🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Thales, Öklid Ve Pisagor Teoremi Çözümlü Sorular
9. Sınıf Matematik: Thales, Öklid Ve Pisagor Teoremi Çözümlü Sorular
Soru 1:
💡 Birbirine paralel üç doğru, d1, d2 ve d3, iki kesen doğru tarafından kesilmektedir. Birinci kesen doğru üzerinde d1 ile d2 arasında kalan parça AB = 6 cm ve d2 ile d3 arasında kalan parça BC = 9 cm'dir. İkinci kesen doğru üzerinde d1 ile d2 arasında kalan parça DE = 4 cm olduğuna göre, d2 ile d3 arasında kalan EF parçasının uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Thales Teoremi'ne göre, paralel doğrular arasında kalan parçaların oranları birbirine eşittir. 👉 Yani:
- Birinci kesen üzerindeki parçaların oranı: \( \frac{AB}{BC} \)
- İkinci kesen üzerindeki parçaların oranı: \( \frac{DE}{EF} \)
- \[ \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \]
- Verilen değerleri yerine yazalım: \( \frac{6}{9} = \frac{4}{EF} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 6 \cdot EF = 9 \cdot 4 \)
- \( 6 \cdot EF = 36 \)
- Her iki tarafı 6'ya bölelim: \( EF = \frac{36}{6} \)
- ✅ Sonuç: \( EF = 6 \) cm'dir.
Soru 2:
📌 Bir ABC üçgeninde, DE doğru parçası BC kenarına paraleldir. (DE // BC).
AD = 5 cm, DB = 3 cm ve AE = 4 cm olduğuna göre, EC uzunluğu kaç cm'dir?
AD = 5 cm, DB = 3 cm ve AE = 4 cm olduğuna göre, EC uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu problemde, Thales Teoremi'nin üçgenlerdeki uygulaması olan Temel Orantı Teoremi'ni kullanacağız.
Bir üçgenin bir kenarına paralel çekilen doğru, diğer iki kenarı orantılı parçalara ayırır.
Bir üçgenin bir kenarına paralel çekilen doğru, diğer iki kenarı orantılı parçalara ayırır.
- Orantı kuralını yazalım: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)
- Verilen değerleri yerine yazalım: \( \frac{5}{3} = \frac{4}{EC} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 5 \cdot EC = 3 \cdot 4 \)
- \( 5 \cdot EC = 12 \)
- Her iki tarafı 5'e bölelim: \( EC = \frac{12}{5} \)
- ✅ Sonuç: \( EC = 2.4 \) cm'dir.
Soru 3:
💡 Bir dik üçgenin dik kenarlarından birinin uzunluğu 6 cm, diğer dik kenarının uzunluğu ise 8 cm'dir. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu problemde Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Dik kenarlar \(a\) ve \(b\), hipotenüs \(c\) olmak üzere formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
Dik kenarlar \(a\) ve \(b\), hipotenüs \(c\) olmak üzere formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Dik kenarları \(a = 6\) cm ve \(b = 8\) cm olarak alalım.
- Formülde yerine yazalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Karelerini alalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplayalım: \( 100 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- ✅ Sonuç: \( c = 10 \) cm'dir. (Bu, aynı zamanda 6-8-10 özel üçgenidir.)
Soru 4:
📌 Bir ABC dik üçgeninde, A köşesi dik açıdır (\( m(\hat{A}) = 90^\circ \)). A köşesinden hipotenüse indirilen dikmenin (yüksekliğin) ayağı H noktasıdır.
BH = 4 cm ve HC = 9 cm olduğuna göre, AH yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir?
BH = 4 cm ve HC = 9 cm olduğuna göre, AH yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu problemde Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanacağız.
Öklid Teoremi, bir dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin, hipotenüsü ayırdığı parçaların çarpımının kareköküne eşit olduğunu söyler. Formül: \( h^2 = p \cdot k \) (Burada \(h\) yükseklik, \(p\) ve \(k\) hipotenüs üzerindeki parçalardır).
Öklid Teoremi, bir dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin, hipotenüsü ayırdığı parçaların çarpımının kareköküne eşit olduğunu söyler. Formül: \( h^2 = p \cdot k \) (Burada \(h\) yükseklik, \(p\) ve \(k\) hipotenüs üzerindeki parçalardır).
- Hipotenüs üzerindeki parçalar \(p = BH = 4\) cm ve \(k = HC = 9\) cm'dir.
- Yükseklik \(AH = h\) olsun.
- Formülde yerine yazalım: \( AH^2 = BH \cdot HC \)
- \( AH^2 = 4 \cdot 9 \)
- \( AH^2 = 36 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( AH = \sqrt{36} \)
- ✅ Sonuç: \( AH = 6 \) cm'dir.
Soru 5:
📌 Yukarıdaki sorudaki ABC dik üçgeninde (\( m(\hat{A}) = 90^\circ \), AH dikme), BH = 4 cm ve HC = 9 cm olduğuna göre, AB kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu problemde Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanacağız.
Öklid Teoremi'ne göre, bir dik üçgende bir dik kenarın karesi, hipotenüsün tamamı ile o dik kenara yakın olan hipotenüs parçasının çarpımına eşittir. Formül: \( c^2 = k \cdot a \) veya \( b^2 = p \cdot a \) (Burada \(c\) ve \(b\) dik kenarlar, \(a\) hipotenüsün tamamı, \(k\) ve \(p\) hipotenüs üzerindeki parçalardır).
Öklid Teoremi'ne göre, bir dik üçgende bir dik kenarın karesi, hipotenüsün tamamı ile o dik kenara yakın olan hipotenüs parçasının çarpımına eşittir. Formül: \( c^2 = k \cdot a \) veya \( b^2 = p \cdot a \) (Burada \(c\) ve \(b\) dik kenarlar, \(a\) hipotenüsün tamamı, \(k\) ve \(p\) hipotenüs üzerindeki parçalardır).
- Hipotenüsün tamamı \(BC = BH + HC = 4 + 9 = 13\) cm'dir.
- AB kenarını bulmak için \(c^2 = k \cdot a\) formülünü kullanalım. Burada \(c = AB\), \(k = BH = 4\) ve \(a = BC = 13\).
- Formülde yerine yazalım: \( AB^2 = BH \cdot BC \)
- \( AB^2 = 4 \cdot 13 \)
- \( AB^2 = 52 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( AB = \sqrt{52} \)
- \( \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13} \)
- ✅ Sonuç: \( AB = 2\sqrt{13} \) cm'dir.
Soru 6:
🪜 Bir merdiven, duvardan 3 metre uzaklıktaki bir noktadan duvara yaslanmıştır. Merdivenin üst ucu, yerden 4 metre yükseklikteki bir pencereye dayanmaktadır. Bu merdivenin uzunluğu kaç metredir?
Çözüm:
Bu günlük hayat probleminde merdiven, duvar ve yer bir dik üçgen oluşturur.
Duvar ile yer arasındaki açı 90 derecedir. Merdivenin uzunluğu ise bu dik üçgenin hipotenüsüdür. Bu nedenle Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
Duvar ile yer arasındaki açı 90 derecedir. Merdivenin uzunluğu ise bu dik üçgenin hipotenüsüdür. Bu nedenle Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
- Duvarın yerden yüksekliği (bir dik kenar) \(a = 4\) metre.
- Merdivenin duvardan uzaklığı (diğer dik kenar) \(b = 3\) metre.
- Merdivenin uzunluğu (hipotenüs) \(c\) olsun.
- Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Verilen değerleri yerine yazalım: \( 4^2 + 3^2 = c^2 \)
- Karelerini alalım: \( 16 + 9 = c^2 \)
- Toplayalım: \( 25 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{25} \)
- ✅ Sonuç: Merdivenin uzunluğu \( c = 5 \) metredir. (Bu, 3-4-5 özel dik üçgenidir.)
Soru 7:
🌳 Bir ağacın boyunu ölçmek isteyen Ayşe, ağaçtan 12 metre uzakta yere dik duran 1.5 metre boyundaki bir direğin gölge boyunun 3 metre olduğunu fark etmiştir. Güneş ışınları paralel geldiğine göre, bu ağacın boyu kaç metredir? (Direk ve ağaç yere dik konumdadır.)
Çözüm:
Bu problemde, güneş ışınlarının paralel gelmesi nedeniyle ağaç ve direğin oluşturduğu üçgenler benzer üçgenlerdir. Bu durum, Thales Teoremi'nin benzerlik uygulaması ile çözülebilir.
- Direğin boyu (yüksekliği): \( H_{direk} = 1.5 \) metre
- Direğin gölge boyu: \( G_{direk} = 3 \) metre
- Ağacın direğe olan uzaklığı: \( 12 \) metre. Bu, ağacın gölge boyuna eklenmelidir.
- Ağacın gölge boyu: \( G_{ağaç} = G_{direk} + 12 = 3 + 12 = 15 \) metre
- Ağacın boyu (yüksekliği): \( H_{ağaç} \) (Bunu bulacağız.)
- \[ \frac{H_{direk}}{G_{direk}} = \frac{H_{ağaç}}{G_{ağaç}} \]
- Verilen değerleri yerine yazalım: \( \frac{1.5}{3} = \frac{H_{ağaç}}{15} \)
- Oranı sadeleştirelim: \( 0.5 = \frac{H_{ağaç}}{15} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( H_{ağaç} = 0.5 \cdot 15 \)
- ✅ Sonuç: \( H_{ağaç} = 7.5 \) metredir.
Soru 8:
📐 Bir ABC dik üçgeninde, A köşesi dik açıdır (\( m(\hat{A}) = 90^\circ \)). A köşesinden hipotenüse indirilen dikmenin ayağı H noktasıdır. BH = 2 cm ve AC = \( 2\sqrt{5} \) cm olduğuna göre, BC hipotenüsünün uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu problemde hem Öklid Teoremi'ni hem de Pisagor Teoremi'ni bir arada kullanmamız gerekiyor.
Önce Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanarak hipotenüsün tamamını bulalım.
Önce Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanarak hipotenüsün tamamını bulalım.
- Öklid Dik Kenar Teoremi: \( AC^2 = HC \cdot BC \)
- Burada \( AC = 2\sqrt{5} \) ve \( BC = BH + HC = 2 + HC \).
- Denklemde yerine yazalım: \( (2\sqrt{5})^2 = HC \cdot (2 + HC) \)
- \( (2^2) \cdot (\sqrt{5}^2) = HC \cdot (2 + HC) \)
- \( 4 \cdot 5 = HC \cdot (2 + HC) \)
- \( 20 = 2HC + HC^2 \)
- Denklemi düzenleyelim: \( HC^2 + 2HC - 20 = 0 \)
- Bu denklemi çözmek için çarpanlara ayırma veya diskriminant yöntemi (9. sınıf için çok uygun değil) yerine, değer deneme yapabiliriz. Ancak daha kolay bir yol var:
Öklid Teoremi'nin farklı bir formülü de vardır: \( AC^2 = HC \cdot (BH + HC) \). - Yani \( AC^2 = HC \cdot BC \). Biz \( BC = x \) diyelim. O zaman \( HC = x - BH = x - 2 \).
- Şimdi tekrar Öklid formülünü kullanalım: \( AC^2 = HC \cdot BC \)
- \( (2\sqrt{5})^2 = (x-2) \cdot x \)
- \( 20 = x^2 - 2x \)
- Denklemi düzenleyelim: \( x^2 - 2x - 20 = 0 \)
- Bu denklemin köklerini bulmak için 9. sınıf seviyesinde genellikle tam kareye tamamlama veya deneme yanılma kullanılır.
Daha basit bir yaklaşım:
Önce AH yüksekliğini bulalım, sonra Pisagor uygulayalım.
AH yüksekliğine \(h\) diyelim. \(HC = y\) olsun.
Öklid Yükseklik Teoremi: \( h^2 = BH \cdot HC = 2y \)
ABC üçgeninde Pisagor: \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \)
ABH dik üçgeninde Pisagor: \( AB^2 = BH^2 + AH^2 = 2^2 + h^2 = 4 + h^2 \)
ACH dik üçgeninde Pisagor: \( AC^2 = AH^2 + HC^2 = h^2 + y^2 \)
Verilen \( AC = 2\sqrt{5} \) olduğundan: \( (2\sqrt{5})^2 = h^2 + y^2 \Rightarrow 20 = h^2 + y^2 \)
İlk denklemden \( h^2 = 2y \) olduğunu biliyoruz. Yerine yazalım:
\( 20 = 2y + y^2 \)
\( y^2 + 2y - 20 = 0 \)
Bu denklemi 9. sınıf öğrencisinin çözmesi zordur. Soruyu daha uygun hale getirelim.
Daha uygun bir çözüm yolu:
Öklid Teoremi'nin dik kenar formülünü kullanalım: \( AC^2 = HC \cdot BC \).
Hipotenüs \(BC = x\) olsun. O zaman \(HC = x - BH = x - 2\).
\( (2\sqrt{5})^2 = (x - 2) \cdot x \)
\( 20 = x^2 - 2x \)
\( x^2 - 2x - 20 = 0 \)
Bu denklemin çözümü için 9. sınıf seviyesinde genelde tam sayılarla çalışılır. Bu sorunun orijinal hali 9. sınıf müfredatını biraz aşabilir çünkü köklü sayı içeren ikinci dereceden denklemlerin çözümü doğrudan beklenmez.
Soruyu 9. sınıf müfredatına uygun hale getirelim:
YENİ TEXT: Bir ABC dik üçgeninde, A köşesi dik açıdır (\( m(\hat{A}) = 90^\circ \)). A köşesinden hipotenüse indirilen dikmenin ayağı H noktasıdır. BH = 2 cm ve HC = 8 cm olduğuna göre, AC kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
YENİ ÇÖZÜM:
Bu problemde Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanacağız. - Hipotenüsün tamamı \(BC = BH + HC = 2 + 8 = 10\) cm'dir.
- AC kenarını bulmak için \( AC^2 = HC \cdot BC \) formülünü kullanalım.
- Verilen değerleri yerine yazalım: \( AC^2 = 8 \cdot 10 \)
- \( AC^2 = 80 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( AC = \sqrt{80} \)
- \( \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \)
- ✅ Sonuç: \( AC = 4\sqrt{5} \) cm'dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/9-sinif-matematik-thales-oklid-ve-pisagor-teoremi/sorular