🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Karekök işlemleri Çözümlü Sorular
9. Sınıf Matematik: Karekök işlemleri Çözümlü Sorular
Soru 1:
📌 Temel Karekök Çıkarma: Aşağıdaki kareköklü ifadenin değerini bulunuz.
\[ \sqrt{144} \]
\[ \sqrt{144} \]
Çözüm:
- 💡 İpucu: Hangi sayının kendisi ile çarpımı 144 eder sorusunu sorarak işe başlayalım.
- 👉 \( 12 \times 12 = 144 \) olduğundan, karekök dışına çıkarma işlemi yapılır.
- ✅ Sonuç olarak, \( \sqrt{144} = 12 \) olarak bulunur.
Soru 2:
📌 Kök Dışına Çıkarma: \( \sqrt{75} \) ifadesini \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazınız.
Çözüm:
- 💡 İpucu: Sayıyı biri tam kare olan iki pozitif tam sayının çarpımı şeklinde yazmalıyız.
- 👉 \( 75 = 25 \times 3 \) olarak çarpanlarına ayrılır. Burada 25 sayısı tam kare bir sayıdır.
- 👉 \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} \) şeklinde yazılır.
- ✅ \( \sqrt{25} = 5 \) olduğundan, ifade \( 5\sqrt{3} \) haline gelir.
Soru 3:
📌 Köklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma: İşleminin sonucunu bulunuz.
\[ \sqrt{48} + \sqrt{27} - \sqrt{12} \]
\[ \sqrt{48} + \sqrt{27} - \sqrt{12} \]
Çözüm:
- 💡 İpucu: Toplama ve çıkarma yapabilmek için kök içindeki sayıların aynı olması gerekir.
- 👉 Her bir ifadeyi \( a\sqrt{b} \) biçiminde düzenleyelim:
- 👉 \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} \)
- 👉 \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} \)
- 👉 \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \)
- 👉 Şimdi işlemleri birleştirelim: \( 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \)
- ✅ Katsayıları toplayıp çıkarırsak: \( (4 + 3 - 2)\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \) bulunur.
Soru 4:
📌 Köklü Sayılarda Çarpma: İşleminin sonucunu bulunuz.
\[ 2\sqrt{5} \times 3\sqrt{10} \]
\[ 2\sqrt{5} \times 3\sqrt{10} \]
Çözüm:
- 💡 İpucu: Katsayılar kendi arasında, kök içindeki sayılar kendi arasında çarpılır.
- 👉 Katsayıların çarpımı: \( 2 \times 3 = 6 \)
- 👉 Kök içindekilerin çarpımı: \( \sqrt{5} \times \sqrt{10} = \sqrt{5 \times 10} = \sqrt{50} \)
- 👉 Çarpım durumu: \( 6\sqrt{50} \)
- 👉 \( \sqrt{50} \) ifadesini dışarı çıkaralım: \( \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \)
- ✅ Sonucu katsayı ile çarpalım: \( 6 \times 5\sqrt{2} = 30\sqrt{2} \)
Soru 5:
📌 Paydayı Kökten Kurtarma: İfadesini en sade haline getiriniz.
\[ \frac{12}{\sqrt{3}} \]
\[ \frac{12}{\sqrt{3}} \]
Çözüm:
- 💡 İpucu: Paydayı rasyonel yapmak için pay ve payda paydayı veren köklü ifade ile çarpılır.
- 👉 Kesrin pay ve paydasını \( \sqrt{3} \) ile genişletelim:
- 👉 Pay: \( 12 \times \sqrt{3} = 12\sqrt{3} \)
- 👉 Payda: \( \sqrt{3} \times \sqrt{3} = \sqrt{9} = 3 \)
- 👉 İfade şu şekle gelir: \( \frac{12\sqrt{3}}{3} \)
- ✅ Sadeleştirme yapılırsa: \( 4\sqrt{3} \) bulunur.
Soru 6:
📌 Alan Hesabı ve Karekök: Alanı \( 98 \) metrekare olan kare şeklindeki bir bahçenin bir kenar uzunluğunu metre cinsinden bulunuz.
Çözüm:
- 💡 İpucu: Karenin alanı bir kenarının uzunluğunun karesine eşittir. Bu nedenle alanı kök içine alarak kenarı buluruz.
- 👉 Kenar uzunluğu \( x \) olsun. \( x^2 = 98 \) ise \( x = \sqrt{98} \) olur.
- 👉 \( 98 \) sayısını çarpanlarına ayıralım: \( 98 = 49 \times 2 \)
- 👉 \( \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} \)
- ✅ Karenin bir kenarı \( 7\sqrt{2} \) metre olarak bulunur.
Soru 7:
📌 Günlük Hayat - Merdiven Basamağı: Yerden yüksekliği \( \sqrt{180} \) metre olan bir duvarın boyasız kısmını tamamlamak isteyen bir usta, uzunluğu \( \sqrt{20} \) metre olan merdiveni duvara dayıyor. Merdivenin duvara ulaştığı net dikey mesafenin kaç metre olduğunu hesaplayınız.
Çözüm:
- 💡 İpucu: Verilen köklü sayıları en sade biçime getirerek işlem yapmalıyız.
- 👉 Duvarın yüksekliği: \( \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5} \) metre.
- 👉 Merdivenin boyu: \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \) metre.
- 👉 Dikey mesafe farkı: \( 6\sqrt{5} - 2\sqrt{5} \)
- ✅ Çıkarma işlemi sonucunda kalan dikey mesafe \( 4\sqrt{5} \) metre olarak hesaplanır.
Soru 8:
📌 Sayı Doğrusu ve Tahmin: Kenar uzunlukları verilen bir dikdörtgenin çevresi için \( \sqrt{200} \) birim ip kullanılacaktır. İpin tam olarak hangi iki ardışık doğal sayı arasında olduğunu bulunuz.
Çözüm:
- 💡 İpucu: Verilen kareköklü ifadenin hangi iki tam kare sayı arasında olduğunu bulmalıyız.
- 👉 İp uzunluğu: \( \sqrt{200} \) birimdir.
- 👉 200 sayısından küçük en büyük tam kare sayı 196 (\( 14^2 = 196 \))dir.
- 👉 200 sayısından büyük en küçük tam kare sayı 225 (\( 15^2 = 225 \))tir.
- 👉 Bu durumda eşitsizlik yazılır: \( 196 < 200 < 225 \)
- 👉 Karekökleri alırsak: \( \sqrt{196} < \sqrt{200} < \sqrt{225} \)
- ✅ Buradan \( 14 < \sqrt{200} < 15 \) elde edilir. Yani bu değer 14 ile 15 arasındadır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/9-sinif-matematik-karekok-islemleri/sorular