💡 6. Sınıf Matematik: Çarpanlar ve bölenler Çözümlü Sorular

Çözüm:

Bir doğal sayının çarpanları aynı zamanda o sayıyı kalansız bölen sayılardır. Bu yüzden çarpanlar ve bölenler aynı kavramı ifade eder.

Adım adım \( 36 \) sayısının çarpanlarını bulalım:

• \( 1 \times 36 = 36 \)
• \( 2 \times 18 = 36 \)
• \( 3 \times 12 = 36 \)
• \( 4 \times 9 = 36 \)
• \( 6 \times 6 = 36 \)

Bu durumda \( 36 \) sayısının tüm doğal sayı çarpanları küçükten büyüğe sırasıyla şunlardır:

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Şimdi bu çarpanlar arasından tek sayı olanları belirleyelim:

• \( 1 \)
• \( 3 \)
• \( 9 \)

✅ Sonuç olarak, \( 36 \) sayısının çarpanlarından 3 tanesi tek sayıdır.

Çözüm:

Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için o sayıyı sadece asal sayılara (2, 3, 5, 7, ...) bölerek çarpanlarına ayırırız.

Yatay olarak ardışık bölme işlemi uygulayalım:

• \( 90 \div 2 = 45 \) (En küçük asal sayı olan 2'ye böldük)
• \( 45 \div 3 = 15 \) (45 ikiye bölünmediği için bir sonraki asal sayı olan 3'e böldük)
• \( 15 \div 3 = 5 \) (Tekrar 3'e böldük)
• \( 5 \div 5 = 1 \) (5'i kendisine bölerek işlemi tamamladık)

Bu durumda \( 90 \) sayısının çarpanlarına ayrılmış hali şu şekildedir:

\( 90 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 \)

Buradan \( 90 \) sayısının farklı asal çarpanları şunlardır:

2, 3 ve 5

Bizden bu asal çarpanların toplamı istenmektedir:

\( 2 + 3 + 5 = 10 \)

✅ Cevap: 10 olarak bulunur.

Çözüm:

Her iki sayının da bölenlerini ayrı ayrı listeleyelim ve ardından ortak olanları seçelim.

1. Adım: \( 24 \) sayısının bölenlerini bulalım:

• \( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \)

2. Adım: \( 32 \) sayısının bölenlerini bulalım:

• \( 1, 2, 4, 8, 16, 32 \)

3. Adım: Her iki listede de ortak olan sayıları (ortak bölenleri) işaretleyelim:

• 1, 2, 4, 8

Bu ortak bölenlerin en büyüğü ise 8 sayısıdır.

✅ Cevap: Ortak bölenler 1, 2, 4, 8 ve en büyüğü 8'dir.

Çözüm:

Sayımızın asal çarpanları sadece \( 2 \) ve \( 7 \) olduğuna göre, bu sayı \( 2 \) ve \( 7 \)'nin çarpımı şeklinde yazılmalıdır. Sayı içinde başka hiçbir asal çarpan (3, 5 vb.) bulunamaz.

Olası \( A \) sayılarını bulmak için \( 2 \) ve \( 7 \) sayılarının farklı adetlerdeki çarpımlarını deneyelim:

• \( 2 \times 7 = 14 \) (İki basamaklıdır, şartı sağlar. Bu en küçük değerdir.)
• \( 2 \times 2 \times 7 = 28 \) (İki basamaklıdır, şartı sağlar.)
• \( 2 \times 2 \times 2 \times 7 = 56 \) (İki basamaklıdır, şartı sağlar.)
• \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 = 112 \) (Üç basamaklı olduğu için olamaz.)
• \( 2 \times 7 \times 7 = 98 \) (İki basamaklıdır, şartı sağlar. Bu en büyük değerdir.)
• \( 2 \times 2 \times 7 \times 7 = 196 \) (Üç basamaklı olduğu için olamaz.)

Bu durumda \( A \) sayısının alabileceği değerler: 14, 28, 56 ve 98'dir.

Bizden en büyük değer ile en küçük değerin toplamı istenmektedir:

• En küçük değer = \( 14 \)
• En büyük değer = \( 98 \)
• Toplam = \( 14 + 98 = 112 \)

✅ Cevap: 112'dir.

Çözüm:

Çiçeklerin birbirine karışmaması ve her vazoda eşit sayıda çiçek olması için, bir vazodaki çiçek sayısı hem \( 45 \)'i hem de \( 60 \)'ı kalansız bölen bir sayı olmalıdır. Yani \( 45 \) ve \( 60 \) sayılarının ortak bölenlerini bulmalıyız.

1. Adım: \( 45 \) sayısının bölenlerini bulalım:

• \( 1, 3, 5, 9, 15, 45 \)

2. Adım: \( 60 \) sayısının bölenlerini bulalım:

• \( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 \)

3. Adım: Ortak olan bölenleri belirleyelim:

• 1, 3, 5, 15

Bu sayılar, bir vazoya konulabilecek çiçek miktarlarını gösterir.

✅ Cevap: Bir vazoya 1, 3, 5 veya 15 adet çiçek konulabilir.

Çözüm:

Kutular rafı tam olarak doldurduğuna göre, rafın uzunluğu hem \( 6 \) cm'nin hem de \( 8 \) cm'nin ortak bir katı olmalıdır.

1. Adım: \( 6 \) ve \( 8 \) sayılarının katlarını yazarak ortak katlarını bulalım:

• \( 6 \)'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60...
• \( 8 \)'in katları: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64...

Görüldüğü gibi en küçük ortak kat 24'tür. Diğer ortak katlar ise 24'ün katları olacaktır:

• \( 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216... \)

2. Adım: Rafın uzunluğunun \( 150 \) cm ile \( 200 \) cm arasında olduğu belirtilmiştir. Bu aralığa uyan ortak katları seçelim:

• \( 168 \) cm (Bu aralıktadır)
• \( 192 \) cm (Bu aralıktadır)

✅ Cevap: Rafın uzunluğu 168 cm veya 192 cm olabilir.

Çözüm:

Gemilerin tekrar birlikte sefere çıkacakları gün sayısı, hem \( 12 \)'nin hem de \( 18 \)'in ortak bir katı olmalıdır. En kısa süreyi bulmak için bu iki sayının en küçük ortak katını bulmalıyız.

1. Adım: \( 12 \) sayısının katlarını listeleyelim:

• \( 12, 24, 36, 48, 60, 72... \)

2. Adım: \( 18 \) sayısının katlarını listeleyelim:

• \( 18, 36, 54, 72... \)

3. Adım: Her iki listedeki ortak katları belirleyelim:

• Ortak katlar: 36, 72...

Bu ortak katlardan en küçüğü 36'dır.

✅ Cevap: İki gemi en az 36 gün sonra tekrar birlikte sefere çıkar.

Çözüm:

Ağaçların eşit aralıklarla dikilebilmesi ve köşelere de denk gelmesi için, iki ağaç arasındaki mesafenin hem eni (\( 30 \) m) hem de boyu (\( 40 \) m) kalansız bölmesi gerekir. Yani \( 30 \) ve \( 40 \) sayılarının ortak bölenlerini bulmalıyız.

1. Adım: \( 30 \) sayısının bölenlerini bulalım:

• \( 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \)

2. Adım: \( 40 \) sayısının bölenlerini bulalım:

• \( 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 \)

3. Adım: Ortak bölenleri belirleyelim:

• 1, 2, 5, 10

Bu sayılar, iki ağaç arasındaki mesafenin alabileceği metre cinsinden değerlerdir.

✅ Cevap: İki ağaç arasındaki mesafe 1 m, 2 m, 5 m veya 10 m olabilir.