Sayılar ve Temel Kavramlar Konu Özeti

Sayı Kümeleri

Sayıları belirli özelliklerine göre gruplandırdığımız kümelerdir.

Doğal Sayılar (\(\mathbb{N}\))

• Sayı saymaya yarayan sayılardır. Kümesi \(\{0, 1, 2, 3, \dots\}\) şeklindedir.
• Pozitif doğal sayılar \(\mathbb{N}^+\) veya sayma sayıları olarak adlandırılır ve \(\{1, 2, 3, \dots\}\) kümesini oluşturur.

Tam Sayılar (\(\mathbb{Z}\))

• Doğal sayılar ile doğal sayıların negatiflerinden oluşan kümedir. Kümesi \(\{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}\) şeklindedir.
• Pozitif Tam Sayılar: \(\mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \dots\}\)
• Negatif Tam Sayılar: \(\mathbb{Z}^- = \{\dots, -3, -2, -1\}\)
• Sıfır (0) ne pozitif ne de negatiftir.

Rasyonel Sayılar (\(\mathbb{Q}\))

• \(a\) bir tam sayı ve \(b\) sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, \(\frac{a}{b}\) şeklinde yazılabilen sayılardır.
• Örnekler: \( \frac{1}{2}, -3, 0.75, 5 \) (çünkü \(5 = \frac{5}{1}\) olarak yazılabilir).
• Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır.

İrrasyonel Sayılar (\(\mathbb{Q}'\))

• Rasyonel olmayan, yani \(\frac{a}{b}\) şeklinde yazılamayan sayılardır.
• Genellikle karekök dışına çıkamayan sayılar (\(\sqrt{2}, \sqrt{3}\)) ve özel sabitler (\(\pi, e\)) irrasyonel sayılara örnektir.
• Ondalık açılımları sonsuz ve düzensizdir (devirsizdir).

Reel (Gerçek) Sayılar (\(\mathbb{R}\))

• Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimiyle oluşan en geniş sayı kümesidir.
• Sayı doğrusundaki her noktaya karşılık gelen bir reel sayı vardır.
• Sayı kümeleri arasındaki ilişki: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) ve \(\mathbb{Q}' \subset \mathbb{R}\).

Tek ve Çift Sayılar

Tanım: Birler basamağı \(0, 2, 4, 6, 8\) olan tam sayılar çift sayı, birler basamağı \(1, 3, 5, 7, 9\) olan tam sayılar ise tek sayı olarak adlandırılır.

Önemli Not: Teklik ve çiftlik kavramı sadece tam sayılar için geçerlidir.

Tek ve Çift Sayıların Özellikleri

Aşağıdaki tabloda tek (T) ve çift (Ç) sayıların toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri gösterilmiştir:

İşlem	Sonuç
\(T + T\)	Ç
\(T + Ç\)	T
\(Ç + Ç\)	Ç
\(T - T\)	Ç
\(T - Ç\)	T
\(Ç - Ç\)	Ç
\(T \times T\)	T
\(T \times Ç\)	Ç
\(Ç \times Ç\)	Ç

• Bir çarpma işleminde çarpanlardan en az biri çift ise sonuç çifttir.
• Bir sayının herhangi bir pozitif tam sayı kuvveti (üs \(n \in \mathbb{Z}^+\)) için teklik/çiftlik değişmez.
  • \(T^n = T\)
  • \(Ç^n = Ç\)

Pozitif ve Negatif Sayılar

Tanım: Sıfırdan büyük sayılar pozitif, sıfırdan küçük sayılar ise negatif sayılardır. Sıfır ne pozitif ne de negatiftir.

İşaret Kuralları

• Toplama / Çıkarma:
  • Aynı işaretli iki sayı toplanırken işaretleri korunur. Örn: \(5+3=8\), \((-5)+(-3)=-8\).
  • Farklı işaretli iki sayı toplanırken mutlak değeri büyük olan sayının işareti alınır ve mutlak değerleri farkı bulunur. Örn: \((-5)+3=-2\), \(5+(-3)=2\).
• Çarpma / Bölme:
  • Aynı işaretli iki sayının çarpımı veya bölümü pozitiftir. \[ (+) \times (+) = (+), \quad (-) \times (-) = (+), \quad (+) \div (+) = (+), \quad (-) \div (-) = (+) \]
  • Farklı işaretli iki sayının çarpımı veya bölümü negatiftir. \[ (+) \times (-) = (-), \quad (-) \times (+) = (-), \quad (+) \div (-) = (-), \quad (-) \div (+) = (-) \]
• Üs Alma:
  • Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir. Örn: \( (2)^3 = 8 \), \( (2)^{-2} = \frac{1}{4} \).
  • Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
    • \( (-a)^{\text{çift}} = (+) \) Örn: \( (-2)^2 = 4 \)
    • \( (-a)^{\text{tek}} = (-) \) Örn: \( (-2)^3 = -8 \)

Ardışık Sayılar

Tanım: Belirli bir kurala göre art arda sıralanmış sayılara ardışık sayılar denir.

Ardışık Sayı Çeşitleri

• Ardışık Tam Sayılar: \(\dots, n-1, n, n+1, \dots\) (Farkları \(1\)'dir.)
• Ardışık Çift Sayılar: \(\dots, 2n-2, 2n, 2n+2, \dots\) (Farkları \(2\)'dir.)
• Ardışık Tek Sayılar: \(\dots, 2n-1, 2n+1, 2n+3, \dots\) (Farkları \(2\)'dir.)

Ardışık Sayıların Toplamı

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve toplamı aşağıdaki formüllerle bulunur:

• Terim Sayısı: \[ \text{Terim Sayısı} = \frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1 \]
• Toplam: \[ \text{Toplam} = \frac{(\text{İlk Terim} + \text{Son Terim}) \times \text{Terim Sayısı}}{2} \]

Basamak Kavramı ve Çözümleme

Bir sayıyı oluşturan rakamların bulunduğu yere göre aldığı değere basamak değeri, rakamın kendi değerine ise sayı değeri denir.

Çözümleme

Bir sayının basamak değerleri toplamı şeklinde yazılmasına çözümleme denir.

• İki basamaklı \(AB\) sayısı: \[ AB = 10 \times A + 1 \times B = 10A + B \]
• Üç basamaklı \(ABC\) sayısı: \[ ABC = 100 \times A + 10 \times B + 1 \times C = 100A + 10B + C \]
• Dört basamaklı \(ABCD\) sayısı: \[ ABCD = 1000 \times A + 100 \times B + 10 \times C + 1 \times D \]

Örnek: \(453\) sayısının çözümlenmiş hali \(4 \times 100 + 5 \times 10 + 3 \times 1 = 400 + 50 + 3\)'tür.

Faktöriyel

Tanım: \(n\) bir doğal sayı olmak üzere, \(1\)'den \(n\)'ye kadar olan tüm doğal sayıların çarpımına \(n\) faktöriyel denir ve \(n!\) şeklinde gösterilir. \[ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1 \]

Önemli Faktöriyel Değerleri

• \(0! = 1\) (Tanım gereği)
• \(1! = 1\)
• \(2! = 2 \times 1 = 2\)
• \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)
• \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)

Faktöriyel Özellikleri

• Büyük faktöriyeller küçük faktöriyeller cinsinden yazılabilir: \[ n! = n \times (n-1)! \] \[ n! = n \times (n-1) \times (n-2)! \]
• Bu özellik, faktöriyelli ifadelerin sadeleştirilmesinde sıkça kullanılır.

  Örnek: \( \frac{8!}{6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{6!} = 8 \times 7 = 56 \)