉 Adım 3: Karşılıklı kenarların oranlarını karşılaştıralım. (Küçükten büyüğe sıralayarak eşleştirmek karışıklığı önler.)

\( \frac{KL}{PR} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
\( \frac{LM}{RS} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \)
\( \frac{KM}{PS} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \)

👉 Adım 4: K.K.K. Benzerlik Kuralı'nı uygulayalım.

İki üçgenin tüm karşılıklı kenarlarının oranları birbirine eşit olduğundan, bu iki üçgen K.K.K. Benzerlik Kuralı'na göre benzerdir.

✅ Sonuç: \( \triangle KLM \sim \triangle PRS \) 'dir. Yani KLM ve PRS üçgenleri benzerdir. Benzerlik oranı \( \frac{3}{2} \)'dir.

Soru 8:

Çözüm:

Bu bir Günlük Hayat problemidir ve üçgenlerde benzerlik prensibini kullanırız. 📌

👉 Adım 1: Durumu üçgenlere dönüştürelim.

Ayşe ve gölgesi ile yer arasında bir dik üçgen oluşur.
Ağaç ve gölgesi ile yer arasında başka bir dik üçgen oluşur.
Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için, Ayşe'nin oluşturduğu üçgendeki güneş açısı ile ağacın oluşturduğu üçgendeki güneş açısı birbirine eşittir.

👉 Adım 2: Benzerlik koşullarını belirleyelim.

Her iki üçgende de zemin ile kişi/ağaç arasındaki açı \( 90^\circ \) (dik açı) olduğu için eşittir.
Güneş ışınlarının yere düşme açısı her iki durumda da aynı olduğu için, bu açılar da eşittir.
Bu durumda, iki üçgenin ikişer açısı eşit olduğundan, Açı-Açı (A.A.) Benzerlik Kuralı'na göre bu iki üçgen benzerdir.

👉 Adım 3: Verilenleri listeleyelim ve oranları kuralım.

Ayşe'nin boyu (üçgenin dik kenarı) = \( 1.6 \) m
Ayşe'nin gölgesi (üçgenin diğer dik kenarı) = \( 2 \) m
Ağacın gölgesi (büyük üçgenin diğer dik kenarı) = \( 15 \) m
Ağacın boyu (büyük üçgenin dik kenarı) = \( x \) m (Bunu bulacağız)

👉 Adım 4: Benzerlik oranını kullanarak ağacın boyunu bulalım.

\( \frac{\text{Ayşe'nin boyu}}{\text{Ağacın boyu}} = \frac{\text{Ayşe'nin gölgesi}}{\text{Ağacın gölgesi}} \)
\( \frac{1.6}{x} = \frac{2}{15} \)
İçler dışlar çarpımı yaparak: \( 2 \cdot x = 1.6 \cdot 15 \)
\( 2x = 24 \)
\( x = \frac{24}{2} \)
\( x = 12 \) metre

✅ Sonuç: Ağacın boyu \( 12 \) metredir. Bu durumu A.A. benzerlik kuralı ile açıkladık.

Soru 9:

Çözüm:

Bu problemde, nehrin genişliğini bulmak için iki üçgen arasındaki benzerliği kullanacağız. 🗺️

👉 Adım 1: Oluşan üçgenleri belirleyelim.

Birinci üçgen: \( \triangle ABC \) (Nehir kıyısındaki A, B ve C noktaları)
İkinci üçgen: \( \triangle DAC \) (Karşı kıyıdaki A, ve bulunduğumuz kıyıdaki D, C noktaları)
B noktası A'nın tam karşısında olduğu için AB, nehre diktir. Yani \( m(\angle ABC) = 90^\circ \).
CD, AC'ye dik olduğu için \( m(\angle ACD) = 90^\circ \) (Soruda DAC açısı ile ABC açısının aynı olduğu belirtilmiş, bu durumda \( m(\angle ACD) \) yerine \( m(\angle BCD) = 90^\circ \) veya \( m(\angle ADC) = 90^\circ \) gibi bir bilgi daha mantıklı olurdu. Ancak soruda "AC doğru parçasına dik olacak şekilde bir D noktası belirler" deniyor, bu da \( m(\angle ACD) \) veya \( m(\angle CAD) \) açılarından birinin dik olduğunu ima eder. Soruda netlik açısından \( m(\angle ABC) = 90^\circ \) ve \( m(\angle CDE) = 90^\circ \) gibi bir düzeltme yapılabilirdi. Ancak verilen "CD uzunluğunu 20 metre olarak ölçer. D noktasından ağaç (A) ve C noktasına bakıldığında, DAC açısı ile ABC açısının aynı olduğu gözlemleniyor." ifadesine göre, biz iki dik açıyı ve verilen eşit açıları kullanarak benzerliği kuracağız.)
Soruda \( m(\angle DAC) = m(\angle ABC) \) olduğu verilmiş.
Ayrıca, B noktasından nehir kenarına paralel ilerleyerek C noktasına geldiği için, BC, AB'ye diktir, yani \( m(\angle ABC) = 90^\circ \).
Soruda "AC doğru parçasına dik olacak şekilde bir D noktası belirler" ifadesi biraz kafa karıştırıcı. Genellikle bu tür problemlerde bir dik üçgen daha oluşturulur. Eğer \( m(\angle C) \) açısı her iki üçgen için de ortak kabul edilirse (ki bu durumda \( \triangle ABC \) ve \( \triangle DEC \) benzerliği oluşur) veya başka bir dik açı bulunur.
Soruyu daha anlaşılır hale getirmek için varsayımda bulunalım: B noktasından \( 30 \) metre ilerleyerek C noktasına gelinmiş ve C noktasından AC'ye dik bir CD çizilmiş. Bu durumda \( m(\angle ACD) = 90^\circ \) olur. Ayrıca \( m(\angle ABC) = 90^\circ \) (nehir genişliği diktir).
Bu durumda \( \triangle ABC \) ve \( \triangle DCA \) üçgenlerine bakarsak:

\( m(\angle ABC) = 90^\circ \)
\( m(\angle ACD) = 90^\circ \)
Soruda \( m(\angle DAC) = m(\angle ABC) \) denmiş, bu da \( m(\angle DAC) = 90^\circ \) anlamına gelir ki bu \( \triangle DCA \) için mümkün değil.

Daha klasik bir benzerlik senaryosu düşünelim:
Ağaç A noktasında. B noktası A'nın tam karşısı. Nehir kenarı boyunca B'den C'ye \( 30 \) m ilerlenir. C'den, AC'ye dik olacak şekilde D noktasına \( 20 \) m gidilir. Bu durumda \( m(\angle ACD) = 90^\circ \).
Şimdi, \( \triangle ABC \) ve \( \triangle DCE \) (D'den AB'ye paralel bir E noktasına inildiği varsayılırsa) benzerliği kurulabilir.
Ancak soruda verilen "DAC açısı ile ABC açısının aynı olduğu gözlemleniyor" ifadesi bizi \( \triangle ABC \) ve \( \triangle CAD \) üçgenleri arasında bir ilişki kurmaya yöneltiyor.
Eğer \( m(\angle ABC) = 90^\circ \) ve \( m(\angle ACD) = 90^\circ \) ise,
Ve \( m(\angle BAC) = m(\angle ADC) \) (ters açılar veya Z kuralı ile değil, gözlemle)
Bu durumda, Açı-Açı (A.A.) Benzerlik Kuralı'nı kullanabiliriz.
Verilenler: BC = \( 30 \) m, CD = \( 20 \) m.
Nehrin genişliği AB'yi bulmak istiyoruz.

👉 Adım 2: Üçgenlerin benzerliğini kuralım.

Nehir kıyısı AB'ye dik olduğundan \( m(\angle ABC) = 90^\circ \).
Soruda "AC doğru parçasına dik olacak şekilde bir D noktası belirler" ifadesinden \( m(\angle ACD) = 90^\circ \) olduğunu varsayalım. (Aksi takdirde benzerlik kurmak için yeterli bilgi olmazdı.)
Soruda \( m(\angle DAC) = m(\angle ABC) \) denmiş, bu durumda \( m(\angle DAC) = 90^\circ \) olur. Bu ifade matematiksel olarak bir üçgen için (üçgenin iki açısı \( 90^\circ \) olamaz) çelişkilidir.
Bu soruyu, klasik nehir genişliği ölçme problemi formatına uyarlayarak çözeceğiz.
Genellikle bu tür sorularda: Nehir A noktasından B noktasına kadar uzanır. B noktasından kıyı boyunca C noktasına gidilir. C noktasında, BC'ye dik bir CD doğrusu çizilir. D noktasından A noktasına bakılır ve E noktası belirlenir öyle ki A, C, E doğrusal olsun.
Ancak sorudaki ifadeyi olduğu gibi kullanmak zorundayız.
Düzeltilmiş Yorum: Eğer \( m(\angle ABC) = 90^\circ \) ve \( m(\angle BCD) = 90^\circ \) (C noktasından nehir kenarına dik bir çizgi) olsaydı. Ve \( m(\angle BAC) = m(\angle CDE) \) (karşı kıyıdaki A noktasından B'ye ve B'den C'ye, C'den D'ye gidip, D'den A'ya bakıldığında oluşan açı).
Sorudaki "DAC açısı ile ABC açısının aynı olduğu gözlemleniyor" ifadesi kritik.
Eğer \( m(\angle ABC) = 90^\circ \) ve \( m(\angle BCD) = 90^\circ \) ise (nehir kenarı boyunca dik çizgi),
\( \triangle ABC \) ve \( \triangle BCD \) üçgenleri arasında benzerlik kurulamaz.
Tekrar soruyu okuyalım: "B noktasından nehir kenarına paralel olacak şekilde \( 30 \) metre ilerleyerek bir C noktasına gelir." Bu, BC'nin AB'ye dik olduğunu söyler, yani \( m(\angle ABC) = 90^\circ \).
"C noktasında, AC doğru parçasına dik olacak şekilde bir D noktası belirler" yani \( m(\angle ACD) = 90^\circ \).
"DAC açısı ile ABC açısının aynı olduğu gözlemleniyor." Yani \( m(\angle DAC) = m(\angle ABC) = 90^\circ \).
Bu durumda \( \triangle ADC \) üçgeninde iki tane \( 90^\circ \) açı (D ve C'deki açılar) olamaz. Bu bir çelişki.
Bu tip sorularda genellikle D noktasından AB'ye paralel bir çizgi çizilir ve benzerlik kurulur.
Varsayım: Sorudaki "AC doğru parçasına dik olacak şekilde bir D noktası belirler" ifadesi aslında C noktasından AB doğrusuna paralel bir doğru üzerinde bir D noktası belirler ve bu CD uzunluğu 20 metredir anlamına geliyordur. Ve "DAC açısı ile ABC açısının aynı olduğu gözlemleniyor" ifadesi de, A ve D noktaları arasındaki bir doğru ile C noktasındaki bir açının benzerlik için kullanıldığı anlamına gelir.
En yaygın senaryo:
Ağaç A'da. B A'nın tam karşısı. C B'den \( 30 \)m ileride. D C'den AB'ye paralel bir doğru üzerinde \( 20 \)m ileride.
Bu durumda, \( \triangle ABC \) ve \( \triangle EDC \) (E noktası AD ve BC'nin kesişimi) benzerliği kurulur.
Ancak soruda \( m(\angle DAC) = m(\angle ABC) \) denmesi önemli.
Eğer \( m(\angle ABC) = 90^\circ \) ise, o zaman \( m(\angle DAC) = 90^\circ \) olur.
Bu durumda \( \triangle ABC \) ve \( \triangle CAD \) üçgenleri arasında benzerlik arayalım.
\( m(\angle ABC) = 90^\circ \)
\( m(\angle DAC) = 90^\circ \)
C açısı her iki üçgen için de ortak açıdır (\( m(\angle ACB) = m(\angle DCA) \)).
Bu durumda, A.A. Benzerlik Kuralı'na göre \( \triangle ABC \sim \triangle DAC \) olur. (Bu durumda D noktası AC'nin üzerinde olamaz, farklı bir yerdedir).

👉 Adım 3: Verilenleri listeleyelim ve oranları kuralım.

AB = Nehrin genişliği (aranan \( x \))
BC = \( 30 \) m
CD = \( 20 \) m (Bu CD, \( \triangle DAC \) üçgeninin bir kenarıdır)
Benzerlik: \( \triangle ABC \sim \triangle DAC \)
Karşılıklı kenarların oranları: \( \frac{AB}{DA} = \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{DC} \)
Buradan, \( \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{DC} \) oranını kullanarak AC'yi bulalım:
\( \frac{30}{AC} = \frac{AC}{20} \)
\( AC^2 = 30 \cdot 20 \)
\( AC^2 = 600 \)
\( AC = \sqrt{600} = \sqrt{100 \cdot 6} = 10\sqrt{6} \) m
Şimdi nehrin genişliği AB'yi bulmak için \( \frac{AB}{DA} = \frac{AC}{DC} \) veya \( \frac{AB}{DA} = \frac{BC}{AC} \) oranını kullanmalıyız. Ancak DA uzunluğunu bilmiyoruz.
Daha basit bir oran: \( \frac{AB}{AC} = \frac{BC}{DC} \) (Yanlış. Karşılıklı kenarların doğru eşleşmesi önemli.)
Doğru eşleşme: \( \frac{AB}{DA} = \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{DC} \)
İlk ve son oranı kullanalım: \( \frac{AB}{DA} = \frac{AC}{DC} \)
\( \frac{x}{DA} = \frac{10\sqrt{6}}{20} \)
\( \frac{x}{DA} = \frac{\sqrt{6}}{2} \)
Buradan DA'yı bilmeden x'i bulamayız.
Pisagor Teoremi'ni kullanalım: \( \triangle ABC \) bir dik üçgen (B açısı \( 90^\circ \)).
\( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)
\( x^2 + 30^2 = (10\sqrt{6})^2 \)
\( x^2 + 900 = 600 \)
\( x^2 = 600 - 900 = -300 \)
Bu sonuç, sorunun verilenlerinde bir çelişki olduğunu gösterir. Bir uzunluğun karesi negatif olamaz.

👉 Adım 4: Sorunun en olası ve klasik yorumuyla çözelim (Sorunun metni hatalı olabilir).

Ağaç A noktasında. B noktası A'nın tam karşısı. B'den nehir kenarı boyunca C noktasına \( 30 \) m ilerlenir. C noktasından, AB'ye paralel olacak şekilde D noktasına \( 20 \) m ilerlenir. Bu durumda \( CD // AB \).
Şimdi \( \triangle ABC \) ve \( \triangle EDC \) (E noktası AD ve BC'nin kesişimi) veya daha basiti, A noktasından CD'ye dik bir E noktası çizilirse, \( \triangle ABC \) ve \( \triangle ADE \) benzerliği.
Ancak soruda \( m(\angle DAC) = m(\angle ABC) \) deniyor.
Bu tür "nehir genişliği" sorularında genellikle iki dik üçgen ve iki ortak açı bulunur:
A noktası karşıda, B noktası tam karşısı, C noktası B'den \( 30 \)m uzakta.
C noktasından, AC'ye dik değil, AB'ye paralel olacak şekilde bir D noktası belirlenir ve CD = \( 20 \)m ölçülür.
Bu durumda \( \triangle ABC \) ve \( \triangle EDC \) (AD ve BC'nin kesişim noktası E olsun) benzerliği kurulur.
VEYA, Tales Teoremi'nin uygulaması:
Ağaç A'da. B A'nın karşısı. B'den C'ye \( 30 \)m. C'den bir D noktası belirlenir. Bu D noktası, B, C, D doğrusal olabilir.
Ve bir E noktası belirlenir ki, \( AE // BD \).
Sorunun orijinal ifadesinde bir hata var gibi görünüyor. "DAC açısı ile ABC açısının aynı olduğu gözlemleniyor" ve "AC doğru parçasına dik olacak şekilde bir D noktası belirler" ifadeleri çelişki yaratıyor.
En olası senaryo (Klasik nehir problemi):
Ağaç A noktasında. B noktası A'nın tam karşısı (AB nehrin genişliği).
B noktasından nehir kıyısı boyunca \( 30 \) metre C noktasına ilerlenir.
C noktasından, AB'ye dik olacak şekilde bir D noktası belirlenir ve CD = \( 20 \) metre ölçülür.
A, C ve D noktaları doğrusal ise, yani A, C, D bir doğru üzerinde ise.
Bu durumda \( \triangle ABC \) ve \( \triangle DBC \) benzerliği kuramayız.
Farklı bir yorum:
\( \triangle ABC \) (AB nehrin genişliği, BC nehir boyunca uzaklık)
\( \triangle EDC \) (D noktası C'den ölçülen bir nokta, E noktası AB'ye paralel çizilen bir doğru üzerindeki nokta)
Eğer \( m(\angle ABC) = 90^\circ \) ve \( m(\angle CDE) = 90^\circ \) ise (C'den AB'ye paralel bir doğruya dik inilmiş gibi).
Ve C açısı ortak ise (\( m(\angle ACB) = m(\angle ECD) \), ters açılar).
Bu durumda A.A. Benzerlik Kuralı geçerlidir.
Verilenler: BC = \( 30 \) m. CD = \( 20 \) m.
Bu yorumla bile "DAC açısı ile ABC açısının aynı olduğu gözlemleniyor" ifadesi hala anlamsız kalıyor.
En mantıklı düzeltme ve çözüm:
Ağaç A noktasında. B noktası A'nın tam karşısı.
B noktasından nehir kıyısı boyunca \( 30 \) metre C noktasına ilerlenir.
C noktasından, AB'ye paralel bir doğru üzerinde bir D noktası belirlenir ve CD = \( 20 \) metre ölçülür.
AD ve BC doğrularının kesiştiği nokta E olsun.
Bu durumda \( \triangle ABE \) ve \( \triangle DCE \) üçgenleri oluşur.
\( AB // CD \) olduğu için:
\( m(\angle BAE) = m(\angle CDE) \) (iç ters açılar)
\( m(\angle ABE) = m(\angle DCE) \) (iç ters açılar)
\( m(\angle AEB) = m(\angle DEC) \) (ters açılar)
Yani \( \triangle ABE \sim \triangle DCE \) dir. A.A. Benzerlik Kuralı geçerlidir.
Burada AB nehrin genişliği (\( x \)).
Ancak bu durumda C noktası B ile E arasında kalır, bu da \( BC = 30 \)m ile çelişir.

Sorunun en klasik ve doğru yorumu (metin hatalarını göz ardı ederek):
Ağaç A'da. B A'nın tam karşısı.
B'den C'ye \( 30 \) m ilerlenir.
C noktasından, AB'ye paralel bir CD doğrusu çizilir ve D noktasında durulur (CD = \( 20 \) m).
A, C, D noktaları doğrusal değildir.
Düzeltilmiş ve Çözülen Senaryo:
Ağaç A noktasında. B noktası A'nın tam karşısı. Nehrin genişliği AB = \( x \).
B'den nehir kenarı boyunca \( 30 \) metre C noktasına ilerlenir.
C noktasından, AB'ye dik olacak şekilde (nehir kenarına paralel değil) bir D noktasına \( 20 \) metre ilerlenir.
Yani \( m(\angle B) = 90^\circ \) (\( AB \perp BC \)).
Ve \( m(\angle C) = 90^\circ \) (\( BC \perp CD \)).
Şimdi A, D noktalarını birleştirirsek, \( \triangle ABC \) ve \( \triangle BCD \) üçgenleri oluşur.
Sorudaki "DAC açısı ile ABC açısının aynı olduğu gözlemleniyor" ifadesini:
\( m(\angle CAB) = m(\angle CDB) \) olarak yorumlarsak, bu durumda A.A. Benzerlik Kuralı'nı kullanabiliriz.
Yani, \( \triangle ABC \sim \triangle BDC \) (B açısı 90, C açısı 90, ve A ve D açıları eşit).
Verilenler: BC = \( 30 \) m, CD = \( 20 \) m. AB = \( x \).
Benzerlik oranları: \( \frac{AB}{BD} = \frac{BC}{DC} = \frac{AC}{BC} \)
\( \frac{x}{BD} = \frac{30}{20} = \frac{AC}{30} \)
Önce \( \frac{30}{20} \) oranını sadeleştirelim: \( \frac{3}{2} \).
Şimdi \( \frac{x}{BD} = \frac{3}{2} \) ve \( \frac{AC}{30} = \frac{3}{2} \)
AC uzunluğunu bulalım: \( 2 \cdot AC = 3 \cdot 30 \implies AC = 45 \) m.
\( \triangle ABC \) bir dik üçgen olduğundan (B'de \( 90^\circ \)):
\( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)
\( x^2 + 30^2 = 45^2 \)
\( x^2 + 900 = 2025 \)
\( x^2 = 2025 - 900 \)
\( x^2 = 1125 \)
\( x = \sqrt{1125} = \sqrt{225 \cdot 5} = 15\sqrt{5} \) metre.
Bu çözüm, sorudaki metin hatalarını en makul şekilde düzelterek yapılmıştır.
Kullanılan asgari benzerlik koşulu: A.A. Benzerlik Kuralı.

✅ Sonuç: Nehrin genişliği \( 15\sqrt{5} \) metredir. Bu hesaplamada A.A. Benzerlik Kuralı kullanılmıştır.

Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun

https://www.cepokul.com/sinav/9-sinif-matematik-iki-ucgenin-es-veya-benzer-olmasi-icin-gerekli-olan-asgari-kosullarla-ilgili-cikarim-yapabilme/sorular

💡 9. Sınıf Matematik: İki Üçgenin Eş Veya Benzer Olması İçin Gerekli Olan Asgari Koşullarla İlgili Çıkarım Yapabilme Çözümlü Sorular

9. Sınıf Matematik: İki Üçgenin Eş Veya Benzer Olması İçin Gerekli Olan Asgari Koşullarla İlgili Çıkarım Yapabilme Çözümlü Sorular

İçerik Hazırlanıyor...