💡 ALES Matematik: Asal sayılar Çözümlü Sorular

Asal sayılar, yalnızca 1'e ve kendisine bölünebilen 1'den büyük doğal sayılardır. 🚀 1'den 20'ye kadar olan sayıları inceleyelim:

• 1: Asal değildir.
• 2: Asaldır (1 ve 2'ye bölünür).
• 3: Asaldır (1 ve 3'e bölünür).
• 4: Asal değildir (1, 2, 4'e bölünür).
• 5: Asaldır (1 ve 5'e bölünür).
• 6: Asal değildir (1, 2, 3, 6'ya bölünür).
• 7: Asaldır (1 ve 7'ye bölünür).
• 8: Asal değildir (1, 2, 4, 8'e bölünür).
• 9: Asal değildir (1, 3, 9'a bölünür).
• 10: Asal değildir (1, 2, 5, 10'a bölünür).
• 11: Asaldır (1 ve 11'e bölünür).
• 12: Asal değildir.
• 13: Asaldır (1 ve 13'e bölünür).
• 14: Asal değildir.
• 15: Asal değildir.
• 16: Asal değildir.
• 17: Asaldır (1 ve 17'ye bölünür).
• 18: Asal değildir.
• 19: Asaldır (1 ve 19'a bölünür).
• 20: Asal değildir.

Bu sayılar arasında asal olanlar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19'dur. Toplamda 8 tane asal sayı vardır. ✅

Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için o sayının kendisinden ve 1'den başka böleni olup olmadığını kontrol etmeliyiz. 🤔 Seçenekleri inceleyelim:

• a) 15: 1, 3, 5, 15'e bölünür. Asal değildir.
• b) 23: Sadece 1'e ve 23'e bölünür. Bu nedenle asaldır. ✅
• c) 27: 1, 3, 9, 27'ye bölünür. Asal değildir.
• d) 33: 1, 3, 11, 33'e bölünür. Asal değildir.
• e) 39: 1, 3, 13, 39'a bölünür. Asal değildir.

Doğru cevap b) 23'tür. 🚀

İki basamaklı en küçük doğal sayılar 10'dan başlar. Bu sayılar içinde asal olan en küçüğünü bulalım:

• 10: Asal değil (2, 5'e bölünür).
• 11: Asaldır (sadece 1 ve 11'e bölünür).

Dolayısıyla, iki basamaklı en küçük asal sayı 11'dir. 📌 Şimdi de iki basamaklı en büyük asal sayıyı bulalım. İki basamaklı en büyük doğal sayı 99'dur. Bu sayıdan geriye doğru giderek asal olanı arayalım:

• 99: Asal değil (3, 9, 11, 33'e bölünür).
• 98: Asal değil (2, 7, 14, 49'a bölünür).
• 97: Sadece 1'e ve 97'ye bölünür. Bu nedenle asaldır. ✅

Dolayısıyla, iki basamaklı en büyük asal sayı 97'dir. Şimdi bu iki sayıyı toplayalım: \[ 11 + 97 = 108 \] Sonuç 108'dir. 🚀

Bir sayının asal çarpanları, o sayıyı oluşturan asal sayılardır. Bu sayının alabileceği en küçük değeri bulmak için, verilen asal çarpanları birer kez kullanarak sayıyı oluşturmalıyız. 💡 Verilen asal çarpanlar: 2, 3, 5. Bu asal çarpanları çarptığımızda sayının kendisini elde ederiz: \[ 2 \times 3 \times 5 = 30 \] Bu sayının alabileceği en küçük değer 30'dur. ✅ Bu sayı, 30'un asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.

Olasılık problemlerinde, istenen durum sayısını tüm olası durum sayısına böleriz. 📊 Öncelikle, 1'den 30'a kadar olan sayılar arasındaki asal sayıları belirleyelim:

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Bu listede toplam 10 tane asal sayı bulunmaktadır. Yani istenen durum sayısı 10'dur. 🚀 Kutudaki toplam top sayısı 30'dur. Bu da tüm olası durum sayısını temsil eder. Olasılık şu şekilde hesaplanır: \[ \text{Olasılık} = \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durum Sayısı}} \] \[ \text{Olasılık} = \frac{10}{30} \] Bu kesri sadeleştirebiliriz: \[ \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \] Çekilen topun numarasının asal sayı olma olasılığı 1/3'tür. ✅

Bu soruda, verilen ürünlerin fiyatlarının asal sayılar olduğunu görüyoruz. 💡 Kişinin ödeyeceği toplam tutarı bulmak için, aldığı her bir kilogram ürünün fiyatını toplamalıyız.

• Elma: 3 TL
• Portakal: 5 TL
• Muz: 7 TL
• Üzüm: 11 TL
• Karpuz: 2 TL

Toplam ödeme: \[ 3 + 5 + 7 + 11 + 2 \] Toplama işlemini yapalım:

• 3 + 5 = 8
• 8 + 7 = 15
• 15 + 11 = 26
• 26 + 2 = 28

Kişi toplamda 28 TL öder. ✅ Bu örnek, asal sayıların günlük hayatta bazen fiyatlandırmada karşımıza çıkabileceğini göstermektedir. 🚀

İkiz asal sayılar, aralarındaki farkın 2 olduğu asal sayılardır. Yani \( p \) ve \( p+2 \) hem asal olmalı hem de aralarındaki fark 2 olmalıdır. 🚀 Seçenekleri inceleyerek hangi sayının bir ikiz asal çiftine ait olmadığını bulalım:

• a) 3: 3 asal sayıdır. 3+2 = 5 de asal sayıdır. (3, 5) bir ikiz asal çiftidir.
• b) 5: 5 asal sayıdır. 5-2 = 3 asal sayıdır (yukarıda gördük). 5+2 = 7 de asal sayıdır. (5, 7) bir ikiz asal çiftidir.
• c) 11: 11 asal sayıdır. 11-2 = 9 asal değildir. 11+2 = 13 asal sayıdır. (11, 13) bir ikiz asal çiftidir.
• d) 17: 17 asal sayıdır. 17-2 = 15 asal değildir. 17+2 = 19 asal sayıdır. (17, 19) bir ikiz asal çiftidir.
• e) 29: 29 asal sayıdır. 29-2 = 27 asal değildir. 29+2 = 31 asal sayıdır. (29, 31) bir ikiz asal çiftidir.

Soruda "elemanı değildir" denildiği için, çiftin bir parçası olmayan sayıyı arıyoruz. Ancak yukarıdaki incelememizde tüm seçenekler bir ikiz asal çiftinin elemanıdır. Soruda bir hata olabilir veya seçenekler farklı olmalıydı. Düzeltilmiş bir soru ve çözüm önerisi: Düzeltilmiş Soru Metni: Ardışık iki asal sayının farkı 2'dir. Bu tür asal sayılara "ikiz asal sayılar" denir. Aşağıdaki sayılardan hangisi, kendisinden önceki veya sonraki asal sayı ile arasında 2 fark oluşturmaz? 🧐 Düzeltilmiş Çözüm: İkiz asal sayılar, aralarındaki farkın 2 olduğu asal sayılardır. Yani \( p \) ve \( p+2 \) hem asal olmalı hem de aralarındaki fark 2 olmalıdır. 🚀 Seçenekleri inceleyerek hangi sayının bir ikiz asal çiftine ait olmadığını bulalım:

• a) 3: 3 asal sayıdır. 3+2 = 5 de asal sayıdır. (3, 5) bir ikiz asal çiftidir.
• b) 5: 5 asal sayıdır. 5-2 = 3 asal sayıdır. (3, 5) bir ikiz asal çiftidir. 5+2 = 7 de asal sayıdır. (5, 7) bir ikiz asal çiftidir.
• c) 11: 11 asal sayıdır. 11+2 = 13 asal sayıdır. (11, 13) bir ikiz asal çiftidir.
• d) 17: 17 asal sayıdır. 17+2 = 19 asal sayıdır. (17, 19) bir ikiz asal çiftidir.
• e) 29: 29 asal sayıdır. 29-2 = 27 asal değildir. 29+2 = 31 asal sayıdır. Bu durumda 29'un kendisi bir ikiz asal çiftinin elemanı olamaz çünkü 27 asal değildir. Ancak 31 ile (29, 31) çiftini oluşturur. Soru "elemanı değildir" dediği için, bu çiftin elemanı olmayan sayıyı arıyoruz. Eğer soru "kendisi ile arasındaki fark 2 olan başka bir asal sayı yoktur" şeklinde olsaydı, 29 doğru cevap olurdu. Mevcut haliyle soru net değil.

En olası yorumla devam edelim: Sorunun kastettiği, kendisinden önceki veya sonraki sayının asal olup olmadığıdır.

• 3: 5 asal.
• 5: 3 asal, 7 asal.
• 11: 13 asal.
• 17: 19 asal.
• 29: 31 asal.

Eğer soru, "birbirini takip eden asal sayılar arasındaki fark 2'dir" şeklinde olsaydı, 29'un kendisi bir ikiz asal çiftinin elemanı olarak kabul edilemezdi çünkü 27 asal değildir. Ancak 31 ile bir çift oluşturur. Sorunun ifade biçimi nedeniyle bu örnekte belirsizlik vardır. Varsayımsal olarak, "kendisi ile arasındaki fark 2 olan başka bir asal sayı yoktur" anlamı kastediliyorsa, cevap 29 olurdu. Ancak mevcut soru metniyle bu net değil. En yaygın ikiz asal çiftleri şunlardır: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31). Bu çiftlere bakıldığında, 29 bu çiftlerden birinin elemanıdır. Bu nedenle soru metninde bir hata olduğu düşünülmektedir. Bu soruyu ALES müfredatı ve mantığına uygun hale getirmek için, seçenekler şöyle olabilirdi: Örnek Düzeltme 2 (Daha Net): Ardışık iki asal sayının farkı 2'dir. Bu tür asal sayılara "ikiz asal sayılar" denir. Aşağıdaki sayılardan hangisi, kendisi ile arasındaki fark 2 olan başka bir asal sayı ile bir ikiz asal çifti oluşturmaz? 🧐 a) 3 b) 5 c) 11 d) 17 e) 23 Çözüm (Örnek Düzeltme 2 için):

• a) 3: 3+2=5 asal. (3,5) çifti.
• b) 5: 5-2=3 asal. (3,5) çifti. 5+2=7 asal. (5,7) çifti.
• c) 11: 11+2=13 asal. (11,13) çifti.
• d) 17: 17+2=19 asal. (17,19) çifti.
• e) 23: 23-2=21 asal değil. 23+2=25 asal değil. Dolayısıyla 23, ikiz asal çifti oluşturmaz. ✅

Bu durumda doğru cevap e) 23 olurdu.

Öncelikle 'K' harfinin alfabedeki sırasını bulmalıyız. Alfabede 'A' 1, 'B' 2, ..., 'K' ise 11. sıradadır. 🚀 Şimdi 11 sayısının asal çarpanlarını bulmalıyız. 11 sayısı bir asal sayıdır. Asal sayıların kendisinden ve 1'den başka böleni yoktur. Bu kurala göre, bir sayının asal çarpanlarının toplamı isteniyorsa ve sayı asal ise, o sayının kendisi bu toplamı oluşturur. Yani, 11'in asal çarpanları sadece 11'dir. Bu durumda, 'K' harfinin sayısal değeri 11'dir. ✅ Önemli Not: Soruda verilen 'A' harfi için 0 kabul edilmesi veya özel durum olarak ele alınması, 1'in asal çarpanı olmamasından kaynaklanmaktadır. Diğer örneklerdeki gibi, asal olan sayıların kendisi değer olarak alınır.

Çiftçi, 12 domatesi asal sayılarla paketlemek istiyor. Bu, 12 sayısının asal çarpanlarına ayrılması anlamına gelir. 💡 12 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• 12'nin en küçük asal böleni 2'dir. 12 ÷ 2 = 6
• 6'nın en küçük asal böleni 2'dir. 6 ÷ 2 = 3
• 3'ün en küçük asal böleni 3'tür. 3 ÷ 3 = 1

Bu durumda 12'nin asal çarpanları 2, 2 ve 3'tür. Yani, çiftçi domatesleri şu şekilde asal sayılarla paketleyebilir:

• Paket başına 2 domates koyup 6 paket yapabilir (2 asal).
• Paket başına 3 domates koyup 4 paket yapabilir (3 asal).

Soruda "kaç farklı şekilde asal sayılara ayırabilir" deniyor. Bu, 12'nin asal çarpanlarını kullanarak oluşturulabilecek farklı paketleme senaryolarını soruyor. Eğer her paketteki domates sayısı asal olmalıysa ve toplam 12 domates varsa, bu şu anlamlara gelir:

• 12 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 (6 paket, her biri 2 domatesli)
• 12 = 3 + 3 + 3 + 3 (4 paket, her biri 3 domatesli)
• 12 = 2 + 2 + 2 + 3 + 3 (5 paket, 3 tanesi 2'li, 2 tanesi 3'lü) - Bu durumda paket sayısı sabit değil.

Ancak sorunun genel mantığı, 12'yi oluşturan asal çarpanları vurgulamaktır. Bu durumda, 12'nin asal çarpanları 2 ve 3'tür. Çiftçi, paketlerini 2'şerli veya 3'erli gruplayabilir. Eğer soru, 12'yi sadece asal sayılar şeklinde toplamlara ayırmaksa (Goldbach Hipotezi gibi, ancak bu çift sayılar için geçerli), o zaman farklı yaklaşımlar olabilir. Ancak sorunun "paketlerdeki domates sayısı asal sayı olmalıdır" ifadesi, paket başına düşen domates sayısının asal olmasını istiyor. 12'yi asal sayılarla çarpanlarına ayırdığımızda 2 x 2 x 3 elde ederiz. Bu şu anlama gelir:

• Çiftçi, 2'şerli paketler yapabilir. Bu durumda 12 / 2 = 6 paket olur.
• Çiftçi, 3'erli paketler yapabilir. Bu durumda 12 / 3 = 4 paket olur.

Dolayısıyla, çiftçi domatesleri 2 farklı şekilde (paket başına 2 domates veya paket başına 3 domates) asal sayılarla paketleyebilir. ✅