🎓 ALES
📚 ALES Matematik
💡 ALES Matematik: İleri Derece Problem Çözme Çözümlü Sorular
ALES Matematik: İleri Derece Problem Çözme Çözümlü Sorular
Soru 1:
Bir otobüsteki yolcuların \(\frac{2}{5}\)'si erkektir. Erkek yolcuların \(\frac{1}{4}\)'ü, kadın yolcuların ise \(\frac{1}{3}\)'ü ayakta durmaktadır. Otobüste oturan erkek yolcu sayısı, ayakta duran kadın yolcu sayısından 5 fazla olduğuna göre, otobüsteki toplam yolcu sayısı kaçtır?
Çözüm:
- 💡 Toplam Yolcu Sayısını Belirleme:
Toplam yolcu sayısına \(x\) diyelim. - 📌 Erkek ve Kadın Yolcu Sayıları:
Erkek yolcu sayısı: \(\frac{2x}{5}\)
Kadın yolcu sayısı: \(x - \frac{2x}{5} = \frac{3x}{5}\) - 👉 Ayakta Duran Yolcular:
Ayakta duran erkek yolcu sayısı: \(\frac{1}{4} \cdot \frac{2x}{5} = \frac{x}{10}\)
Ayakta duran kadın yolcu sayısı: \(\frac{1}{3} \cdot \frac{3x}{5} = \frac{x}{5}\) - 👉 Oturan Yolcular:
Oturan erkek yolcu sayısı: Erkek yolcu sayısı - Ayakta duran erkek yolcu sayısı \(= \frac{2x}{5} - \frac{x}{10} = \frac{4x - x}{10} = \frac{3x}{10}\)
Oturan kadın yolcu sayısı: Kadın yolcu sayısı - Ayakta duran kadın yolcu sayısı \(= \frac{3x}{5} - \frac{x}{5} = \frac{2x}{5}\) - 📌 Denklemi Kurma:
Soruda verilen bilgiye göre, oturan erkek yolcu sayısı, ayakta duran kadın yolcu sayısından 5 fazladır. Bu durumda denklem: \(\frac{3x}{10} = \frac{x}{5} + 5\) - 💡 Denklemi Çözme:
Denklemin her iki tarafını 10 ile çarpalım:
\(10 \cdot \frac{3x}{10} = 10 \cdot \frac{x}{5} + 10 \cdot 5\)
\(3x = 2x + 50\)
\(3x - 2x = 50\)
\(x = 50\) - ✅ Sonuç:
Otobüsteki toplam yolcu sayısı 50'dir.
Soru 2:
Bir mağaza, bir ürüne önce %20 zam yapıyor. Daha sonra bu ürünü zamlı fiyat üzerinden %10 indirimli satarak 72 TL kar elde ediyor. Eğer mağaza başlangıçtaki fiyat üzerinden %30 zam yapsaydı kaç TL kar elde ederdi?
Çözüm:
- 💡 Maliyet Fiyatını Belirleme:
Ürünün başlangıçtaki maliyet fiyatına \(M\) diyelim. - 📌 İlk Zamlı Fiyat:
%20 zamlı fiyat: \(M + 0.20M = 1.2M\) - 👉 İndirimli Satış Fiyatı:
Zamlı fiyat üzerinden %10 indirim yapılıyor:
\(1.2M - (1.2M \cdot 0.10) = 1.2M - 0.12M = 1.08M\) - 📌 Elde Edilen Kar:
Mağaza bu satıştan 72 TL kar elde ediyor. Kar = Satış Fiyatı - Maliyet Fiyatı.
\(1.08M - M = 72\)
\(0.08M = 72\) - 💡 Maliyet Fiyatını Bulma:
\(M = \frac{72}{0.08} = \frac{7200}{8} = 900\) TL.
Ürünün maliyet fiyatı 900 TL'dir. - 👉 Yeni Senaryo: %30 Zam:
Mağaza başlangıç fiyatı üzerinden %30 zam yapsaydı, satış fiyatı:
\(900 + (900 \cdot 0.30) = 900 + 270 = 1170\) TL olurdu. - ✅ Elde Edilecek Kar:
Bu durumda elde edilecek kar: \(1170 - 900 = 270\) TL olurdu.
Soru 3:
Bir işi Ali tek başına 12 günde, Burak ise tek başına 18 günde bitirebilmektedir. İkisi birlikte işe başlıyor ve 4 gün çalıştıktan sonra Ali işi bırakıyor. Kalan işi Burak tek başına kaç günde bitirir?
Çözüm:
- 💡 İş Yapma Hızları:
Ali'nin 1 günde yaptığı iş miktarı: \(\frac{1}{12}\)
Burak'ın 1 günde yaptığı iş miktarı: \(\frac{1}{18}\) - 📌 Birlikte Çalışma:
İkisi birlikte 1 günde yaptıkları iş miktarı: \(\frac{1}{12} + \frac{1}{18}\)
Paydaları eşitleyelim (Ortak kat 36): \(\frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{5}{36}\) - 👉 4 Günde Yapılan İş:
Birlikte 4 gün çalıştıklarında yapılan iş miktarı: \(4 \cdot \frac{5}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}\) - 📌 Kalan İş:
Yapılan iş \(\frac{5}{9}\) olduğuna göre, kalan iş miktarı: \(1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}\) - 💡 Burak'ın Kalan İşi Bitirme Süresi:
Kalan işi Burak tek başına yapacaktır. Burak 1 günde işin \(\frac{1}{18}\)'ini yapıyor.
Kalan işin \(\frac{4}{9}\)'ünü bitirmesi için gereken gün sayısı \(T\) olsun.
\(T \cdot \frac{1}{18} = \frac{4}{9}\)
\(T = \frac{4}{9} \cdot 18\)
\(T = 4 \cdot 2\)
\(T = 8\) gün. - ✅ Sonuç:
Kalan işi Burak tek başına 8 günde bitirir.
Soru 4:
A şehrinden B şehrine doğru saatte 60 km hızla hareket eden bir araç, B şehrinden A şehrine doğru saatte 80 km hızla hareket eden başka bir araçla aynı anda yola çıkıyor. İki araç 3 saat sonra karşılaşıyor. Eğer A şehrinden hareket eden araç, diğer araçtan 1 saat sonra yola çıksaydı, karşılaştıklarında A şehrinden hareket eden araç kaç km yol almış olurdu?
Çözüm:
- 💡 A ve B Şehirleri Arasındaki Mesafe:
A'dan hareket eden aracın hızı \(V_A = 60\) km/sa.
B'den hareket eden aracın hızı \(V_B = 80\) km/sa.
İki araç 3 saat sonra karşılaştığına göre, aralarındaki mesafe \(X\) hızlar toplamı çarpı zaman formülüyle bulunur: \(X = (V_A + V_B) \cdot t\)
\(X = (60 + 80) \cdot 3 = 140 \cdot 3 = 420\) km.
A ve B şehirleri arası 420 km'dir. - 📌 Yeni Senaryo: A aracı 1 saat sonra yola çıkıyor:
A aracı 1 saat sonra yola çıktığı için, B aracı 1 saat boyunca tek başına yol alır.
1 saatte B aracının aldığı yol: \(80 \cdot 1 = 80\) km. - 👉 Kalan Mesafe:
B aracı 80 km yol aldıktan sonra, A aracı yola çıktığında iki araç arasındaki kalan mesafe: \(420 - 80 = 340\) km. - 📌 Karşılaşma Süresi (A aracı yola çıktıktan sonra):
A aracı yola çıktığında, iki araç arasındaki mesafe 340 km'dir ve artık ikisi de hareket etmektedir.
Karşılaşma süresi \(t'\) olsun: \(t' = \frac{\text{Kalan Mesafe}}{\text{Hızlar Toplamı}} = \frac{340}{60 + 80} = \frac{340}{140} = \frac{34}{14} = \frac{17}{7}\) saat. - 💡 A Aracının Aldığı Yol:
A aracı, yola çıktıktan sonra \(\frac{17}{7}\) saat hareket etmiştir.
A aracının aldığı yol: \(Y_A = V_A \cdot t' = 60 \cdot \frac{17}{7} = \frac{1020}{7}\) km. - ✅ Sonuç:
A şehrinden hareket eden araç karşılaştıklarında \(\frac{1020}{7}\) km yol almış olurdu.
Soru 5:
Bir babanın yaşı, iki çocuğunun yaşları toplamının 3 katıdır. 5 yıl sonra babanın yaşı, çocukların yaşları toplamının 2 katı olacaktır. Buna göre, babanın bugünkü yaşı kaçtır?
Çözüm:
- 💡 Değişkenleri Tanımlama:
Babanın bugünkü yaşına \(B\), çocukların bugünkü yaşları toplamına \(Ç\) diyelim. - 📌 Bugünkü Durum:
Babanın yaşı, iki çocuğunun yaşları toplamının 3 katıdır:
\(B = 3Ç\) (Denklem 1) - 👉 5 Yıl Sonraki Durum:
5 yıl sonra babanın yaşı \(B+5\) olur.
5 yıl sonra, her bir çocuk 5 yaş büyüyeceğinden, iki çocuğun yaşları toplamı \(Ç + 5 + 5 = Ç + 10\) olur.
5 yıl sonra babanın yaşı, çocukların yaşları toplamının 2 katı olacaktır:
\(B+5 = 2(Ç+10)\)
\(B+5 = 2Ç+20\) (Denklem 2) - 💡 Denklemleri Çözme:
Denklem 1'deki \(B = 3Ç\) ifadesini Denklem 2'ye yerine yazalım:
\(3Ç + 5 = 2Ç + 20\)
\(3Ç - 2Ç = 20 - 5\)
\(Ç = 15\) - 📌 Babanın Bugünkü Yaşını Bulma:
Çocukların bugünkü yaşları toplamı 15 olduğuna göre, babanın bugünkü yaşı Denklem 1'den bulunur:
\(B = 3Ç = 3 \cdot 15 = 45\) - ✅ Sonuç:
Babanın bugünkü yaşı 45'tir.
Soru 6:
%20'si tuz olan 150 gram tuzlu su karışımının bir kısmı buharlaştırılıyor. Kalan karışımın %30'u tuz olduğuna göre, kaç gram su buharlaştırılmıştır?
Çözüm:
- 💡 Başlangıçtaki Tuz Miktarı:
Karışımın toplam ağırlığı 150 gram.
Tuz oranı %20.
Tuz miktarı: \(150 \cdot \frac{20}{100} = 150 \cdot 0.20 = 30\) gram. - 📌 Buharlaştırılan Su Miktarı:
Buharlaştırılan su miktarına \(x\) gram diyelim. - 👉 Kalan Karışımın Ağırlığı:
Su buharlaştığında tuz miktarı değişmez, sadece karışımın toplam ağırlığı azalır.
Kalan karışımın ağırlığı: \(150 - x\) gram. - 📌 Kalan Karışımdaki Tuz Oranı:
Kalan karışımın %30'u tuz olduğuna göre, tuz miktarı (30 gram) değişmez.
Denklemi kuralım: \(\frac{\text{Tuz Miktarı}}{\text{Kalan Karışım Ağırlığı}} \cdot 100 = \text{Yeni Yüzde Oranı}\)
\[\frac{30}{150 - x} \cdot 100 = 30\] - 💡 Denklemi Çözme:
\[\frac{3000}{150 - x} = 30\] \(3000 = 30 \cdot (150 - x)\)
Her iki tarafı 30'a bölelim:
\(100 = 150 - x\)
\(x = 150 - 100\)
\(x = 50\) gram. - ✅ Sonuç:
50 gram su buharlaştırılmıştır.
Soru 7:
Aşağıdaki dairesel grafik, bir çiftçinin sahip olduğu toplam 72 dönüm arazinin ekili olduğu ürünlerin dağılımını göstermektedir.
Dairesel grafikteki açılar:
Bu çiftçi, arpa ekili arazisinin %20'sini, mısır ekili arazisinin ise %10'unu satmıştır. Buna göre, çiftçinin elinde kalan toplam ekili arazi kaç dönümdür?
Dairesel grafikteki açılar:
- Buğday: \(120^\circ\)
- Arpa: \(90^\circ\)
- Mısır: \(60^\circ\)
- Pirinç: Geriye kalan
Bu çiftçi, arpa ekili arazisinin %20'sini, mısır ekili arazisinin ise %10'unu satmıştır. Buna göre, çiftçinin elinde kalan toplam ekili arazi kaç dönümdür?
Çözüm:
- 💡 Toplam Arazi ve Açı İlişkisi:
Dairesel grafikteki toplam açı \(360^\circ\)'dir ve bu 72 dönüm araziye karşılık gelmektedir.
Her \(1^\circ\)'lik açının kaç dönüme karşılık geldiğini bulalım: \(\frac{72 \text{ dönüm}}{360^\circ} = \frac{1}{5}\) dönüm/derece. - 📌 Her Bir Ürünün Ekili Alanı (Dönüm):
- Buğday: \(120^\circ \cdot \frac{1}{5} = 24\) dönüm
- Arpa: \(90^\circ \cdot \frac{1}{5} = 18\) dönüm
- Mısır: \(60^\circ \cdot \frac{1}{5} = 12\) dönüm
- Pirinç: Geriye kalan açı: \(360^\circ - (120^\circ + 90^\circ + 60^\circ) = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ\)
Pirinç ekili alan: \(90^\circ \cdot \frac{1}{5} = 18\) dönüm
- 👉 Satılan Araziler:
- Arpa ekili arazinin %20'si satılıyor: \(18 \cdot \frac{20}{100} = 18 \cdot 0.2 = 3.6\) dönüm.
- Mısır ekili arazinin %10'u satılıyor: \(12 \cdot \frac{10}{100} = 12 \cdot 0.1 = 1.2\) dönüm.
- 📌 Kalan Araziler:
- Kalan Arpa arazisi: \(18 - 3.6 = 14.4\) dönüm.
- Kalan Mısır arazisi: \(12 - 1.2 = 10.8\) dönüm.
- Buğday ve Pirinç arazileri satılmadığı için aynı kalır: 24 dönüm (Buğday), 18 dönüm (Pirinç).
- 💡 Toplam Kalan Ekili Arazi:
Kalan toplam arazi: \(24 + 14.4 + 10.8 + 18 = 67.2\) dönüm. - ✅ Sonuç:
Çiftçinin elinde kalan toplam ekili arazi 67.2 dönüm'dür.
Soru 8:
Ayşe, Burcu, Can, Deniz ve Elif isimli beş arkadaş bir sınavdan farklı tam puanlar almıştır. Aldıkları puanlarla ilgili bilinenler şunlardır:
Buna göre, bu beş arkadaşın puan sıralaması aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğru olabilir? (Örnek bir sıralama belirtiniz.)
- Ayşe'nin puanı, Can'ın puanından yüksektir.
- Deniz'in puanı, Burcu'nun puanından düşüktür.
- Elif'in puanı, Ayşe'nin puanından yüksektir.
- Can'ın puanı, Deniz'in puanından yüksektir.
Buna göre, bu beş arkadaşın puan sıralaması aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğru olabilir? (Örnek bir sıralama belirtiniz.)
Çözüm:
- 💡 Verilen Bilgileri Sıralama Notasyonuna Çevirme:
Puanları büyükten küçüğe doğru sıralayalım:- Ayşe'nin puanı, Can'ın puanından yüksektir: \(A > C\)
- Deniz'in puanı, Burcu'nun puanından düşüktür: \(B > D\)
- Elif'in puanı, Ayşe'nin puanından yüksektir: \(E > A\)
- Can'ın puanı, Deniz'in puanından yüksektir: \(C > D\)
- 📌 Sıralamaları Birleştirme:
Yukarıdaki ilişkileri kullanarak bir zincir oluşturalım:- \(E > A\) (3. bilgi)
- \(A > C\) (1. bilgi)
- \(C > D\) (4. bilgi)
- 👉 Kalan Bilgiyi Yerleştirme:
Geriye kalan bilgi \(B > D\)'dir. Bu, Burcu'nun puanının Deniz'in puanından yüksek olduğunu gösterir. Ancak Burcu'nun puanı, Can, Ayşe veya Elif'ten yüksek mi düşük mü, bu bilgilerden kesin olarak çıkarılamaz. Bu durumda, \(B\)'nin yeri \(D\)'den büyük olmak kaydıyla farklı konumlarda olabilir. - 💡 Olası Bir Sıralama Oluşturma:
\(E > A > C > D\) zincirini koruyarak ve \(B > D\) koşulunu sağlayacak şekilde birçok farklı sıralama mümkün olabilir. Soruda "kesinlikle doğru olabilir" ifadesi, bu koşulları sağlayan geçerli bir sıralamayı belirtmemizi ister.
Örneğin, Burcu'nun puanı Ayşe ile Can arasında olabilir. Bu durumda: \(E > A > B > C > D\) - 📌 Kontrol Edelim:
Bu sıralama verilen tüm koşulları sağlıyor mu?- \(A > C\): Evet, Ayşe'nin puanı Can'dan yüksektir.
- \(B > D\): Evet, Burcu'nun puanı Deniz'den yüksektir.
- \(E > A\): Evet, Elif'in puanı Ayşe'den yüksektir.
- \(C > D\): Evet, Can'ın puanı Deniz'den yüksektir.
- ✅ Sonuç:
Verilen koşulları sağlayan kesinlikle doğru olabilecek bir puan sıralaması:
Elif > Ayşe > Burcu > Can > Deniz
Soru 9:
Bir havuzun \(\frac{2}{3}\)'ü su ile doludur. Havuzdaki suyun \(\frac{1}{4}\)'ü boşaltıldığında, havuzun boş kısmının hacmi 90 litre artıyor. Buna göre, havuzun tamamı kaç litre su alır?
Çözüm:
- 💡 Havuzun Toplam Hacmi ve Mevcut Su Miktarı:
Havuzun toplam hacmine \(V\) diyelim.
Başlangıçta havuzdaki su miktarı: \(\frac{2V}{3}\) - 📌 Boşaltılan Su Miktarı:
Havuzdaki suyun \(\frac{1}{4}\)'ü boşaltılıyor:
Boşaltılan su miktarı: \(\frac{1}{4} \cdot \frac{2V}{3} = \frac{2V}{12} = \frac{V}{6}\) - 👉 Havuzda Kalan Su Miktarı:
Başlangıçtaki su miktarı - Boşaltılan su miktarı \(= \frac{2V}{3} - \frac{V}{6} = \frac{4V - V}{6} = \frac{3V}{6} = \frac{V}{2}\) - 📌 Boş Kısmın Başlangıçtaki Hacmi:
Başlangıçta dolu kısım \(\frac{2V}{3}\) ise, boş kısım \(V - \frac{2V}{3} = \frac{V}{3}\) idi. - 👉 Boşaltma Sonrası Boş Kısmın Hacmi:
Su boşaltıldıktan sonra havuzda \(\frac{V}{2}\) su kaldı.
Yeni boş kısım: \(V - \frac{V}{2} = \frac{V}{2}\) - 💡 Boş Kısmın Hacmindeki Artış:
Soruda "havuzun boş kısmının hacmi 90 litre artıyor" deniyor.
Yeni boş kısım - Başlangıçtaki boş kısım = 90 litre
\[\frac{V}{2} - \frac{V}{3} = 90\] - 💡 Denklemi Çözme:
Paydaları eşitleyelim (Ortak kat 6):
\[\frac{3V}{6} - \frac{2V}{6} = 90\] \[\frac{V}{6} = 90\] \(V = 90 \cdot 6\)
\(V = 540\) litre. - ✅ Sonuç:
Havuzun tamamı 540 litre su alır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/ales-matematik-problemler/sorular