💡 ALES Matematik: Mantık Çözümlü Sorular

Önermelerin doğruluk değerlerini inceleyelim:

• P önermesi yanlıştır. Çünkü çift olmayan tam sayılar da vardır (örneğin 3).
• Q önermesi doğrudur. Çünkü 2 dışındaki tüm asal sayılar tektir (örneğin 3, 5, 7).
• R önermesi yanlıştır. Çünkü 2 + 3 = 5'tir.
• S önermesi yanlıştır. Çünkü bir gün 24 saattir.

Bu durumda doğru olan önerme Q'dur. 👉 ✅

Bir önermenin olumsuzu, o önermenin doğru olduğu durumda yanlış, yanlış olduğu durumda doğru olan önermedir.
"Ali okula gitti." önermesinin olumsuzu, Ali'nin okula gitmediği durumu ifade eder.
Bu nedenle doğru cevap: "Ali okula gitmedi." önermesidir. 💡

"ve" ( o) bağlacının doğruluk tablosunu hatırlayalım:

• Doğru o Doğru = Doğru
• Doğru o Yanlış = Yanlış
• Yanlış o Doğru = Yanlış
• Yanlış o Yanlış = Yanlış

p o q önermesinin yanlış olması için,
p'nin doğru ve q'nun yanlış olması,
p'nin yanlış ve q'nun doğru olması,
veya her ikisinin de yanlış olması durumları mümkündür.
Ancak soruda p o q önermesinin yanlış olduğu belirtilmiş. Bu durumda, p ve q'nun doğruluk değerleri için tek bir kombinasyonun kesin olarak yanlış olduğunu söyleyemeyiz.
Eğer soru "p o q önermesi doğru olduğuna göre" şeklinde olsaydı, o zaman hem p hem de q'nun doğru olması gerekirdi.
Soruda p o q'nun yanlış olduğu belirtildiği için, bu önermenin yanlış olması için birden fazla durum mümkündür.
Ancak, eğer soru "p o q önermesi yalnızca yanlış ise" şeklinde olsaydı, bu durumda p'nin doğru, q'nun yanlış olduğu durum söz konusu olurdu.
Soruda verilen bilgiyle kesin bir sonuca varmak için ek bilgi gereklidir.
Not: Sorunun orijinalinde bir eksiklik olabilir. Eğer "p o q önermesi doğru" olsaydı, cevap (D, D) olurdu. Eğer "p ise q önermesi yanlış" olsaydı, cevap (D, Y) olurdu. Mevcut haliyle, p o q'nun yanlış olması için (D, Y), (Y, D), (Y, Y) durumları mümkündür.
Soruyu "p o q önermesi doğru" olarak kabul edersek:
p o q önermesinin doğru olması için her iki önermenin de doğru olması gerekir.
Bu durumda p'nin doğruluk değeri Doğru ve q'nun doğruluk değeri Doğru olur. 👉 ✅

"ise" (->) bağlacının doğruluk tablosunda, sonucun yanlış olduğu tek bir durum vardır:

• Doğru -> Yanlış = Yanlış

Diğer tüm durumlarda sonuç doğrudur.
p -> q önermesi yanlış olduğuna göre, bu durum ancak p'nin doğru ve q'nun yanlış olmasıyla mümkündür.
Bu nedenle:
p'nin doğruluk değeri Doğru'dur.
q'nun doğruluk değeri Yanlış'tır. 👉 ✅

Önermeyi p -> q şeklinde ifade edelim:
p: "Her gün düzenli çalışırım."
q: "Sınavı kazanırım."
Önermemiz: p -> q
Bu önermenin yanlış olması için tek bir durum vardır:

• p'nin Doğru olması (Yani öğrenci her gün düzenli çalışıyor)
• q'nun Yanlış olması (Yani öğrenci sınavı kazanamıyor)

Bu durumda, öğrenci her gün düzenli çalışmasına rağmen sınavı kazanamamıştır.
Dolayısıyla, kesinlikle doğru olan çıkarım şudur: Öğrenci her gün düzenli çalışmıştır ancak sınavı kazanamamıştır. 💡

Kampanya duyurusunu bir "ise" önermesi olarak düşünebiliriz:
p: "100 TL ve üzeri alışveriş yaptım."
q: "Kargo ücretsizdir."
Kampanya önermesi: p -> q
Müşterinin durumu:

• p önermesi yanlıştır (çünkü 80 TL alışveriş yaptı, 100 TL'yi aşmadı).
• q önermesi yanlıştır (çünkü kargo ücreti ödedi, yani kargo ücretsiz olmadı).

"ise" bağlacında, öncül (p) yanlış olduğunda sonucun (q) doğru veya yanlış olması önermenin doğruluğunu değiştirmez. Yani, Yanlış -> Yanlış önermesi doğrudur.
Bu durum, kampanya koşulunun (100 TL üzeri alışveriş) sağlanmadığı durumlarda kargonun ücretsiz olmaması (yani ücretli olması) ile çelişmez. Kampanya sadece 100 TL ve üzeri alışverişler için kargo bedava olacağını garanti eder.
Müşterinin durumu, kampanya önermesinin doğru olduğunu göstermektedir. 👉 ✅

Çelişki, her zaman yanlış olan önermelerdir.
Önermelerin doğruluk değerlerini inceleyelim:

• A) "Bugün Pazartesi'dir" doğru ise, "yarın Salı'dır" da doğrudur. Doğru o Doğru = Doğru.
• B) "Bugün Pazartesi'dir" veya "yarın Salı'dır" önermelerinden en az biri doğru ise sonuç doğrudur.
• C) Bu önerme, gerçek hayatta genellikle yanlıştır ancak mantıksal olarak doğru olabilir (örneğin, bir taraf yağarken diğer taraf güneşli olabilir).
• D) "Yağmur yağıyor" önermesi p olsun. O zaman önerme "p veya p'nin değili" şeklindedir. Bu, totolojidir, yani her zaman doğrudur.

Soruda bir hata olabilir. Genellikle çelişki önermeleri, her zaman yanlış olan ifadelerdir. Örneğin: "Bugün Pazartesi'dir ve bugün Pazartesi değildir."
Eğer seçenekler arasında bu tür bir ifade olsaydı, o çelişki olurdu.
Seçenek D, "p veya p'" şeklinde bir totolojidir (her zaman doğrudur).
Seçenek A, p o q (p ve q) şeklinde bir önermedir. Eğer p doğruysa q da doğrudur, dolayısıyla önerme doğrudur.
Seçenek C, iki olayın aynı anda gerçekleşmesiyle ilgilidir ve gerçek hayattaki duruma göre doğruluğu değişebilir.
Düzeltme: Eğer soruda "totoloji" soruluyor olsaydı, cevap D olurdu. Eğer "çelişki" soruluyorsa, seçeneklerde buna uygun bir ifade bulunmamaktadır.
Varsayım: Sorunun amacı, "her zaman doğru olan" (totoloji) bir ifadeyi bulmak ise, cevap D'dir.
Varsayım 2: Sorunun amacı, "her zaman yanlış olan" (çelişki) bir ifadeyi bulmak ise, seçeneklerde böyle bir ifade yoktur. Ancak, eğer C seçeneğini "Yağmur yağıyor ve yağmıyor" şeklinde anlarsak, bu bir çelişkidir.
Sorunun en yakın cevabı, mantıksal olarak her zaman doğru olan D seçeneğidir. 💡

Önermeyi p -> q şeklinde ifade edelim:
p: "Bir sayının karesi pozitiftir."
q: "O sayı sıfırdan farklıdır."
Önermemiz: p -> q
Bu önermenin doğru olması için, p'nin doğru olduğu her durumda q'nun da doğru olması gerekir.
Önermenin yanlış olması için ise tek bir durum vardır:

• p'nin Doğru olması (Yani sayının karesi pozitif)
• q'nun Yanlış olması (Yani sayının kendisi sıfırdır)

Şimdi verilen sayıları inceleyelim:

• Sayı 3 ise: Karesi 9'dur (pozitif). Kendisi 3'tür (sıfırdan farklı). Önerme: Doğru -> Doğru = Doğru.
• Sayı -2 ise: Karesi 4'tür (pozitif). Kendisi -2'dir (sıfırdan farklı). Önerme: Doğru -> Doğru = Doğru.
• Sayı 0 ise: Karesi 0'dır (pozitif değildir). Kendisi 0'dır (sıfır). Önerme: Yanlış -> Yanlış = Doğru.

Önermenin yanlış olabilmesi için, sayının karesinin pozitif olması (p'nin doğru) ve sayının kendisinin sıfır olması (q'nun yanlış) gerekir.
Ancak, sayının karesinin pozitif olması durumu, sayının kendisinin sıfır olmasını engeller. Eğer sayı sıfır ise, karesi de sıfırdır (pozitif değildir).
Bu durumda, önermenin yanlış olabileceği bir sayı yoktur. Önerme her zaman doğrudur.
Düzeltme: Soruda bir yanılgı olabilir. Eğer önerme "Eğer bir sayının karesi pozitif değil ise, o sayı sıfırdır." şeklinde olsaydı, o zaman yanlış olacağı durum sıfır olurdu.
Mevcut önerme "Eğer bir sayının karesi pozitif ise, o sayı sıfırdan farklıdır." önermesi, matematiksel olarak her zaman doğrudur (totolojidir).
Bu nedenle, bu önermenin yanlış olacağı bir sayı yoktur. 👉 ✅

Anonsu bir "ise" önermesi olarak kuralım:
p: "Kırmızı ışık yanıyor."
q: "Durmak zorundayız."
Anons: p -> q
Şoförün durumu:

• p önermesi doğrudur (çünkü kırmızı ışık yanıyordu).
• q önermesi yanlıştır (çünkü durmadı, yani durmak zorunda değildi gibi davrandı).

"ise" bağlacında, p -> q önermesinin yanlış olduğu tek durum, p'nin doğru ve q'nun yanlış olmasıdır.
Bu durumda, şoförün yaptığı hareket, kendi anonsunun yanlış olduğunu göstermiştir. 💡