🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Tales, Öklid Ve Pisagor Teoremi Çözümlü Sorular
9. Sınıf Matematik: Tales, Öklid Ve Pisagor Teoremi Çözümlü Sorular
Soru 1:
Bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunlukları \( 6 \text{ cm} \) ve \( 8 \text{ cm} \) ise, bu üçgenin hipotenüsünün uzunluğu kaç santimetredir? 🤔
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. 💡
Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir.
Bu durumda, hipotenüsün uzunluğu \( 10 \text{ cm} \)'dir. ✅
Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir.
- 👉 Dik kenarlar \( a = 6 \text{ cm} \) ve \( b = 8 \text{ cm} \) olarak verilmiş.
- 👉 Hipotenüsü \( c \) ile gösterelim.
- ✅ Pisagor Teoremi formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Şimdi verilen değerleri formülde yerine yazalım:
- \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- \( 36 + 64 = c^2 \)
- \( 100 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım:
- \( \sqrt{100} = \sqrt{c^2} \)
- \( c = 10 \)
Bu durumda, hipotenüsün uzunluğu \( 10 \text{ cm} \)'dir. ✅
Soru 2:
Aşağıda verilen bilgilere göre bir üçgen düşünün:
Bir ABC üçgeninde A köşesi dik açıdır. A köşesinden BC kenarına indirilen dikmenin ayağı H'dir.
BH uzunluğu \( 4 \text{ cm} \), HC uzunluğu \( 9 \text{ cm} \) olduğuna göre, AH yüksekliğinin uzunluğu kaç santimetredir? 📏
Bir ABC üçgeninde A köşesi dik açıdır. A köşesinden BC kenarına indirilen dikmenin ayağı H'dir.
BH uzunluğu \( 4 \text{ cm} \), HC uzunluğu \( 9 \text{ cm} \) olduğuna göre, AH yüksekliğinin uzunluğu kaç santimetredir? 📏
Çözüm:
Bu problemde Öklid Teoremi'nin yükseklik bağıntısını kullanacağız. 💡
Öklid Teoremi'ne göre, bir dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
Bu durumda, AH yüksekliğinin uzunluğu \( 6 \text{ cm} \)'dir. ✅
Öklid Teoremi'ne göre, bir dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
- 👉 Yükseklik \( AH = h \) olsun.
- 👉 Hipotenüs üzerindeki parçalar \( BH = p = 4 \text{ cm} \) ve \( HC = k = 9 \text{ cm} \).
- ✅ Öklid Yükseklik Bağıntısı formülü: \( h^2 = p \cdot k \)
- Şimdi verilen değerleri formülde yerine yazalım:
- \( h^2 = 4 \cdot 9 \)
- \( h^2 = 36 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım:
- \( \sqrt{h^2} = \sqrt{36} \)
- \( h = 6 \)
Bu durumda, AH yüksekliğinin uzunluğu \( 6 \text{ cm} \)'dir. ✅
Soru 3:
Bir ABCD yamuğunda AB kenarı DC kenarına paraleldir. AC köşegeni çizilmiştir.
E noktası AD kenarı üzerinde, F noktası AC köşegeni üzerinde ve G noktası BC kenarı üzerindedir.
EF doğru parçası DC'ye paraleldir ve FG doğru parçası AB'ye paraleldir.
AE uzunluğu \( 3 \text{ cm} \), ED uzunluğu \( 6 \text{ cm} \) ve DC uzunluğu \( 10 \text{ cm} \) olduğuna göre, EF uzunluğu kaç santimetredir? 🤔
E noktası AD kenarı üzerinde, F noktası AC köşegeni üzerinde ve G noktası BC kenarı üzerindedir.
EF doğru parçası DC'ye paraleldir ve FG doğru parçası AB'ye paraleldir.
AE uzunluğu \( 3 \text{ cm} \), ED uzunluğu \( 6 \text{ cm} \) ve DC uzunluğu \( 10 \text{ cm} \) olduğuna göre, EF uzunluğu kaç santimetredir? 🤔
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Tales Teoremi'ni (Temel Orantı Teoremi) ve benzer üçgenleri kullanacağız. 💡
Öncelikle ADC üçgenini inceleyelim. EF // DC olduğu için, Tales Teoremi'ne göre \( \triangle AEF \) ve \( \triangle ADC \) benzerdir.
Bu durumda, EF uzunluğu \( \frac{10}{3} \text{ cm} \)'dir. ✅
(Not: FG // AB bilgisi bu soruda EF'yi bulmak için doğrudan kullanılmamıştır, ancak yamuk ve Tales teoremi uygulamalarını pekiştirmek için verilmiştir.)
Öncelikle ADC üçgenini inceleyelim. EF // DC olduğu için, Tales Teoremi'ne göre \( \triangle AEF \) ve \( \triangle ADC \) benzerdir.
- 👉 \( AE = 3 \text{ cm} \) ve \( ED = 6 \text{ cm} \). Bu durumda \( AD = AE + ED = 3 + 6 = 9 \text{ cm} \).
- 👉 \( DC = 10 \text{ cm} \).
- ✅ Benzerlik oranı \( \frac{AE}{AD} = \frac{EF}{DC} \) şeklinde yazılır.
- Değerleri yerine yazalım: \( \frac{3}{9} = \frac{EF}{10} \)
- Oranı sadeleştirelim: \( \frac{1}{3} = \frac{EF}{10} \)
- Şimdi içler dışlar çarpımı yapalım: \( 3 \cdot EF = 1 \cdot 10 \)
- \( 3 \cdot EF = 10 \)
- \( EF = \frac{10}{3} \)
Bu durumda, EF uzunluğu \( \frac{10}{3} \text{ cm} \)'dir. ✅
(Not: FG // AB bilgisi bu soruda EF'yi bulmak için doğrudan kullanılmamıştır, ancak yamuk ve Tales teoremi uygulamalarını pekiştirmek için verilmiştir.)
Soru 4:
Bir inşaat alanında, devrilme tehlikesi olan bir direği sabitlemek için yere dikilen bir destek çubuğu kullanılıyor. Direğin yerden yüksekliği \( 12 \text{ metre} \) ve destek çubuğunun direğe bağlandığı nokta, direğin en üst noktasından \( 3 \text{ metre} \) aşağıdadır. Destek çubuğunun alt ucu, direğin tabanından \( 5 \text{ metre} \) uzağa sabitlenmiştir. Destek çubuğunun uzunluğu kaç metredir? 🏗️
Çözüm:
Bu problemde bir dik üçgen oluştuğunu ve Pisagor Teoremi'ni kullanabileceğimizi fark etmeliyiz. 💡
Destek çubuğunun uzunluğu \( \sqrt{106} \text{ metre} \)'dir. ✅
- 👉 Direğin toplam yüksekliği \( 12 \text{ metre} \).
- 👉 Destek çubuğunun direğe bağlandığı nokta, direğin en üst noktasından \( 3 \text{ metre} \) aşağıda. Bu durumda destek çubuğunun direğe bağlandığı noktanın yerden yüksekliği \( 12 - 3 = 9 \text{ metre} \) olur. Bu, dik üçgenin bir dik kenarıdır.
- 👉 Destek çubuğunun alt ucu, direğin tabanından \( 5 \text{ metre} \) uzağa sabitlenmiştir. Bu da dik üçgenin diğer dik kenarıdır.
- 👉 Destek çubuğunun uzunluğu, bu dik üçgenin hipotenüsüdür. Destek çubuğunun uzunluğunu \( x \) ile gösterelim.
- ✅ Pisagor Teoremi formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine yazalım: \( 9^2 + 5^2 = x^2 \)
- \( 81 + 25 = x^2 \)
- \( 106 = x^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( x = \sqrt{106} \)
Destek çubuğunun uzunluğu \( \sqrt{106} \text{ metre} \)'dir. ✅
Soru 5:
Bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu \( 13 \text{ cm} \)'dir. Dik kenarlarından birinin uzunluğu \( 5 \text{ cm} \) ise, diğer dik kenarının uzunluğu kaç santimetredir? 📐
Çözüm:
Yine Pisagor Teoremi'ni kullanarak bu problemi çözebiliriz. 💡
Bu durumda, diğer dik kenarın uzunluğu \( 12 \text{ cm} \)'dir. ✅
- 👉 Hipotenüs \( c = 13 \text{ cm} \).
- 👉 Dik kenarlardan biri \( a = 5 \text{ cm} \).
- 👉 Diğer dik kenarı \( b \) ile gösterelim.
- ✅ Pisagor Teoremi formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Şimdi verilen değerleri formülde yerine yazalım:
- \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
- \( 25 + b^2 = 169 \)
- \( b^2 = 169 - 25 \)
- \( b^2 = 144 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım:
- \( \sqrt{b^2} = \sqrt{144} \)
- \( b = 12 \)
Bu durumda, diğer dik kenarın uzunluğu \( 12 \text{ cm} \)'dir. ✅
Soru 6:
Bir ABC dik üçgeninde A açısı \( 90^\circ \)dir. A köşesinden hipotenüs BC'ye indirilen yükseklik AH'dir.
BH uzunluğu \( 2 \text{ cm} \) ve AB uzunluğu \( \sqrt{10} \text{ cm} \) olduğuna göre, HC uzunluğu kaç santimetredir? 📏
BH uzunluğu \( 2 \text{ cm} \) ve AB uzunluğu \( \sqrt{10} \text{ cm} \) olduğuna göre, HC uzunluğu kaç santimetredir? 📏
Çözüm:
Bu problemde Öklid Teoremi'nin dik kenar bağıntısını kullanacağız. 💡
Öklid Teoremi'ne göre, bir dik üçgende bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parçanın uzunluğu ile tüm hipotenüsün uzunluğunun çarpımına eşittir.
Bu durumda, HC uzunluğu \( 3 \text{ cm} \)'dir. ✅
Öklid Teoremi'ne göre, bir dik üçgende bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parçanın uzunluğu ile tüm hipotenüsün uzunluğunun çarpımına eşittir.
- 👉 Dik kenar \( AB = c = \sqrt{10} \text{ cm} \).
- 👉 Hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parça \( BH = p = 2 \text{ cm} \).
- 👉 Tüm hipotenüs \( BC = a \). \( BC = BH + HC = 2 + HC \).
- 👉 \( HC = k \) ile gösterelim. Yani \( a = p + k = 2 + k \).
- ✅ Öklid Dik Kenar Bağıntısı formülü: \( c^2 = p \cdot a \)
- Şimdi verilen değerleri formülde yerine yazalım:
- \( (\sqrt{10})^2 = 2 \cdot (2 + k) \)
- \( 10 = 2 \cdot (2 + k) \)
- Eşitliğin her iki tarafını \( 2 \)ye bölelim:
- \( \frac{10}{2} = 2 + k \)
- \( 5 = 2 + k \)
- \( k = 5 - 2 \)
- \( k = 3 \)
Bu durumda, HC uzunluğu \( 3 \text{ cm} \)'dir. ✅
Soru 7:
Bir ABC üçgeninde DE doğru parçası BC kenarına paraleldir. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerindedir.
AD uzunluğu \( 4 \text{ cm} \), DB uzunluğu \( 6 \text{ cm} \) ve AE uzunluğu \( 5 \text{ cm} \) olduğuna göre, EC uzunluğu kaç santimetredir? 📐
AD uzunluğu \( 4 \text{ cm} \), DB uzunluğu \( 6 \text{ cm} \) ve AE uzunluğu \( 5 \text{ cm} \) olduğuna göre, EC uzunluğu kaç santimetredir? 📐
Çözüm:
Bu problemde Tales Teoremi'nin (Temel Orantı Teoremi) birinci halini kullanacağız. 💡
DE // BC olduğu için, Tales Teoremi'ne göre üçgenin kenarları üzerinde orantılı parçalar oluşur.
Bu durumda, EC uzunluğu \( 7.5 \text{ cm} \)'dir. ✅
DE // BC olduğu için, Tales Teoremi'ne göre üçgenin kenarları üzerinde orantılı parçalar oluşur.
- 👉 \( AD = 4 \text{ cm} \).
- 👉 \( DB = 6 \text{ cm} \).
- 👉 \( AE = 5 \text{ cm} \).
- 👉 \( EC = x \) olsun.
- ✅ Tales Teoremi formülü: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)
- Değerleri yerine yazalım: \( \frac{4}{6} = \frac{5}{x} \)
- Oranı sadeleştirelim: \( \frac{2}{3} = \frac{5}{x} \)
- Şimdi içler dışlar çarpımı yapalım: \( 2 \cdot x = 3 \cdot 5 \)
- \( 2x = 15 \)
- \( x = \frac{15}{2} \)
- \( x = 7.5 \)
Bu durumda, EC uzunluğu \( 7.5 \text{ cm} \)'dir. ✅
Soru 8:
Bir mühendis, eğimli bir arazide yol yapımı için bir köprü tasarlıyor. Köprünün bir ayağı yerden \( 6 \text{ metre} \) yükseklikte, diğer ayağı ise yerden \( 10 \text{ metre} \) yükseklikte. İki ayak arasındaki yatay uzaklık \( 30 \text{ metre} \). Köprünün eğimli kısmının (yani iki ayağın üst noktalarını birleştiren kısmın) uzunluğu kaç metredir? Bu durumu hangi teoremle açıklarsınız? 🌉
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. 💡
Bu durum, bir dik üçgen oluşturularak modellenebilir.
Bu durumda, köprünün eğimli kısmının uzunluğu \( \sqrt{916} \text{ metre} \)'dir. Bu problemde Pisagor Teoremi kullanılmıştır. ✅
Bu durum, bir dik üçgen oluşturularak modellenebilir.
- 👉 İki ayak arasındaki yükseklik farkı: \( 10 \text{ metre} - 6 \text{ metre} = 4 \text{ metre} \). Bu, dik üçgenin bir dik kenarıdır.
- 👉 İki ayak arasındaki yatay uzaklık \( 30 \text{ metre} \). Bu da dik üçgenin diğer dik kenarıdır.
- 👉 Köprünün eğimli kısmı ise bu dik üçgenin hipotenüsüdür. Köprünün uzunluğunu \( L \) ile gösterelim.
- ✅ Pisagor Teoremi formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine yazalım: \( 4^2 + 30^2 = L^2 \)
- \( 16 + 900 = L^2 \)
- \( 916 = L^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( L = \sqrt{916} \)
Bu durumda, köprünün eğimli kısmının uzunluğu \( \sqrt{916} \text{ metre} \)'dir. Bu problemde Pisagor Teoremi kullanılmıştır. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/9-sinif-matematik-tales-oklid-ve-pisagor-teoremi/sorular