💡 AYT Matematik: Türev Çözümlü Sorular

• 👉 Kuvvet Kuralı: Bir terimin türevi \( (ax^n)' = n \cdot ax^{n-1} \) şeklinde alınır.
• 👉 Sabit Terimin Türevi: Bir sabit sayının türevi her zaman sıfırdır.
• 👉 Toplama/Çıkarma Kuralı: Fonksiyonların toplamının veya farkının türevi, türevlerinin toplamı veya farkıdır.

• İlk terim \( (3x^4)' \): Kuvvet kuralına göre \( 4 \cdot 3x^{4-1} = 12x^3 \).
• İkinci terim \( (-2x^3)' \): Kuvvet kuralına göre \( 3 \cdot (-2)x^{3-1} = -6x^2 \).
• Üçüncü terim \( (5x)' \): Kuvvet kuralına göre \( 1 \cdot 5x^{1-1} = 5x^0 = 5 \).
• Dördüncü terim \( (-7)' \): Sabit terim olduğu için türevi \( 0 \)'dır.

Bu adımları birleştirirsek, \( f'(x) \) fonksiyonu aşağıdaki gibi bulunur:

✅ Sonuç: Fonksiyonun türevi \( f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 5 \) olarak bulunur.

• Öncelikle \( u(x) = x^2 + 3x \) ve \( v(x) = 4x - 1 \) olarak belirleyelim.
• Şimdi bu fonksiyonların ayrı ayrı türevlerini alalım:
• \( u'(x) = (x^2 + 3x)' = 2x + 3 \)
• \( v'(x) = (4x - 1)' = 4 \)
• Bulduğumuz bu türevleri çarpım kuralı formülünde yerine yazalım:
\[ g'(x) = (2x + 3)(4x - 1) + (x^2 + 3x)(4) \]
• Şimdi bu ifadeyi düzenleyelim ve sadeleştirelim:
\[ g'(x) = (8x^2 - 2x + 12x - 3) + (4x^2 + 12x) \] \[ g'(x) = 8x^2 + 10x - 3 + 4x^2 + 12x \] \[ g'(x) = 12x^2 + 22x - 3 \]

✅ Sonuç: Fonksiyonun türevi \( g'(x) = 12x^2 + 22x - 3 \) olarak bulunur.

• Öncelikle \( u(x) = 2x - 5 \) ve \( v(x) = x^2 + 1 \) olarak belirleyelim.
• Şimdi bu fonksiyonların ayrı ayrı türevlerini alalım:
• \( u'(x) = (2x - 5)' = 2 \)
• \( v'(x) = (x^2 + 1)' = 2x \)
• Bulduğumuz bu türevleri bölüm kuralı formülünde yerine yazalım:
\[ h'(x) = \frac{(2)(x^2 + 1) - (2x - 5)(2x)}{(x^2 + 1)^2} \]
• Şimdi pay kısmını düzenleyelim ve sadeleştirelim:
\[ h'(x) = \frac{2x^2 + 2 - (4x^2 - 10x)}{(x^2 + 1)^2} \] \[ h'(x) = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2 + 10x}{(x^2 + 1)^2} \] \[ h'(x) = \frac{-2x^2 + 10x + 2}{(x^2 + 1)^2} \]

✅ Sonuç: Fonksiyonun türevi \( h'(x) = \frac{-2x^2 + 10x + 2}{(x^2 + 1)^2} \) olarak bulunur.

• Öncelikle dış fonksiyonun türevini alalım: \( (\sin(u))' = \cos(u) \).
• Sonra iç fonksiyonun türevini alalım: \( (3x^2 - x)' = 6x - 1 \).
• Şimdi bu iki ifadeyi zincir kuralına göre çarpalım:
\[ \frac{dy}{dx} = \cos(3x^2 - x) \cdot (6x - 1) \]
• Genellikle parantezli ifade başa yazılır, bu daha düzenli bir görünüm sağlar:
\[ \frac{dy}{dx} = (6x - 1) \cos(3x^2 - x) \]

✅ Sonuç: Fonksiyonun türevi \( \frac{dy}{dx} = (6x - 1) \cos(3x^2 - x) \) olarak bulunur.

• Adım 1: Teğet noktasını bulalım.
  \( x_0 = 1 \) için \( f(1) \) değerini hesaplayalım:
  \( y_0 = f(1) = (1)^3 - 2(1)^2 + 3(1) - 1 = 1 - 2 + 3 - 1 = 1 \).
  Yani teğet noktası \( (x_0, y_0) = (1, 1) \)'dir.
• Adım 2: Teğetin eğimini bulalım.
  Teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevinin değerine eşittir. Önce \( f'(x) \) türev fonksiyonunu bulalım:
  \( f'(x) = (x^3 - 2x^2 + 3x - 1)' = 3x^2 - 4x + 3 \).
  Şimdi \( x = 1 \) noktasındaki eğimi bulmak için \( f'(1) \) değerini hesaplayalım:
  \( m = f'(1) = 3(1)^2 - 4(1) + 3 = 3 - 4 + 3 = 2 \).
  Yani teğetin eğimi \( m = 2 \)'dir.
• Adım 3: Teğet denklemini yazalım.
  Bulduğumuz \( (x_0, y_0) = (1, 1) \) noktasını ve \( m = 2 \) eğimini \( y - y_0 = m(x - x_0) \) formülünde yerine yazalım:
  \( y - 1 = 2(x - 1) \)
  \( y - 1 = 2x - 2 \)
  \( y = 2x - 1 \)

✅ Sonuç: Fonksiyonun \( x = 1 \) noktasındaki teğetinin denklemi \( y = 2x - 1 \) olarak bulunur.

• Adım 1: Fonksiyonun türevini bulalım.
  \( f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 9x + 5)' = 3x^2 - 6x - 9 \).
• Adım 2: Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulalım.
  \( 3x^2 - 6x - 9 = 0 \)
  Her tarafı 3'e bölelim:
  \( x^2 - 2x - 3 = 0 \)
  Bu denklemi çarpanlarına ayırırsak:
  \( (x - 3)(x + 1) = 0 \)
  Buradan kritik noktalar \( x = 3 \) ve \( x = -1 \) olarak bulunur.
• Adım 3: İşaret tablosu oluşturarak artanlık/azalanlık ve ekstremumları belirleyelim.
  \( f'(x) = 3(x - 3)(x + 1) \) ifadesinin işaretini inceleyelim. Parabolün kolları yukarı doğru olduğu için kökler arasında negatif, köklerin dışında pozitiftir.
  • \( x < -1 \) için \( f'(x) > 0 \) (Fonksiyon artan)
  • \( -1 < x < 3 \) için \( f'(x) < 0 \) (Fonksiyon azalan)
  • \( x > 3 \) için \( f'(x) > 0 \) (Fonksiyon artan)
• Adım 4: Ekstremum noktalarının koordinatlarını hesaplayalım.
  
  • \( x = -1 \) noktasında türev pozitiften negatife geçtiği için yerel maksimum vardır.
    \( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10 \).
    Yerel Maksimum Noktası: \( (-1, 10) \).
  • \( x = 3 \) noktasında türev negatiften pozitife geçtiği için yerel minimum vardır.
    \( f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22 \).
    Yerel Minimum Noktası: \( (3, -22) \).

✅ Sonuç: Fonksiyonun yerel maksimum noktası \( (-1, 10) \) ve yerel minimum noktası \( (3, -22) \)'dir.

• Adım 1: Kar fonksiyonunun türevini alalım.
  \( K(x) = -x^2 + 100x - 500 \)
  \( K'(x) = (-x^2 + 100x - 500)' = -2x + 100 \).
• Adım 2: Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulalım.
  \( -2x + 100 = 0 \)
  \( 2x = 100 \)
  \( x = 50 \).
• Adım 3: Bu noktanın gerçekten maksimum bir nokta olduğunu kontrol edelim (isteğe bağlı ama iyi bir pratik).
  İkinci türev testi yapabiliriz: \( K''(x) = (-2x + 100)' = -2 \).
  \( K''(50) = -2 < 0 \) olduğu için \( x = 50 \) noktasında bir yerel maksimum vardır. Bu, karın maksimum olduğu anlamına gelir.
• Adım 4: Maksimum kar miktarını bulalım (soruda istenmese de ek bilgi).
  \( K(50) = -(50)^2 + 100(50) - 500 \)
  \( K(50) = -2500 + 5000 - 500 \)
  \( K(50) = 2000 \) TL.

✅ Sonuç: Şirketin maksimum kar elde etmesi için 50 adet ürün satması gerekmektedir.

• Adım 1: Hız fonksiyonunu bulalım.
  Yükseklik fonksiyonu \( h(t) = -5t^2 + 20t \)'dir.
  Hız fonksiyonu \( v(t) = h'(t) \) olarak bulunur:
  \( v(t) = (-5t^2 + 20t)' = -10t + 20 \).
• Adım 2: Maksimum yüksekliğe ulaşıldığı zamanı bulalım.
  Maksimum yükseklikte hız sıfır olacağı için \( v(t) = 0 \) denklemini çözelim:
  \( -10t + 20 = 0 \)
  \( 10t = 20 \)
  \( t = 2 \) saniye.
• Adım 3: Maksimum yüksekliği hesaplayalım.
  \( t = 2 \) anındaki yüksekliği bulmak için \( h(t) \) fonksiyonunda \( t = 2 \) yerine yazalım:
  \( h(2) = -5(2)^2 + 20(2) \)
  \( h(2) = -5(4) + 40 \)
  \( h(2) = -20 + 40 \)
  \( h(2) = 20 \) metre.

✅ Sonuç: Top 2 saniyede maksimum yüksekliğe ulaşır ve bu maksimum yükseklik 20 metredir.