🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Kümelerde tümleme ve evrensel küme Çözümlü Sorular
9. Sınıf Matematik: Kümelerde tümleme ve evrensel küme Çözümlü Sorular
Soru 1:
📌 Evrensel küme \( E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \) olarak veriliyor. Bu evrensel kümenin bir alt kümesi olan \( A = \{2, 4, 6, 8\} \) kümesinin tümleyeni olan \( A' \) kümesini bulunuz.
Çözüm:
💡 Çözüm Adımları:
- 1. Adım: Evrensel küme \( E \)'deki tüm elemanları belirleyelim.
- 2. Adım: \( A \) kümesinde bulunan elemanları \( E \) kümesinden çıkaralım (çünkü tümleme işlemi, evrensel kümede olup \( A \)'da olmayan elemanları bulmaktır).
- \( E \) kümesinde olup \( A \) kümesinde olmayan elemanlar: \( 1, 3, 5, 7, 9 \) sayılarıdır.
- ✅ Sonuç olarak \( A' = \{1, 3, 5, 7, 9\} \) olarak bulunur.
Soru 2:
📌 Bir \( E \) evrensel kümesi ve bu kümenin bir \( B \) alt kümesi için \( s(E) = 15 \) ve \( s(B') = 4 \) olduğuna göre, \( s(B) \) değerini hesaplayınız.
Çözüm:
💡 Çözüm Adımları:
- 1. Adım: Kümelerde tümleme kuralını hatırlayalım. Bir kümenin eleman sayısı ile o kümenin tümleyeninin eleman sayısı toplamı evrensel kümenin eleman sayısını verir. Yani formulümüz \( s(B) + s(B') = s(E) \) şeklindedir.
- 2. Adım: Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( s(B) + 4 = 15 \)
- 3. Adım: Denklemi çözerek \( s(B) \) değerini yalnız bırakalım: \( s(B) = 15 - 4 \)
- ✅ Buradan \( s(B) = 11 \) olarak bulunur.
Soru 3:
📌 \( E = \{a, b, c, d, e, f, g\} \) evrensel kümesi veriliyor. \( A = \{a, b, c\} \) ve \( B = \{c, d, e\} \) olduğuna göre, \( (A \cup B)' \) kümesini liste yöntemiyle yazınız.
Çözüm:
💡 Çözüm Adımları:
- 1. Adım: İlk önce parantez içindeki işlem olan \( A \cup B \) (birleşim) kümesini bulalım. İki kümenin elemanlarını birleştirelim: \( A \cup B = \{a, b, c, d, e\} \)
- 2. Adım: Şimdi bu birleşim kümesinin evrensel küçeye göre tümleyeni olan \( (A \cup B)' \) kümesini bulmak için \( E \) kümesinden bu elemanları çıkaralım.
- \( E \) kümesinde olup \( \{a, b, c, d, e\} \) kümesinde olmayan elemanlar \( f \) ve \( g \) harfleridir.
- ✅ Sonuç olarak \( (A \cup B)' = \{f, g\} \) elde edilir.
Soru 4:
📌 De Morgan kurallarından biri olan \( (A \cap B)' = A' \cup B' \) kuralını doğrulamak için; \( E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \), \( A = \{1, 2, 3\} \) ve \( B = \{2, 3, 4\} \) kümeleri veriliyor. Sol taraf olan \( (A \cap B)' \) kümesini hesaplayınız.
Çözüm:
💡 Çözüm Adımları:
- 1. Adım: Önce \( A \) ve \( B \) kümelerinin kesişimi olan \( A \cap B \) kümesini bulalım. İki kümede ortak olan elemanlar \( 2 \) ve \( 3 \) numaralardır. Yani \( A \cap B = \{2, 3\} \).
- 2. Adım: Şimdi bu kesişim kümesinin evrensel kümedeki tümleyenini, yani \( (A \cap B)' \) kümesini bulalım.
- 3. Adım: Evrensel küme \( E \)'den \( \{2, 3\} \) elemanlarını çıkardığımızda geriye kalan elemanlar \( 1, 4, 5, 6 \) olur.
- ✅ Sonuç olarak \( (A \cap B)' = \{1, 4, 5, 6\} \) olarak bulunur.
Soru 5:
🛒 Bir süpermarkette satılan tüm ürünlerin evrensel kümesi \( E \) olsun. Bu markette satılan "meyve" türündeki ürünlerin kümesi \( M \) ile gösterilmektedir. Süpermarkette meyve kategorisinde olmayan tüm diğer ürünleri almak isteyen bir müşteri, aslında hangi kümeye ait ürünleri incelemektedir? Açıklayınız.
Çözüm:
💡 Çözüm Adımları:
- 1. Adım: Günlük hayatta bir özelliğin "olmayanı" veya "dışındakiler" ifadesi matematiksel olarak tümleme kavramına karşılık gelir.
- 2. Adım: Evrensel küme marketteki tüm ürünleri temsil ederken, \( M \) kümesi sadece meyveleri temsil etmektedir.
- 3. Adım: Meyve kategorisinde olmayan ürünler demek, \( M \) kümesinin evrensel kümedeki tümleyeni demektir.
- ✅ Bu müşteri, sebze, temizlik ürçesi, atıştırmalık vb. tüm meyve dışı ürünleri içeren \( M' \) (M'nin tümleyeni) kümesindeki ürünleri incelemektedir.
Soru 6:
🏫 Bir okulun 9. sınıf öğrencilerinin tamamı evrensel küme \( E \) kadardır. Bu okulda futbol oynamasını bilen öğrencilerin kümesi \( F \) dir. Futbol oynamasını bilmeyen 9. sınıf öğrencileri okulun folklor kulübüne yönlendirilecektir. Folklor kulübüne gidecek öğrencilerin kümesini kümeler diliyle ifade ediniz.
Çözüm:
💡 Çözüm Adımları:
- 1. Adım: Okuldaki tüm 9. sınıf öğrencileri \( E \) (evrensel küme) olarak belirlenmiştir.
- 2. Adım: Futbol bilenler \( F \) kümesiyse, futbol bilmeyenler bu kümenin dışındaki öğrencilerdir.
- 3. Adım: Bir kümenin dışındakiler o kümenin tümleyeni ile ifade edildiği için futbol bilmeyenler \( F' \) kümesidir.
- ✅ Folklor kulübüne yönlendirilecek olan öğrenciler, futbol oynamayı bilmeyenler yani \( F' \) kümesindeki öğrencilerdir.
Soru 7:
🎯 Bir dijital kütüphane sisteminde toplam 50 adet farklı e-kitap bulunmaktadır (\( s(E) = 50 \)). Tarih kategorisindeki e-kitapların kümesi \( T \) ve edebiyat kategorisindeki e-kitapların kümesi \( D \) dir. Bu kütüphanede ne tarih ne de edebiyat kategorisinde olmayan 12 adet e-kitap bulunduğu bilindiğine göre, tarih veya edebiyat kategorisinde yer alan e-kitapların sayısı kaç tanedir?
Çözüm:
💡 Çözüm Adımları:
- 1. Adım: "Ne tarih ne de edebiyat kategorisinde olmayan" ifadesi, bu iki kategorinin birleşiminin dışı, yani tümleyeni anlamına gelir. Matematiksel olarak bu küme \( (T \cup D)' \) şeklindedir ve eleman sayısı 12'dir (\( s((T \cup D)') = 12 \)).
- 2. Adım: Evrensel kümenin eleman sayısı \( s(E) = 50 \) olarak verilmiştir.
- 3. Adım: Bir kümenin eleman sayısı ile tümleyeninin eleman sayısı toplamı evrensel kümeyi verir: \( s(T \cup D) + s((T \cup D)') = s(E) \)
- 4. Adım: Değerleri yerine koyalım: \( s(T \cup D) + 12 = 50 \)
- ✅ Buradan \( s(T \cup D) = 50 - 12 = 38 \) olarak bulunur. Tarih veya edebiyat kategorisindeki kitap sayısı 38'dir.
Soru 8:
🎯 Boş kümeden ve evrensel kümeden farklı bir \( K \) kümesi için \( K \cup K' \) ve \( K \cap K' \) işlemlerinin sonucunu sırasıyla yazınız ve bu sonuçların nedenini mantıksal olarak açıklayınız.
Çözüm:
💡 Çözüm Adımları:
- 1. Adım: Birinci işlem olan \( K \cup K' \) (K kümesi ile K'nın tümleyeninin birleşimi) ifadesini inceleyelim. \( K \) kümesi ile onun dışındakilerin birleşimi bize tüm evrensel kümeyi verir. Yani \( K \cup K' = E \) olur.
- 2. Adım: İkinci işlem olan \( K \cap K' \) (K kümesi ile K'nın tümleyeninin kesişimi) ifadesini inceleyelim. Bir eleman aynı anda hem bir kümenin içinde hem de o kümenin dışında olamayacağı için bu iki kümenin ortak elemanı yoktur. Yani kesişimleri boş kümedir. \( K \cap K' = \emptyset \) olur.
- ✅ Sonuç olarak \( K \cup K' = E \) ve \( K \cap K' = \emptyset \) olarak bulunur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/9-sinif-matematik-kumelerde-tumleme-ve-evrensel-kume/sorular