Matematik Konu Özeti

TYT Matematik, temel matematiksel kavramların kavranmasını, mantıksal akıl yürütme becerisini ve işlem yeteneğini ölçen temel yeterlilik alanıdır. Bu ders notunda MEB müfredatında yer alan temel kavramlar, sayılar, cebirsel bağıntılar ve problem çözme araçları bir arada sunulmuştur.

🔢 Sayı Kümeleri ve Temel Özellikler

Sayılar, matematikteki tüm işlemlerin temel yapı taşlarıdır ve özelliklerine göre kümelere ayrılır:

• Rakam: Sayıları yazmak için kullanılan sembollerdir: \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \)
• Doğal Sayılar Kümesi (\( \mathbb{N} \)): \( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} \)
• Sayma Sayıları Kümesi (\( \mathbb{N}^+ \)): \( \mathbb{N}^+ = \{1, 2, 3, \dots\} \)
• Tam Sayılar Kümesi (\( \mathbb{Z} \)): \( \mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\} \)
• Rasyonel Sayılar Kümesi (\( \mathbb{Q} \)): \( b \neq 0 \) ve \( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılardır.
• İrrasyonel Sayılar Kümesi (\( \mathbb{Q}' \)): Rasyonel olmayan, virgülden sonra devretmeksizin sonsuza giden sayılardır (\( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi, e \)).
• Gerçel (Reel) Sayılar Kümesi (\( \mathbb{R} \)): Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimidir: \( \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}' \)

Önemli Kural: Sıfır sayısı nötr bir tam sayıdır; işareti yoktur fakat çifttir.

Tek ve Çift Sayılar

\( n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere;

• Çift sayılar: \( 2n \) formülü ile gösterilir: \( \{\dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots\} \)
• Tek sayılar: \( 2n - 1 \) veya \( 2n + 1 \) formülü ile gösterilir: \( \{\dots, -3, -1, 1, 3, \dots\} \)

Toplama / Çıkarma	Çarpma
Tek \( \pm \) Tek = Çift	Tek \( \times \) Tek = Tek
Çift \( \pm \) Çift = Çift	Çift \( \times \) Çift = Çift
Tek \( \pm \) Çift = Tek	Tek \( \times \) Çift = Çift

Not: Çarpımları tek olan tam sayıların her bir çarpanı mutlaka tek olmak zorundadır. Çarpımları çift olan tam sayılardan en az biri çifttir.

Asal Sayılar ve Aralarında Asallık

• Asal Sayı: 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan, 1'den büyük doğal sayılardır: \( \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, \dots\} \)
• En küçük asal sayı 2'dir. 2 dışında çift asal sayı yoktur.
• Aralarında Asal Sayılar: 1 dışında ortak pozitif böleni olmayan sayılardır. Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez. Örneğin, 8 ile 9 aralarında asaldır.

📊 Sayı Basamakları ve Çözümleme

İki basamaklı \( ab \) ve üç basamaklı \( abc \) sayıları basamak değerlerine göre şu şekilde çözümlenir:

\[ ab = 10a + b \] \[ abc = 100a + 10b + c \] \[ ab + ba = 11(a + b) \] \[ ab - ba = 9(a - b) \]

➗ Bölünebilme Kuralları

• 2 ile Bölünebilme: Son basamağı çift olan sayılar tam bölünür.
• 3 ile Bölünebilme: Rakamları toplamı 3 veya 3'ün katı olan sayılar tam bölünür.
• 4 ile Bölünebilme: Son iki basamağının belirttiği sayı 00 veya 4'ün katı olan sayılar tam bölünür.
• 5 ile Bölünebilme: Son basamağı 0 veya 5 olan sayılar tam bölünür.
• 8 ile Bölünebilme: Son üç basamağının belirttiği sayı 000 veya 8'in katı olan sayılar tam bölünür.
• 9 ile Bölünebilme: Rakamları toplamı 9 veya 9'un katı olan sayılar tam bölünür.
• 10 ile Bölünebilme: Birler basamağı 0 olan sayılar tam bölünür.
• 11 ile Bölünebilme: Sayının basamakları sağdan sola doğru \( +, -, +, -, \dots \) şeklinde işaretlenerek toplanır. Elde edilen toplam 11'in katı ise sayı 11'e tam bölünür.

Aralarında Asal Çarpan Kuralı: Bir sayı aralarında asal iki sayıya tam bölünüyorsa, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür. (Örn: 6 için 2 ve 3; 12 için 3 ve 4; 36 için 4 ve 9).

📌 EBOB ve EKOK Özellikleri

\( a \) ve \( b \) pozitif tam sayılar olmak üzere:

\[ \text{EBOB}(a, b) \times \text{EKOK}(a, b) = a \times b \]

• \( a \) ve \( b \) aralarında asal ise: \( \text{EBOB}(a, b) = 1 \) ve \( \text{EKOK}(a, b) = a \times b \)
• Parçadan bütüne gidilen sorularda (küçük parçalardan büyük kutu yapma, nöbet soruları) EKOK kullanılır.
• Bütünden parçaya gidilen sorularda (tarla etrafına eşit aralıkla ağaç dikme, çuvallardaki ürünleri paketleme) EBOB kullanılır.

⚖️ Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer

Basit Eşitsizlik Özellikleri

• Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya çıkarılabilir; eşitsizlik yön değiştirmez.
• Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirmez.
• Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir: \[ x < y \text{ ve } c < 0 \implies c \times x > c \times y \]
• Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir: \[ a < b \text{ ve } c < d \implies a + c < b + d \]

Mutlak Değer

Bir reel sayının sayı doğrusu üzerindeki başlangıç noktasına olan uzaklığına mutlak değer denir ve \( |x| \) ile gösterilir.

\[ |x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases} \]

• Her \( x \in \mathbb{R} \) için \( |x| \ge 0 \)
• \( |-x| = |x| \)
• \( |x \times y| = |x| \times |y| \)
• \( a > 0 \) olmak üzere: \( |x| = a \implies x = a \) veya \( x = -a \)
• \( a > 0 \) olmak üzere: \( |x| \le a \implies -a \le x \le a \)
• \( a > 0 \) olmak üzere: \( |x| \ge a \implies x \ge a \) veya \( x \le -a \)

⚡ Üslü ve Köklü İfadeler

Üslü İfadelerin Kuralları

• \( a^0 = 1 \) (\( a \neq 0 \))
• \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
• \( a^x \times a^y = a^{x + y} \)
• \( \frac{a^x}{a^y} = a^{x - y} \)
• \( (a^x)^y = a^{x \times y} \)
• \( (a \times b)^x = a^x \times b^x \)

Köklü İfadelerin Kuralları

• \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \)
• Kök derecesi çift ise kök içi negatif olamaz: \( n \) çift iken \( \sqrt[n]{x} \implies x \ge 0 \)
• \( \sqrt{x^2} = |x| \)
• \( \sqrt[3]{x^3} = x \)
• \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \) (\( a \ge 0, b \ge 0 \))
• \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \) (\( a \ge 0, b > 0 \))

🧩 Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

• Ortak Çarpan Parantezi: \( ax + bx = x(a + b) \)
• İki Kare Farkı: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)
• Tam Kare Açılımı: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
• Üç Terimliyi Çarpanlara Ayırma: \( x^2 + (p + q)x + p \times q = (x + p)(x + q) \)

📈 Oran, Orantı ve Yüzdeler

• Doğru Orantı: İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa doğru orantılıdır. Bölümleri sabittir: \( \frac{y}{x} = k \)
• Ters Orantı: İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ters orantılıdır. Çarpımları sabittir: \( x \times y = k \)
• Aritmetik Ortalama: \( \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \)
• Yüzde Hesabı: \( A \) sayısının % \( x \)'i: \[ A \times \frac{x}{100} \]