📝 7. Sınıf Matematik: Rasyonel Sayılar Ve Ondalık Gösterim İlişkisi Konu Özeti
Rasyonel sayılar ile ondalık gösterimler arasındaki ilişki, matematiksel ifadelerin farklı biçimlerde nasıl temsil edilebildiğini anlamak için temel bir konudur. Bu ders notunda, rasyonel sayıların ondalık gösterime nasıl çevrildiğini ve ondalık gösterimlerin (sonlu veya devirli) rasyonel sayı olarak nasıl ifade edildiğini öğreneceğiz.
Rasyonel Sayılar ve Ondalık Gösterim İlişkisi
1. Rasyonel Sayı Nedir? 💡
a bir tam sayı ve b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır (örneğin \( 5 = \frac{5}{1} \)).
- Örnekler: \( \frac{1}{2}, -\frac{3}{4}, 5, 0.75, -2.\overline{3} \)
2. Rasyonel Sayıları Ondalık Gösterime Çevirme 📝
Bir rasyonel sayıyı ondalık gösterime çevirmenin iki temel yolu vardır:
a) Payı Paydaya Bölme Yöntemi
Bu yöntem, rasyonel sayının payını paydasına bölerek ondalık gösterimini bulmaktır.
- Örnek 1: \( \frac{3}{4} \) sayısını ondalık gösterime çevirelim.
3'ü 4'e böldüğümüzde \( 0.75 \) elde ederiz.
\[ \frac{3}{4} = 0.75 \] - Örnek 2: \( \frac{1}{3} \) sayısını ondalık gösterime çevirelim.
1'i 3'e böldüğümüzde \( 0.333... \) şeklinde devam eden bir sayı elde ederiz.
\[ \frac{1}{3} = 0.\overline{3} \]
b) Paydayı 10'un Kuvveti Yapma Yöntemi
Eğer payda 10, 100, 1000 gibi 10'un bir kuvvetine genişletilebiliyorsa (veya sadeleştirilebiliyorsa), bu yöntem kullanılabilir.
- Örnek 1: \( \frac{3}{5} \) sayısını ondalık gösterime çevirelim.
Paydayı 10 yapmak için kesri 2 ile genişletiriz:
\[ \frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10} = 0.6 \] - Örnek 2: \( \frac{11}{20} \) sayısını ondalık gösterime çevirelim.
Paydayı 100 yapmak için kesri 5 ile genişletiriz:
\[ \frac{11}{20} = \frac{11 \times 5}{20 \times 5} = \frac{55}{100} = 0.55 \]
3. Sonlu Ondalık Gösterimler 🔢
Ondalık kısmındaki basamak sayısı belirli bir yerde biten (sonlanan) ondalık gösterimlere sonlu ondalık gösterimler denir.
💡 Bir rasyonel sayının paydası asal çarpanlarına ayrıldığında sadece 2 ve/veya 5 içeriyorsa, o rasyonel sayı sonlu ondalık gösterimle ifade edilebilir.
- Örnekler:
- \( \frac{1}{2} = 0.5 \) (Payda: 2)
- \( \frac{3}{4} = 0.75 \) (Payda: \( 2^2 \))
- \( \frac{7}{10} = 0.7 \) (Payda: \( 2 \times 5 \))
- \( \frac{13}{25} = 0.52 \) (Payda: \( 5^2 \))
4. Devirli Ondalık Gösterimler 🔄
Ondalık kısmındaki bir veya birden fazla rakamın belirli bir düzen içinde tekrar etmesiyle oluşan ondalık gösterimlere devirli ondalık gösterimler denir. Tekrar eden kısmın üzerine bir çizgi (\( \overline{} \)) konularak gösterilir.
💡 Bir rasyonel sayının paydası asal çarpanlarına ayrıldığında 2 ve 5 dışında asal çarpanlar içeriyorsa, o rasyonel sayı devirli ondalık gösterimle ifade edilir.
- Örnekler:
- \( \frac{1}{3} = 0.333... = 0.\overline{3} \)
- \( \frac{2}{3} = 0.666... = 0.\overline{6} \)
- \( \frac{5}{11} = 0.454545... = 0.\overline{45} \)
- \( \frac{7}{12} = 0.58333... = 0.58\overline{3} \)
5. Ondalık Gösterimleri Rasyonel Sayıya Çevirme ✍️
a) Sonlu Ondalık Gösterimleri Rasyonel Sayıya Çevirme
Sonlu ondalık gösterimler, virgülden sonraki basamak sayısına göre paydası 10, 100, 1000... olan kesirler şeklinde yazılır ve sadeleştirilir.
- Örnek 1: \( 0.6 \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
Virgülden sonra bir basamak olduğu için payda 10 olur.
\[ 0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \] - Örnek 2: \( 0.75 \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
Virgülden sonra iki basamak olduğu için payda 100 olur.
\[ 0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} \] - Örnek 3: \( 2.4 \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim. \[ 2.4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} \]
b) Devirli Ondalık Gösterimleri Rasyonel Sayıya Çevirme
Devirli ondalık gösterimleri rasyonel sayıya çevirmek için özel bir kural kullanılır:
Kural:
\[ \text{Devirli Ondalık Sayı} = \frac{\text{Sayının Tamamı (virgülsüz)} - \text{Devretmeyen Kısım (virgülsüz)}}{\text{Virgülden Sonra Devreden Basamak Sayısı Kadar 9, Devretmeyen Basamak Sayısı Kadar 0}} \]
- Örnek 1: \( 0.\overline{3} \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
- Sayının tamamı: 3
- Devretmeyen kısım: 0
- Virgülden sonra devreden basamak sayısı: 1 (3 rakamı)
- Virgülden sonra devretmeyen basamak sayısı: 0
- Örnek 2: \( 0.\overline{45} \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
- Sayının tamamı: 45
- Devretmeyen kısım: 0
- Virgülden sonra devreden basamak sayısı: 2 (45 rakamları)
- Virgülden sonra devretmeyen basamak sayısı: 0
- Örnek 3: \( 1.2\overline{3} \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
- Sayının tamamı: 123
- Devretmeyen kısım: 12
- Virgülden sonra devreden basamak sayısı: 1 (3 rakamı)
- Virgülden sonra devretmeyen basamak sayısı: 1 (2 rakamı)