Devirli ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirme Konu Özeti

Ondalık gösterimlerinde, ondalık kısımdaki rakamları belirli bir kurala göre sonsuza kadar tekrarlayan sayılara devirli ondalık sayılar denir. Bu sayıları rasyonel sayıya (pay ve payda şeklinde) dönüştürürken belirli bir kural uygulanır.

1. Devirli Ondalık Sayıları Rasyonel Sayıya Çevirme Kuralı 📝

Bir devirli ondalık sayıyı rasyonel sayıya çevirirken pay ve payda için şu adımlar izlenir:

Pay: Sayının tamamından (virgül ve devir çizgisi yokmuş gibi düşünülür), devretmeyen kısım (üzerinde çizgi olmayan kısım) çıkarılır.
Payda: Virgülden sonraki kısma bakılır. Devreden rakam sayısı kadar 9, devretmeyen rakam sayısı kadar 0 yazılır.

Bu kuralı bir formül gibi ifade edersek:

\[ \frac{a - b}{c} \]

• a: Sayının tamamı (virgülsüz)
• b: Devretmeyen kısım (virgülsüz)
• c: Virgülden sonra devreden kadar 9, devretmeyen kadar 0

Örnek Çözümler 💡

Örnek 1: \( 0,\overline{4} \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.

• Sayının tamamı: 4
• Devretmeyen kısım: 0
• Virgülden sonra 1 tane devreden rakam var (4), bu yüzden bir tane 9 yazılır.

\[ \frac{4 - 0}{9} = \frac{4}{9} \]

Örnek 2: \( 1,\overline{2} \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.

• Sayının tamamı: 12
• Devretmeyen kısım: 1
• Virgülden sonra 1 tane devreden rakam var, bu yüzden bir tane 9 yazılır.

\[ \frac{12 - 1}{9} = \frac{11}{9} \]

Örnek 3: \( 0,1\overline{6} \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.

• Sayının tamamı: 16
• Devretmeyen kısım: 1
• Virgülden sonra 1 tane devreden (6) için 9, 1 tane devretmeyen (1) için 0 yazılır. Payda 90 olur.

\[ \frac{16 - 1}{90} = \frac{15}{90} \]

Sadeleştirme yaparsak: \( \frac{1}{6} \)

2. Pratik Tablo ve Alıştırmalar 📊

Aşağıdaki tabloda sık karşılaşılan devirli ondalık sayıların rasyonel sayı dönüşümleri yer almaktadır:

Devirli Sayı	Pay İşlemi	Payda	Sonuç
\( 0,\overline{3} \)	\( 3 - 0 \)	9	\( \frac{1}{3} \)
\( 0,\overline{7} \)	\( 7 - 0 \)	9	\( \frac{7}{9} \)
\( 2,\overline{5} \)	\( 25 - 2 \)	9	\( \frac{23}{9} \)
\( 0,2\overline{3} \)	\( 23 - 2 \)	90	\( \frac{21}{90} \)

Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar ⚠️

• Payda oluşturulurken sadece virgülden sonraki basamaklara bakılır. Tam kısımdaki basamak sayısı paydayı etkilemez.
• Eğer devreden rakam sadece 9 ise, sayı bir üst tam sayıya yuvarlanabilir. Örneğin \( 0,\overline{9} = 1 \) veya \( 1,2\overline{9} = 1,3 \) olur.
• Bulunan rasyonel sayılar her zaman en sade haliyle yazılmaya çalışılmalıdır.

Soru: \( 1,0\overline{5} \) sayısının rasyonel sayı karşılığını bulalım.

• Sayının tamamı: 105
• Devretmeyen kısım: 10
• Virgülden sonra 1 tane devreden (5) ve 1 tane devretmeyen (0) vardır. Payda 90 olur.

\[ \frac{105 - 10}{90} = \frac{95}{90} \]

Her iki tarafı 5 ile sadeleştirirsek: \( \frac{19}{18} \)