💡 9. Sınıf Matematik: Üslü sayılarda toplama, çıkarma ve çarpma Çözümlü Sorular

Üslü sayılarda çarpma işlemi yapılırken, eğer tabanlar aynı ise üsler toplanır.

• Kural: \( a^n \cdot a^m = a^{n+m} \)
• İşlem: \( 3^5 \cdot 3^4 \cdot 3^2 \)
• Üsleri toplayalım: \( 5 + 4 + 2 = 11 \)
• Sonuç: \( 3^{11} \)

✅ Taban olan \( 3 \) aynen yazılır ve bulunan toplam üs olarak üzerine eklenir.

Üslü sayılarda çarpma işlemi yapılırken, eğer üsler aynı ise tabanlar çarpılır.

• Kural: \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \)
• İşlem: \( 2^6 \cdot 5^6 \)
• Tabanları çarpalım: \( 2 \cdot 5 = 10 \)
• Ortak üssü aynen yazalım: \( 6 \)
• Sonuç: \( 10^6 \)

💡 Bu kural sayesinde farklı tabanlı fakat aynı üslü sayıları tek bir tabanda birleştirebiliriz.

Üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için üslü ifadelerin hem tabanlarının hem de üslerinin aynı olması gerekir. Bu durumda katsayılar arasında işlem yapılır.

• İşlem: \( (7 + 5 - 2) \cdot 10^5 \)
• Katsayıları toplayıp çıkaralım: \( 7 + 5 = 12 \) ve \( 12 - 2 = 10 \)
• Sonuç: \( 10 \cdot 10^5 \)
• Çarpma kuralını uygulayalım (Tabanlar aynı, üsler toplanır): \( 10^1 \cdot 10^5 = 10^{1+5} \)
• Final Sonucu: \( 10^6 \)

Bu soruda önce üssün üssü kuralını, sonra çarpma kuralını uygulamalıyız.

• 1. Adım (Üssün Üssü): \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \) kuralına göre \( (2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12} \) olur.
• 2. Adım (Çarpma): İşlemimiz \( 2^{12} \cdot 2^5 \) haline geldi.
• 3. Adım: Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız: \( 12 + 5 = 17 \)
• Sonuç: \( 2^{17} \)

📌 Unutmayın: Üssün üssü alınırken üsler çarpılır, çarpma işleminde ise üsler toplanır.

Bu tür sorularda ortak çarpan parantezine alma yöntemini kullanırız.

• 1. Adım: \( 2^{x+3} \) ifadesini parçalayalım: \( 2^x \cdot 2^3 \)
• 2. Adım: Denklemi yeniden yazalım: \( 2^x \cdot 2^3 + 2^x = 72 \)
• 3. Adım: \( 2^x \) parantezine alalım: \( 2^x \cdot (2^3 + 1) = 72 \)
• 4. Adım: Parantez içini hesaplayalım: \( 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9 \)
• 5. Adım: \( 2^x \cdot 9 = 72 \) ise her iki tarafı \( 9 \) ile bölelim: \( 2^x = 8 \)
• 6. Adım: \( 8 \) sayısını \( 2 \) tabanında yazalım: \( 2^x = 2^3 \)
• Sonuç: \( x = 3 \)

Günlük hayatta depolama birimleri ve miktar hesaplamalarında üslü sayılar sıkça kullanılır.

• Bir klasördeki fotoğraf sayısı: \( 2^4 \)
• Toplam klasör sayısı: \( 2^6 \)
• Toplam Fotoğraf Sayısı = (Klasör Sayısı) \( \cdot \) (Her Klasördeki Fotoğraf Sayısı)
• İşlem: \( 2^6 \cdot 2^4 \)
• Kural: Tabanlar aynı olduğu için üsler toplanır.
• Sonuç: \( 2^{6+4} = 2^{10} \)

👉 Bilgisayarda toplam \( 2^{10} \) (yani 1024) adet fotoğraf vardır.

Bu soruda alan hesaplama ve üslü sayılarda bölme/çarpma mantığını kullanacağız.

• 1. Büyük Karenin Alanı: Bir kenarı \( a \) olan karenin alanı \( a^2 \) formülüyle bulunur.
  Alan = \( (4^3)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6 \)
• 2. Tabanı Düzenleme: \( 4^6 = (2^2)^6 = 2^{12} \) (Büyük alan)
• 3. Küçük Karenin Alanı: Kenarı \( 2^2 \) ise;
  Alan = \( (2^2)^2 = 2^4 \)
• 4. Parça Sayısını Bulma: Büyük alanı küçük alana bölmeliyiz.
  Adet = \( 2^{12} \div 2^4 \)
• 5. Bölme Kuralı: Tabanlar aynı ise üsler çıkarılır.
  \( 12 - 4 = 8 \)
• Sonuç: \( 2^8 \) adet küçük kare elde edilir.

Bir sayının kaç basamaklı olduğunu bulmak için ifadeyi \( 10^n \) formuna getirmeliyiz. Bunun için \( 2 \) ve \( 5 \) tabanlarını elde etmeliyiz.

• 1. Adım: \( 8 \) sayısını \( 2 \) tabanında yazalım: \( 8^4 = (2^3)^4 = 2^{12} \)
• 2. Adım: \( 25 \) sayısını \( 5 \) tabanında yazalım: \( 25^6 = (5^2)^6 = 5^{12} \)
• 3. Adım: İşlemi birleştirelim: \( 2^{12} \cdot 5^{12} \)
• 4. Adım: Üsler aynı olduğu için tabanları çarpalım: \( (2 \cdot 5)^{12} = 10^{12} \)
• 5. Adım: \( 10^{12} \) sayısı, \( 1 \) rakamının yanına \( 12 \) tane sıfır gelmesi demektir.
• Sonuç: \( 1 + 12 = 13 \) basamaklıdır.