Tyt Konu Özeti

Matematiksel mantık, doğru veya yanlış değer alabilen ifadeleri ve bu ifadelerin birleşimlerini inceleyen temel bir matematik dalıdır. Günlük hayatta ve bilimde doğru akıl yürütme becerisi için mantık kuralları büyük önem taşır.

Önerme 🤔

• Tanım: Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Bir ifade hem doğru hem de yanlış olamaz. Emir, soru, ünlem cümleleri önerme değildir.
• Örnekler:
  • "Ankara, Türkiye'nin başkentidir." Bu bir önermedir ve doğrudur.
  • "2 + 3 = 6." Bu bir önermedir ve yanlıştır.
  • "Bugün hava güzel mi?" Bu bir soru cümlesi olduğu için önerme değildir.
  • "Hadi dışarı çıkalım!" Bu bir emir cümlesi olduğu için önerme değildir.

Doğruluk Değeri ve Doğruluk Tablosu ✅❌

• Doğruluk Değeri: Bir önerme doğru ise doğruluk değeri 1 (D), yanlış ise doğruluk değeri 0 (Y) ile gösterilir.
• Doğruluk Tablosu: Bir önermenin alabileceği tüm doğruluk değerlerini gösteren tabloya doğruluk tablosu denir.
  • Tek bir \( p \) önermesinin doğruluk tablosu:

    \( p \)
    1
    0

  • \( n \) tane farklı önermenin birlikte \( 2^n \) farklı doğruluk durumu vardır. Örneğin, \( p \) ve \( q \) gibi iki önerme için \( 2^2 = 4 \) farklı durum oluşur.

    \( p \)	\( q \)
    1	1
    1	0
    0	1
    0	0

Denk Önermeler 🤝

• Tanım: Doğruluk değerleri aynı olan önermelere denk önermeler denir. \( p \) ve \( q \) önermeleri denk ise \( p \equiv q \) şeklinde gösterilir.
• Örnek:
  • \( p \): "2 tek sayıdır." (Doğruluk değeri: 0)
  • \( q \): "En küçük asal sayı 1'dir." (Doğruluk değeri: 0)
  • Bu durumda \( p \equiv q \) olur.

Bir Önermenin Değili (Olumsuzu) 🚫

• Tanım: Bir önermenin hükmünün değiştirilmesiyle elde edilen yeni önermeye o önermenin değili veya olumsuzu denir. \( p \) önermesinin değili \( p' \) veya \( \neg p \) ile gösterilir.
• Bir önermenin doğruluk değeri 1 ise değilinin doğruluk değeri 0, doğruluk değeri 0 ise değilinin doğruluk değeri 1'dir.

  \( p \)	\( p' \)
  1	0
  0	1

• Örnek:
  • \( p \): "Elma bir meyvedir." (Doğru)
  • \( p' \): "Elma bir meyve değildir." (Yanlış)
• Bir önermenin değilinin değili kendisidir: \( (p')' \equiv p \).

Bileşik Önermeler ve Bağlaçlar 🔗

İki veya daha fazla önermenin mantık bağlaçları ile birleştirilmesiyle elde edilen yeni önermelere bileşik önerme denir.

1. Veya Bağlacı (Tümel Ayrılık) \( \lor \) ➕

• Tanım: İki önermeden en az birinin doğru olması durumunda doğru olan bileşik önermeye "veya" bağlacı ile bağlanmış önerme denir. \( p \) veya \( q \) önermesi \( p \lor q \) şeklinde gösterilir.
• Doğruluk Tablosu:

  \( p \)	\( q \)	\( p \lor q \)
  1	1	1
  1	0	1
  0	1	1
  0	0	0

• Özellikleri:
  • Değişme Özelliği: \( p \lor q \equiv q \lor p \)
  • Birleşme Özelliği: \( (p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r) \)
  • Tek Kuvvet Özelliği: \( p \lor p \equiv p \)
  • Yutan Eleman: \( p \lor 1 \equiv 1 \)
  • Birim Eleman: \( p \lor 0 \equiv p \)
  • \( p \lor p' \equiv 1 \)

2. Ve Bağlacı (Tümel Evetleme) \( \land \) ✖️

• Tanım: İki önermenin de doğru olması durumunda doğru olan bileşik önermeye "ve" bağlacı ile bağlanmış önerme denir. \( p \) ve \( q \) önermesi \( p \land q \) şeklinde gösterilir.
• Doğruluk Tablosu:

  \( p \)	\( q \)	\( p \land q \)
  1	1	1
  1	0	0
  0	1	0
  0	0	0

• Özellikleri:
  • Değişme Özelliği: \( p \land q \equiv q \land p \)
  • Birleşme Özelliği: \( (p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r) \)
  • Tek Kuvvet Özelliği: \( p \land p \equiv p \)
  • Yutan Eleman: \( p \land 0 \equiv 0 \)
  • Birim Eleman: \( p \land 1 \equiv p \)
  • \( p \land p' \equiv 0 \)

3. Ya da Bağlacı (Karşıt Ayrılık) \( \underline{\lor} \) ↔️

• Tanım: İki önermeden sadece birinin doğru olması durumunda doğru olan bileşik önermeye "ya da" bağlacı ile bağlanmış önerme denir. \( p \) ya da \( q \) önermesi \( p \underline{\lor} q \) şeklinde gösterilir.
• Doğruluk Tablosu:

  \( p \)	\( q \)	\( p \underline{\lor} q \)
  1	1	0
  1	0	1
  0	1	1
  0	0	0

• Özellikleri:
  • Değişme özelliği vardır: \( p \underline{\lor} q \equiv q \underline{\lor} p \)
  • \( p \underline{\lor} p \equiv 0 \)
  • \( p \underline{\lor} p' \equiv 1 \)
  • \( p \underline{\lor} 0 \equiv p \)
  • \( p \underline{\lor} 1 \equiv p' \)

4. Koşullu Önerme (İse Bağlacı) \( \implies \) 👉

• Tanım: \( p \) ve \( q \) iki önerme olmak üzere, \( p \) doğru iken \( q \) yanlış ise yanlış, diğer durumlarda doğru olan bileşik önermeye "ise" bağlacı ile bağlanmış önerme denir. \( p \) ise \( q \) önermesi \( p \implies q \) şeklinde gösterilir. \( p \implies q \) ifadesi "p gerektirir q" veya "eğer p ise q" şeklinde okunur.
• Doğruluk Tablosu:

  \( p \)	\( q \)	\( p \implies q \)
  1	1	1
  1	0	0
  0	1	1
  0	0	1

• Önemli Eşdeğerlik: \( p \implies q \equiv p' \lor q \)
• Özellikleri:
  • Değişme özelliği yoktur: \( p \implies q \not\equiv q \implies p \)
  • \( p \implies p \equiv 1 \)
  • \( p \implies p' \equiv p' \)
  • \( p' \implies p \equiv p \)
  • \( 1 \implies p \equiv p \)
  • \( 0 \implies p \equiv 1 \)

5. İki Yönlü Koşullu Önerme (Ancak ve Ancak Bağlacı) \( \iff \) ↔️

• Tanım: \( p \) ve \( q \) iki önerme olmak üzere, \( p \) ile \( q \)'nun doğruluk değerleri aynı iken doğru, farklı iken yanlış olan bileşik önermeye "ancak ve ancak" bağlacı ile bağlanmış önerme denir. \( p \) ancak ve ancak \( q \) önermesi \( p \iff q \) şeklinde gösterilir.
• Doğruluk Tablosu:

  \( p \)	\( q \)	\( p \iff q \)
  1	1	1
  1	0	0
  0	1	0
  0	0	1

• Önemli Eşdeğerlik: \( p \iff q \equiv (p \implies q) \land (q \implies p) \)
• Özellikleri:
  • Değişme özelliği vardır: \( p \iff q \equiv q \iff p \)
  • \( p \iff p \equiv 1 \)
  • \( p \iff p' \equiv 0 \)
  • \( p \iff 0 \equiv p' \)
  • \( p \iff 1 \equiv p \)

De Morgan Kuralları 📜

Bileşik önermelerin değilini alırken kullanılan önemli kurallardır:

• \( (p \lor q)' \equiv p' \land q' \)
• \( (p \land q)' \equiv p' \lor q' \)

Unutma: Değilini alırken bağlaçlar da değişir! Veya \( (\lor) \) "ve" \( (\land) \) olur, "ve" \( (\land) \) "veya" \( (\lor) \) olur.

Dağılma Özelliği ✨

• \( p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r) \) (Ve bağlacının veya bağlacı üzerine dağılma özelliği)
• \( p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \land r) \) (Veya bağlacının ve bağlacı üzerine dağılma özelliği)

Niceleyiciler (Nicelik Belirteçleri) 🔢

Önermelerde kullanılan "her", "bütün", "bazı", "en az bir" gibi ifadeler niceleyici olarak adlandırılır.

• Evrensel Niceleyici (Her, Bütün): \( \forall \) sembolü ile gösterilir. "Her x için", "Bütün x'ler için" anlamındadır.
• Varlıksal Niceleyici (Bazı, En Az Bir): \( \exists \) sembolü ile gösterilir. "En az bir x vardır ki", "Bazı x'ler için" anlamındadır.

Niceleyicilerin Değilleri 🚫🔢

Niceleyici içeren önermelerin değilini alırken niceleyici ve önermenin hükmü değişir:

• \( (\forall x, P(x))' \equiv \exists x, P'(x) \)
• \( (\exists x, P(x))' \equiv \forall x, P'(x) \)

Örnek:

• \( p \): "Her tam sayı bir doğal sayıdır." (Yanlış)
• \( p' \): "En az bir tam sayı bir doğal sayı değildir." (Doğru)