💡 11. Sınıf Matematik: Trigonometri Çözümlü Sorular
11. Sınıf Matematik: Trigonometri Çözümlü Sorular
Aşağıdaki açı ölçülerini istenen birimlere dönüştürünüz:
- \(150^\circ\) kaç radyandır?
- \(\frac{3\pi}{4}\) radyan kaç derecedir?
-
Dereceden Radyana Dönüşüm:
Derece cinsinden verilen bir açıyı radyana çevirmek için açıyı \(\frac{\pi}{180}\) ile çarparız.
👉 \(150^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{150\pi}{180}\)
👉 Sadeleştirme yaparsak, her iki tarafı 30'a böleriz: \(\frac{5\pi}{6}\) radyan.
✅ Yani, \(150^\circ = \frac{5\pi}{6}\) radyandır. -
Radyandan Dereceye Dönüşüm:
Radyan cinsinden verilen bir açıyı dereceye çevirmek için \(\pi\) yerine \(180^\circ\) yazarız.
👉 \(\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{4}\)
👉 İşlemi yaparsak: \(3 \cdot 45^\circ = 135^\circ\).
✅ Yani, \(\frac{3\pi}{4}\) radyan \(135^\circ\) derecedir.
\(\alpha = 240^\circ\) olmak üzere, \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\) ve \(\tan\alpha\) değerlerinin işaretlerini bulunuz.
-
Açının Bölgesini Belirleme:
\(\alpha = 240^\circ\) açısı \(180^\circ\) ile \(270^\circ\) arasındadır. Bu da 3. bölgeye denk gelir.
-
İşaretleri Belirleme:
Birim çemberde 3. bölgede:
👉 Sinüs (\(\sin\alpha\)): y ekseni değerlerini temsil eder. 3. bölgede y değerleri negatiftir. Bu yüzden \(\sin(240^\circ)\) negatiftir (-).
👉 Kosinüs (\(\cos\alpha\)): x ekseni değerlerini temsil eder. 3. bölgede x değerleri negatiftir. Bu yüzden \(\cos(240^\circ)\) negatiftir (-).
👉 Tanjant (\(\tan\alpha\)): \(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) olduğu için, negatif bir sayının negatif bir sayıya bölümü pozitiftir. Bu yüzden \(\tan(240^\circ)\) pozitiftir (+).
✅ Sonuç olarak, \(\sin(240^\circ)\) (-), \(\cos(240^\circ)\) (-) ve \(\tan(240^\circ)\) (+) işaretlidir.
Eğer \(x\) bir dar açı ve \(\sin x = \frac{3}{5}\) ise, \(\cos x\) ve \(\tan x\) değerlerini bulunuz.
-
\(\cos x\) Değerini Bulma:
Verilen \(\sin x = \frac{3}{5}\) değerini \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) özdeşliğinde yerine yazalım.
👉 \((\frac{3}{5})^2 + \cos^2 x = 1\)
👉 \(\frac{9}{25} + \cos^2 x = 1\)
👉 \(\cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25}\)
👉 \(\cos x = \sqrt{\frac{16}{25}}\) veya \(\cos x = -\sqrt{\frac{16}{25}}\).
\(x\) bir dar açı (yani 1. bölgede) olduğu için \(\cos x\) pozitif olmalıdır.
✅ Bu yüzden \(\cos x = \frac{4}{5}\) bulunur. -
\(\tan x\) Değerini Bulma:
\(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) özdeşliğini kullanalım.
👉 \(\tan x = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}\)
👉 \(\tan x = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4}\)
✅ Böylece \(\tan x = \frac{3}{4}\) bulunur.
\(\sin(270^\circ - x) + \cos(90^\circ + x)\) ifadesinin en sade halini bulunuz.
-
\(\sin(270^\circ - x)\) İfadesini İndirgeme:
\(270^\circ - x\) açısı 3. bölgededir. 3. bölgede sinüs negatiftir. Ayrıca \(270^\circ\) kullanıldığı için sinüs fonksiyonu kosinüse dönüşür.
👉 \(\sin(270^\circ - x) = -\cos x\) -
\(\cos(90^\circ + x)\) İfadesini İndirgeme:
\(90^\circ + x\) açısı 2. bölgededir. 2. bölgede kosinüs negatiftir. Ayrıca \(90^\circ\) kullanıldığı için kosinüs fonksiyonu sinüse dönüşür.
👉 \(\cos(90^\circ + x) = -\sin x\) -
İfadeleri Birleştirme:
Bulduğumuz indirgenmiş ifadeleri ana denklemde yerine yazalım.
👉 \(\sin(270^\circ - x) + \cos(90^\circ + x) = (-\cos x) + (-\sin x)\)
✅ Sonuç olarak, ifadenin en sade hali \(-\cos x - \sin x\) veya \( -(\cos x + \sin x)\) olur.
\(f(x) = 3 \sin(4x - \frac{\pi}{3}) + 5\) fonksiyonunun esas periyodunu bulunuz.
-
Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonlarının Periyot Formülü:
\(f(x) = a \sin(bx+c) + d\) veya \(f(x) = a \cos(bx+c) + d\) şeklindeki fonksiyonların esas periyodu \(T = \frac{2\pi}{|b|}\) formülü ile bulunur.
Eğer sinüs veya kosinüsün kuvveti tek sayı ise \(2\pi\), çift sayı ise \(\pi\) kullanılır. Burada kuvvet 1 (tek) olduğu için \(2\pi\) kullanacağız.
-
Verilen Fonksiyonu Formülle Eşleştirme:
Fonksiyonumuz \(f(x) = 3 \sin(4x - \frac{\pi}{3}) + 5\) şeklindedir.
👉 Burada \(b\) katsayısı \(x\)'in önündeki katsayıdır, yani \(b=4\)'tür. -
Periyodu Hesaplama:
Formülü kullanarak esas periyodu hesaplayalım.
👉 \(T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{|4|}\)
👉 \(T = \frac{2\pi}{4}\)
✅ Sadeleştirme yaparsak, \(T = \frac{\pi}{2}\) olarak bulunur.
\(\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arctan(1)\) ifadesinin değerini radyan cinsinden bulunuz.
-
\(\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})\) Değerini Bulma:
Hangi açının sinüsü \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)'dir? Sinüs fonksiyonunun tanım aralığı \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) olduğundan, bu aralıktaki açıyı ararız.
👉 \(\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) olduğunu biliyoruz.
✅ Dolayısıyla, \(\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}\) radyan. -
\(\arctan(1)\) Değerini Bulma:
Hangi açının tanjantı \(1\)'dir? Tanjant fonksiyonunun tanım aralığı \((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\) olduğundan, bu aralıktaki açıyı ararız.
👉 \(\tan(\frac{\pi}{4}) = 1\) olduğunu biliyoruz.
✅ Dolayısıyla, \(\arctan(1) = \frac{\pi}{4}\) radyan. -
İfadeleri Toplama:
Bulduğumuz değerleri toplayalım.
👉 \(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\)
👉 Paydaları eşitleyelim (12'de): \(\frac{4\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}\)
✅ İfadenin değeri \(\frac{7\pi}{12}\) radyandır.
Bir ABC üçgeninde \(|BC| = 6\) birim, \(m(\widehat{BAC}) = 45^\circ\) ve \(m(\widehat{ABC}) = 60^\circ\) olduğuna göre, \(|AC|\) kenarının uzunluğunu bulunuz.
-
Verilenleri Belirleme:
Verilenler:
👉 \(a = |BC| = 6\) birim (A açısının karşısındaki kenar)
👉 \(A = m(\widehat{BAC}) = 45^\circ\)
👉 \(B = m(\widehat{ABC}) = 60^\circ\)
İstenen: \(b = |AC|\) (B açısının karşısındaki kenar)
-
Sinüs Teoremini Uygulama:
\(\frac{|BC|}{\sin(\widehat{BAC})} = \frac{|AC|}{\sin(\widehat{ABC})}\) formülünü kullanalım.
👉 \(\frac{6}{\sin(45^\circ)} = \frac{|AC|}{\sin(60^\circ)}\)
👉 Trigonometrik değerleri yerine yazalım: \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) ve \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
👉 \(\frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{|AC|}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
👉 \(\frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot |AC|}{\sqrt{3}}\)
👉 İçler dışlar çarpımı yapalım: \(12\sqrt{3} = 2\sqrt{2} \cdot |AC|\)
👉 \(|AC| = \frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
👉 Paydayı rasyonel yapalım: \(|AC| = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{6}}{2}\)
✅ Böylece \(|AC| = 3\sqrt{6}\) birim bulunur.
Bir dönme dolabın yerden yüksekliği (metre cinsinden) \(h(t) = 20 + 15\sin(\frac{\pi}{10}t)\) fonksiyonu ile modellenmiştir, burada \(t\) zamanı (dakika cinsinden) göstermektedir.
Dönme dolabın yerden yüksekliğinin ilk kez \(27.5\) metre olduğu an kaç dakikadır?
-
Denklemi Kurma:
Dönme dolabın yüksekliğinin \(27.5\) metre olduğu anı bulmak için \(h(t)\) fonksiyonunu \(27.5\)'e eşitlemeliyiz.
👉 \(20 + 15\sin(\frac{\pi}{10}t) = 27.5\) -
Denklemi Çözme:
Şimdi \(\sin(\frac{\pi}{10}t)\) ifadesini yalnız bırakalım.
👉 \(15\sin(\frac{\pi}{10}t) = 27.5 - 20\)
👉 \(15\sin(\frac{\pi}{10}t) = 7.5\)
👉 \(\sin(\frac{\pi}{10}t) = \frac{7.5}{15} = \frac{1}{2}\) -
Genel Çözümü Bulma:
\(\sin\theta = \frac{1}{2}\) denkleminin genel çözümleri iki durum içerir:
1. Durum: \(\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\), burada \(k \in \mathbb{Z}\).
👉 \(\frac{\pi}{10}t = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\)
👉 Her tarafı \(\pi\) ile bölelim: \(\frac{1}{10}t = \frac{1}{6} + 2k\)
👉 \(t = \frac{10}{6} + 20k = \frac{5}{3} + 20k\)2. Durum: \(\theta = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), burada \(k \in \mathbb{Z}\).
👉 \(\frac{\pi}{10}t = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\)
👉 Her tarafı \(\pi\) ile bölelim: \(\frac{1}{10}t = \frac{5}{6} + 2k\)
👉 \(t = \frac{50}{6} + 20k = \frac{25}{3} + 20k\) -
İlk Kez Yüksekliğin 27.5 Metre Olduğu Anı Bulma:
İlk kez olması için \(t>0\) ve en küçük pozitif \(t\) değerini bulmalıyız. \(k=0\) için her iki durumu inceleyelim:
👉 1. durumdan \(t = \frac{5}{3}\) dakika.
👉 2. durumdan \(t = \frac{25}{3}\) dakika.
Bu iki değerden en küçüğü \(\frac{5}{3}\) dakikadır.
✅ Dönme dolabın yerden yüksekliği ilk kez \(27.5\) metre olduğu an \(\frac{5}{3}\) dakikadır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/11-sinif-matematik-trigonometri/sorular