💡 9. Sınıf Matematik: Üslü ve köklü sayılar Çözümlü Sorular

💡 Çözüm Adımları:

• Verilen üslü sayıların değerlerini ayrı ayrı hesaplayalım.
• \( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
• \( 3^2 = 3 \times 3 = 9 \)
• \( 4^1 = 4 \)
• Bulduğumuz değerleri işlem sırasına göre yerine koyalım: \( 8 + 9 - 4 \)
• \( 17 - 4 = 13 \)

✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 13 \) olarak bulunur.

💡 Çözüm Adımları:

• Kök içindeki sayıları en büyük tam kare çarpanlarına ayıralım.
• \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \)
• İfadenin yeni halini yazalım: \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} \)
• Katsayılar arasında toplama ve çıkarma işlemi yapalım: \( (5 + 3 - 2)\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \)

✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 6\sqrt{2} \) bulunur.

💡 Çözüm Adımları:

• Eşitliğin sağ tarafındaki sayıyı sol taraftaki tabana benzetelim.
• \( 32 \) sayısı \( 2 \) tabanında \( 2^5 \) olarak yazılır.
• Denklemi düzenleyelim: \( 2^{x+1} = 2^5 \)
• Tabanlar eşit olduğu için üsler de birbirine eşit olmalıdır.
• \( x + 1 = 5 \)
• Denklemi çözersek \( x = 5 - 1 = 4 \) olur.

✅ Sonuç: \( x = 4 \) olarak bulunur.

💡 Çözüm Adımları:

• Birinci kesrin paydasını kökten kurtarmak için ifadeyi \( \sqrt{6} \) ile genişletelim.
• \( \frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6} \) olur.
• İkinci terim olan \( \sqrt{24} \) sayısını dışarı çıkaralım: \( \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6} \)
• Bulduğumuz iki ifadeyi toplayalım: \( 2\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6} \)

✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 4\sqrt{6} \) bulunur.

💡 Çözüm Adımları:

• Öncelikle verilen sayıları üslü ifade olarak yazalım.
• Arşivin toplam boyutu \( 32 \) GB'tır ve \( 32 = 2^5 \) şeklindedir.
• 1 GB alanın \( 2^{10} \) MB olduğu belirtilmiştir.
• Toplam MB miktarını bulmak için arşiv boyutu ile birim alanı çarpmalıyız.
• İşlem: \( 2^5 \times 2^{10} \)
• Üslü sayılarda çarpma işleminde tabanlar aynı ise üsler toplanır: \( 2^{5+10} = 2^{15} \)

✅ Sonuç: Kerem toplamda \( 2^{15} \) MB alan harcamıştır.

💡 Çözüm Adımları:

• Başlangıçtaki bakteri sayısını üslü olarak ifade edelim: \( 81 = 3^4 \)
• Her saat sonunda sayı 3 katına çıktığı için her saat 3 ile çarparız.
• 4 saat geçeceği için başlangıç sayısı \( 4 \) defa \( 3 \) ile çarpılmalıdır.
• İşlem: \( 3^4 \times 3^1 \times 3^1 \times 3^1 \times 3^1 \) veya üslü ifade olarak \( 81 \times 3^4 \)
• \( 3^4 \times 3^4 = 3^{4+4} = 3^8 \)

✅ Sonuç: 4 saat sonra ortamda \( 3^8 \) adet bakteri olur.

💡 Çözüm Adımları:

• Bahçe kare şeklinde olduğu için çevresini bulmak adına bir kenar uzunluğunu 4 ile çarpmalıyız.
• Önce kenar uzunluğunu kök dışına çıkaralım: \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \) metre.
• Karenin çevresi: \( 4 \times 5\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \) metredir.
• Bahçenin etrafına iki sıra tel çekileceği için çevre uzunluğunu 2 ile çarpalım.
• Toplam tel: \( 2 \times 20\sqrt{3} = 40\sqrt{3} \) metre.

✅ Sonuç: Kullanılacak toplam tel uzunluğu \( 40\sqrt{3} \) metredir.

💡 Çözüm Adımları:

• Dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımına eşittir.
• Kısa kenarı kök dışına çıkaralım: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \) metre.
• Uzun kenara x diyelim. Alan formülünden: \( 2\sqrt{3} \times x = 108 \)
• Her iki tarafı \( 2\sqrt{3} \) ifadesine bölelim: \( x = \frac{108}{2\sqrt{3}} = \frac{54}{\sqrt{3}} \)
• Paydayı kökten kurtarmak için ifadeyi \( \sqrt{3} \) ile genişletelim: \( x = \frac{54\sqrt{3}}{3} = 18\sqrt{3} \) metre (uzun kenar).
• Çevre formülü: \( 2 \times (\text{Kısa Kenar} + \text{Uzun Kenar}) \)
• Çevre = \( 2 \times (2\sqrt{3} + 18\sqrt{3}) = 2 \times 20\sqrt{3} = 40\sqrt{3} \) metre.

✅ Sonuç: Şerit için harcanacak toplam uzunluk \( 40\sqrt{3} \) metredir.