🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Pisagor teoremi Çözümlü Sorular
9. Sınıf Matematik: Pisagor teoremi Çözümlü Sorular
Soru 1:
Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor teoremini kullanacağız. Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Burada 'a' ve 'b' dik kenar uzunlukları, 'c' ise hipotenüs uzunluğudur.
- Verilen dik kenar uzunlukları: \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm.
- Teoremi uygulayalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- Hipotenüs uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( c = 10 \) cm
Soru 2:
Hipotenüsü 13 cm ve bir dik kenarı 5 cm olan dik üçgenin diğer dik kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Yine Pisagor teoremini kullanarak eksik kenar uzunluğunu bulacağız.
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Verilenler: Hipotenüs \( c = 13 \) cm ve bir dik kenar \( a = 5 \) cm. Diğer dik kenarı \( b \) bulacağız.
- Formülde yerine koyalım: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 + b^2 = 169 \)
- \( b^2 \) terimini yalnız bırakalım: \( b^2 = 169 - 25 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 144 \)
- Diğer dik kenarı bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{144} \)
- Sonuç: \( b = 12 \) cm
Soru 3:
Bir bahçenin köşesine yerleştirilen 5 metre uzunluğundaki bir merdiven, bahçenin duvarına dayanmıştır. Merdivenin alt ucunun duvardan uzaklığı 3 metre olduğuna göre, merdivenin dayandığı duvarın yüksekliği kaç metredir? 🪜
Çözüm:
Bu durumu bir dik üçgen olarak düşünebiliriz. Merdiven hipotenüs, duvar yükseklik ve zemin uzaklığı dik kenarlardır.
- Dik Üçgen Modellemesi:
- Merdiven uzunluğu (hipotenüs): \( c = 5 \) metre
- Zemine uzaklık (bir dik kenar): \( a = 3 \) metre
- Duvar yüksekliği (diğer dik kenar): \( b = ? \)
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 3^2 + b^2 = 5^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 9 + b^2 = 25 \)
- \( b^2 \) terimini yalnız bırakalım: \( b^2 = 25 - 9 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 16 \)
- Duvar yüksekliğini bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{16} \)
- Sonuç: \( b = 4 \) metre
Soru 4:
Bir televizyonun ekran boyutu, köşegen uzunluğu ile ifade edilir. Eğer bir televizyonun genişliği 48 cm ve yüksekliği 36 cm ise, bu televizyonun ekran boyutu (köşegen uzunluğu) kaç cm'dir? 📺
Çözüm:
Televizyon ekranı bir dikdörtgendir. Köşegen, bu dikdörtgenin hipotenüsü olurken, genişlik ve yükseklik dik kenarlar olur.
- Dik Üçgen Oluşturma:
- Genişlik (bir dik kenar): \( a = 48 \) cm
- Yükseklik (diğer dik kenar): \( b = 36 \) cm
- Köşegen uzunluğu (hipotenüs): \( c = ? \)
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 48^2 + 36^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 2304 + 1296 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 3600 = c^2 \)
- Köşegen uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{3600} \)
- Sonuç: \( c = 60 \) cm
Soru 5:
Bir dik üçgenin kenar uzunlukları ardışık tam sayılardır. Bu üçgenin en kısa kenar uzunluğu kaç cm'dir? 🔢
Çözüm:
Kenar uzunlukları ardışık tam sayılar olduğundan, onları \( x \), \( x+1 \) ve \( x+2 \) olarak ifade edebiliriz. En uzun kenar her zaman hipotenüs olacağından \( x+2 \) olur.
- Kenar Uzunlukları:
- En kısa dik kenar: \( x \)
- Diğer dik kenar: \( x+1 \)
- Hipotenüs: \( x+2 \)
- Pisagor Teoremi: \( (\text{dik kenar 1})^2 + (\text{dik kenar 2})^2 = (\text{hipotenüs})^2 \)
- Formülde yerine koyalım: \( x^2 + (x+1)^2 = (x+2)^2 \)
- Parantezli ifadelerin karelerini açalım:
- \( (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \)
- \( (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \)
- Denklemi yeniden yazalım: \( x^2 + (x^2 + 2x + 1) = x^2 + 4x + 4 \)
- Denklemi sadeleştirelim: \( 2x^2 + 2x + 1 = x^2 + 4x + 4 \)
- Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: \( 2x^2 - x^2 + 2x - 4x + 1 - 4 = 0 \)
- Sadeleştirilmiş denklem: \( x^2 - 2x - 3 = 0 \)
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: \( (x-3)(x+1) = 0 \)
- Buradan iki olası \( x \) değeri buluruz: \( x = 3 \) veya \( x = -1 \).
- Kenar uzunlukları pozitif olmalıdır, bu yüzden \( x = 3 \) değerini alırız.
Soru 6:
Bir harita üzerinde A, B ve C noktaları işaretlenmiştir. A noktasından B noktasına olan uzaklık 12 km'dir. B noktasından C noktasına olan uzaklık 5 km'dir. A, B ve C noktaları bir dik üçgen oluşturmaktadır ve B açısı 90 derecedir. A noktasından C noktasına olan en kısa kuş uçuşu mesafeyi bulunuz. 🗺️
Çözüm:
Bu problemde B açısının 90 derece olması, AB ve BC kenarlarının dik kenarlar olduğunu gösterir. AC ise hipotenüstür.
- Dik Üçgen Tanımlama:
- Dik kenar AB: \( a = 12 \) km
- Dik kenar BC: \( b = 5 \) km
- Hipotenüs AC: \( c = ? \)
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri formüle yerleştirelim: \( 12^2 + 5^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 144 + 25 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 169 = c^2 \)
- Hipotenüs uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{169} \)
- Sonuç: \( c = 13 \) km
Soru 7:
Bir çiftçi, tarlasının bir köşesinden karşı köşesine doğru çapraz bir yol yapmak istiyor. Tarlasının eni 90 metre ve boyu 120 metre olduğuna göre, bu çapraz yolun uzunluğu kaç metre olmalıdır? 🚜
Çözüm:
Tarlanın eni ve boyu, bir dikdörtgenin dik kenarlarını oluşturur. Çapraz yol ise bu dikdörtgenin köşegenidir, yani hipotenüstür.
- Dik Üçgen Oluşturma:
- Tarlanın eni (bir dik kenar): \( a = 90 \) metre
- Tarlanın boyu (diğer dik kenar): \( b = 120 \) metre
- Çapraz yolun uzunluğu (hipotenüs): \( c = ? \)
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri formüle yerleştirelim: \( 90^2 + 120^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 8100 + 14400 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 22500 = c^2 \)
- Çapraz yolun uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{22500} \)
- Sonuç: \( c = 150 \) metre
Soru 8:
Bir dik üçgenin hipotenüsü 17 cm'dir. Dik kenarlarından biri 8 cm olduğuna göre, diğer dik kenarın uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soruda da Pisagor teoremini kullanacağız.
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Verilenler: Hipotenüs \( c = 17 \) cm ve bir dik kenar \( a = 8 \) cm. Diğer dik kenarı \( b \) bulacağız.
- Formülde yerine koyalım: \( 8^2 + b^2 = 17^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 64 + b^2 = 289 \)
- \( b^2 \) terimini yalnız bırakalım: \( b^2 = 289 - 64 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 225 \)
- Diğer dik kenarı bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{225} \)
- Sonuç: \( b = 15 \) cm
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/9-sinif-matematik-pisagor-teoremi/sorular