💡 9. Sınıf Matematik: Üslü ifadelerle toplama çıkarma Çözümlü Sorular

Çözüm:

Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için tabanların ve üslerin birebir aynı olması gerekir. Bu soruda her terimde \( 5^6 \) ifadesi ortaktır.

• 1. Adım: İfadeyi \( 5^6 \) ortak çarpan parantezine alalım.
  \[ (4 + 7 - 3) \times 5^6 \]
• 2. Adım: Parantez içindeki katsayıları toplayıp çıkaralım.
  \[ 4 + 7 - 3 = 8 \]
• 3. Adım: Bulduğumuz sonucu ortak üslü çarpan ile çarpalım.
  \[ 8 \times 5^6 \]

✅ Cevap: \( 8 \times 5^6 \)

Çözüm:

Üsleri farklı olan ifadelerde işlem yaparken, terimleri en küçük üsse göre düzenleriz. Burada en küçük üs \( 6 \)'dır.

• 1. Adım: Büyük üslü ifadeleri \( 3^6 \) cinsinden yazalım.
  👉 \( 3^8 = 3^{6+2} = 3^6 \times 3^2 = 9 \times 3^6 \)
  👉 \( 3^7 = 3^{6+1} = 3^6 \times 3^1 = 3 \times 3^6 \)
  👉 \( 3^6 = 1 \times 3^6 \)
• 2. Adım: Bulduğumuz değerleri yerine koyarak \( 3^6 \) parantezine alalım.
  \[ (9 + 3 + 1) \times 3^6 \]
• 3. Adım: Parantez içini toplayalım.
  \[ 13 \times 3^6 \]

✅ Cevap: \( 13 \times 3^6 \)

Çözüm:

Pay ve paydayı ayrı ayrı düzenleyip sadeleştirme yapalım.

• 1. Adım (Pay Kısmı): 4 tane \( 2^7 \) ifadesinin toplamı söz konusudur.
  \[ 2^7 + 2^7 + 2^7 + 2^7 = 4 \times 2^7 = 2^2 \times 2^7 = 2^9 \]
• 2. Adım (Payda Kısmı): 2 tane \( 4^3 \) ifadesinin toplamı söz konusudur.
  \[ 4^3 + 4^3 = 2 \times 4^3 = 2 \times (2^2)^3 = 2^1 \times 2^6 = 2^7 \]
• 3. Adım (Bölme İşlemi): Payı paydaya bölelim.
  \[ \frac{2^9}{2^7} = 2^{9-7} = 2^2 = 4 \]

✅ Cevap: \( 4 \)

Çözüm:

💡 İpucu: 10'un kuvvetlerini aynı üsse getirmek işlemi çok kolaylaştırır. Hepsini \( 10^{-5} \) kuvvetine dönüştürelim.

• 1. Adım: Terimleri düzenleyelim.
  👉 \( 0{,}4 \times 10^{-4} = 4 \times 10^{-5} \)
  👉 \( 30 \times 10^{-6} = 3 \times 10^{-5} \)
  👉 \( 2 \times 10^{-5} \) (zaten uygun formda)
• 2. Adım: İfadeleri yerine koyup \( 10^{-5} \) parantezine alalım.
  \[ (4 + 3 - 2) \times 10^{-5} \]
• 3. Adım: Parantez içi hesabı yapalım.
  \[ 5 \times 10^{-5} \]

✅ Cevap: \( 5 \times 10^{-5} \)

Çözüm:

Üslü denklemde sol taraftaki tüm ifadeleri \( 2^x \) cinsinden parçalayarak ortak çarpan parantezine alalım.

• 1. Adım: Üslü ifadeleri ayrıştıralım.
  👉 \( 2^{x+2} = 2^x \times 2^2 = 4 \times 2^x \)
  👉 \( 2^{x+1} = 2^x \times 2^1 = 2 \times 2^x \)
• 2. Adım: İfadeleri denklemde yerine yazalım.
  \[ 5 \times (4 \times 2^x) - 3 \times (2 \times 2^x) + 2^x = 60 \] \[ 20 \times 2^x - 6 \times 2^x + 1 \times 2^x = 60 \]
• 3. Adım: \( 2^x \) parantezine alarak toplayalım.
  \[ (20 - 6 + 1) \times 2^x = 60 \] \[ 15 \times 2^x = 60 \]
• 4. Adım: Her iki tarafı 15'e bölelim.
  \[ 2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2 \]

✅ Cevap: \( x = 2 \)

Çözüm:

Payı ve paydayı kendi içlerinde en küçük üslü çarpan parantezine alarak sadeleştirelim.

• 1. Adım (Payı Düzenleme): Paydaki en küçük üs \( n+1 \)'dir.
  \[ 3^{n+3} - 3^{n+1} = 3^{n+1} \times (3^2 - 1) = 3^{n+1} \times (9 - 1) = 8 \times 3^{n+1} \]
• 2. Adım (Paydayı Düzenleme): Paydadaki en küçük üs \( n \)'dir.
  \[ 3^{n+2} + 3^n = 3^n \times (3^2 + 1) = 3^n \times (9 + 1) = 10 \times 3^n \]
• 3. Adım (Oranlama): Payı paydaya bölelim.
  \[ \frac{8 \times 3^{n+1}}{10 \times 3^n} = \frac{8}{10} \times \frac{3^{n+1}}{3^n} \] \[ \frac{4}{5} \times 3^{n+1-n} = \frac{4}{5} \times 3^1 = \frac{12}{5} \]

✅ Cevap: \( \frac{12}{5} \)

Çözüm:

Toplam boyutu bulmak için üç sunucudaki veri miktarlarını toplamalıyız:

\[ \text{Toplam Boyut} = 2^{12} + 2^{11} + 2^{10} \]

• 1. Adım: İfadeleri en küçük üs olan \( 2^{10} \) parantezine alacak şekilde açalım.
  👉 \( 2^{12} = 2^{10} \times 2^2 = 4 \times 2^{10} \)
  👉 \( 2^{11} = 2^{10} \times 2^1 = 2 \times 2^{10} \)
  👉 \( 2^{10} = 1 \times 2^{10} \)
• 2. Adım: Ortak çarpan parantezine alarak toplayalım.
  \[ (4 + 2 + 1) \times 2^{10} = 7 \times 2^{10} \]

✅ Cevap: Toplam veri boyutu \( 7 \times 2^{10} \) MB olur.

Çözüm:

Toplama işlemi yapabilmek için 10'un kuvvetlerini aynı yapmak gerekir.

• 1. Adım: B tüpündeki bakteri sayısının üssünü \( 10^5 \) biçimine dönüştürelim.
  \[ 1{,}2 \times 10^6 = 12 \times 10^5 \]
• 2. Adım: A ve B tüplerindeki bakteri sayılarını toplayalım.
  \[ (8 \times 10^5) + (12 \times 10^5) \]
• 3. Adım: \( 10^5 \) parantezine alarak katsayıları toplayalım.
  \[ (8 + 12) \times 10^5 = 20 \times 10^5 \]
• 4. Adım: Sonucu standart gösterimle ifade edelim.
  \[ 20 \times 10^5 = 2 \times 10^6 \]

✅ Cevap: Toplam \( 2 \times 10^6 \) (yani 2 milyon) bakteri vardır.