Çarpanlar ve bölenler Konu Özeti

Bir doğal sayıyı kalansız olarak bölebilen pozitif doğal sayılara o sayının bölenleri denir. Bir doğal sayıyı iki doğal sayının çarpımı şeklinde yazdığımızda elde ettiğimiz sayılara ise o sayının çarpanları denir. Bir doğal sayı için "çarpan" ve "bölen" kavramları aynı anlama gelir.

📌 Doğal Sayıların Çarpanları (Bölenleri)

Her doğal sayı en az iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu sayılardan biri her zaman 1, diğeri ise sayının kendisidir. Bu durum 1 hariç tüm doğal sayılar için geçerlidir.

Önemli Bilgi: Bir doğal sayının en küçük pozitif çarpanı her zaman 1, en büyük çarpanı ise kendisidir.

Bir Sayının Çarpanlarını Bulma (Çarpım Çiftleri Yöntemi)

Bir sayının çarpanlarını eksiksiz bulabilmek için o sayıyı veren ikili çarpımları sırasıyla yazarız. Çarpımları verilen sayıyı veren doğal sayı çiftleri bulunur.

Örnek: 24 sayısının çarpanlarını (bölenlerini) bulalım.

• \( 1 \times 24 = 24 \)
• \( 2 \times 12 = 24 \)
• \( 3 \times 8 = 24 \)
• \( 4 \times 6 = 24 \)

24 sayısının çarpanları küçükten büyüğe: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24 olmak üzere toplam 8 tanedir.

Gökkuşağı Modeli ile Çarpan Gösterimi

Küçükten büyüğe sıralanan çarpanlar, baştan ve sondan eşleştirildiğinde her zaman ana sayıyı verir. Bu yönteme gökkuşağı modeli denir.

Sıra	Eşleşen Çift	Çarpım Sonucu
1. ve Sonuncu	\( 1 \times 24 \)	24
2. ve Sondan 2.	\( 2 \times 12 \)	24
3. ve Sondan 3.	\( 3 \times 8 \)	24
4. ve Sondan 4.	\( 4 \times 6 \)	24

🚀 Bir Doğal Sayının Katları

Bir doğal sayının katları, o sayının sırasıyla 1, 2, 3, 4... gibi sayma sayıları ile çarpılmasıyla elde edilen sayılardır.

• Her doğal sayı, kendisinin 1 katıdır.
• Bir doğal sayının katları sonsuza kadar gider.

Örnek: 7 sayısının 50'den küçük katlarını yazalım.

• \( 7 \times 1 = 7 \)
• \( 7 \times 2 = 14 \)
• \( 7 \times 3 = 21 \)
• \( 7 \times 4 = 28 \)
• \( 7 \times 5 = 35 \)
• \( 7 \times 6 = 42 \)
• \( 7 \times 7 = 49 \)

7 sayısının 50'den küçük katları: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 olarak bulunur.

✏️ Çözümlü Alıştırmalar

Soru 1: 45 sayısının çarpanlarından kaç tanesi tek sayıdır?

Çözüm:

Öncelikle 45 sayısının tüm çarpanlarını ikili çarpım şeklinde yazalım:

• \( 1 \times 45 = 45 \)
• \( 3 \times 15 = 45 \)
• \( 5 \times 9 = 45 \)

45 sayısının çarpanları: 1, 3, 5, 9, 15, 45 olur.

Bu çarpanların tamamı tek sayıdır. Dolayısıyla cevap 6 tanedir.

Soru 2: Alanı \( 36 \text{ cm}^2 \) olan ve kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer doğal sayı olan bir dikdörtgenin çevre uzunluğu en fazla kaç santimetre olabilir?

Çözüm:

Dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımıdır. Kenar uzunlukları 36'nın çarpanları olmalıdır:

• \( 1 \times 36 = 36 \) (Kenarlar: 1 cm ve 36 cm)
• \( 2 \times 18 = 36 \) (Kenarlar: 2 cm ve 18 cm)
• \( 3 \times 12 = 36 \) (Kenarlar: 3 cm ve 12 cm)
• \( 4 \times 9 = 36 \) (Kenarlar: 4 cm ve 9 cm)
• \( 6 \times 6 = 36 \) (Kenarlar: 6 cm ve 6 cm)

Dikdörtgenin çevresinin en büyük olması için kenar uzunluklarının birbirine en uzak seçilmesi gerekir:

Kısa kenar = 1 cm, Uzun kenar = 36 cm

Çevre = \( 2 \times (1 + 36) = 2 \times 37 = 74\text{ cm} \) olur.