Rasyonel Sayılar Konu Özeti

Rasyonel Sayılar

Bir tam sayı ile bir sıfırdan farklı tam sayının oranı şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi Q harfi ile gösterilir.

Rasyonel Sayı Nedir?

Her tam sayı, paydası 1 olan bir rasyonel sayıdır. Örneğin: \( 5 = \frac{5}{1} \), \( -3 = \frac{-3}{1} \)
Paydası sıfır olan bir ifade tanımsızdır ve rasyonel sayı değildir. Örneğin: \( \frac{7}{0} \) bir rasyonel sayı değildir.
Bir rasyonel sayıda pay ve payda aynı işaretli ise rasyonel sayı pozitif, farklı işaretli ise negatiftir.
- \( \frac{3}{5} \) ve \( \frac{-2}{-7} \) pozitif rasyonel sayılardır.
- \( \frac{-4}{9} \) ve \( \frac{6}{-11} \) negatif rasyonel sayılardır.
- Sıfır ne pozitif ne de negatiftir. \( \frac{0}{8} = 0 \) bir rasyonel sayıdır.

Rasyonel Sayıların Sayı Doğrusunda Gösterimi

Rasyonel sayılar sayı doğrusunda iki tam sayı arasını eşit parçalara bölerek gösterilir.

Örneğin, \( \frac{2}{3} \) sayısını göstermek için 0 ile 1 arası 3 eşit parçaya bölünür ve 0'dan sonra 2. nokta işaretlenir.
Örneğin, \( -\frac{1}{4} \) sayısını göstermek için 0 ile -1 arası 4 eşit parçaya bölünür ve 0'dan sonra -1 yönünde 1. nokta işaretlenir.

Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi

Bir rasyonel sayıyı ondalık sayıya çevirmek için payı paydaya böleriz.

Sonlu Ondalık Gösterim: Paydası 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvvetleri şeklinde yazılabilen rasyonel sayılardır.
- Örnek: \( \frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0.75 \)
- Örnek: \( \frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10} = 0.5 \)
Devirli Ondalık Gösterim: Payı paydaya böldüğümüzde ondalık kısmındaki rakamların belirli bir kurala göre tekrar etmesiyle oluşan gösterimdir. Tekrar eden kısma devir denir ve üzerine yatay çizgi konularak gösterilir.
- Örnek: \( \frac{1}{3} = 0.333... = 0.\overline{3} \)
- Örnek: \( \frac{5}{6} = 0.8333... = 0.8\overline{3} \)
- Örnek: \( \frac{2}{11} = 0.181818... = 0.\overline{18} \)

Ondalık Gösterimi Verilen Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme

Sonlu Ondalık Sayıları Rasyonel Sayıya Çevirme:
Sayı virgülsüz olarak paya yazılır, paydaya ise virgülden sonraki basamak sayısı kadar sıfır içeren 10'un kuvveti yazılır.
- Örnek: \( 0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \)
- Örnek: \( 1.3 = \frac{13}{10} \)
Devirli Ondalık Sayıları Rasyonel Sayıya Çevirme:
Formül: \( \frac{\text{Sayının tamamı (virgülsüz)} - \text{Devretmeyen kısım (virgülsüz)}}{\text{Virgülden sonra devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0}} \)
- Örnek: \( 0.\overline{3} = \frac{3-0}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
- Örnek: \( 0.\overline{18} = \frac{18-0}{99} = \frac{18}{99} = \frac{2}{11} \)
- Örnek: \( 1.2\overline{3} = \frac{123-12}{90} = \frac{111}{90} = \frac{37}{30} \)

Rasyonel Sayıları Sıralama

Paydaları Eşit Rasyonel Sayılar: Payı büyük olan daha büyüktür.
- Örnek: \( \frac{5}{7} > \frac{3}{7} > \frac{1}{7} \)
Payları Eşit Rasyonel Sayılar: Paydası küçük olan daha büyüktür (pozitifler için). Negatiflerde ise paydası büyük olan daha büyüktür.
- Örnek: \( \frac{2}{3} > \frac{2}{5} > \frac{2}{7} \)
- Örnek: \( -\frac{1}{4} > -\frac{1}{2} \) (Sayı doğrusunda sağda olan daha büyüktür.)
Hem Pay Hem Payda Farklı Rasyonel Sayılar: Paydalar eşitlenerek sıralama yapılır.
- Örnek: \( \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4} \) sayılarını sıralayalım. Paydaları 12'de eşitlersek: \( \frac{6}{12}, \frac{8}{12}, \frac{9}{12} \) olur. Buradan \( \frac{9}{12} > \frac{8}{12} > \frac{6}{12} \) yani \( \frac{3}{4} > \frac{2}{3} > \frac{1}{2} \) şeklinde sıralanır.
Negatif Rasyonel Sayıları Sıralama: Sayıların pozitif halleri sıralanır, ardından eşitsizlik yönü ters çevrilir.
- Örnek: \( -\frac{1}{3} \) ve \( -\frac{1}{2} \) sayılarını sıralayalım. Önce pozitif hallerini sıralayalım: \( \frac{1}{2} > \frac{1}{3} \) Şimdi eşitsizliği ters çevirelim: \( -\frac{1}{2} < -\frac{1}{3} \)

Rasyonel Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir.

Paydalar Eşit İse: Paylar toplanır veya çıkarılır, ortak payda aynen yazılır.
- Örnek: \( \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3+1}{5} = \frac{4}{5} \)
- Örnek: \( \frac{7}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7-2}{9} = \frac{5}{9} \)
Paydalar Eşit Değil İse: Paydalar ortak bir sayıda eşitlenir, ardından toplama veya çıkarma işlemi yapılır.
- Örnek: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} + \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \)
- Örnek: \( \frac{3}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} - \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12} \)

Rasyonel Sayılarla Çarpma İşlemi

Rasyonel sayılar çarpılırken, paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. Sadeleştirme varsa işlem öncesinde yapılabilir.

Örnek: \( \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15} \)
Örnek: \( \frac{1}{2} \times 6 = \frac{1}{2} \times \frac{6}{1} = \frac{1 \times 6}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3 \)
Örnek: \( \left(-\frac{3}{7}\right) \times \left(\frac{14}{9}\right) = -\frac{3 \times 14}{7 \times 9} = -\frac{42}{63} = -\frac{2}{3} \) (Sadeleştirme yapılarak daha kolay çözülebilir: \( -\frac{1}{1} \times \frac{2}{3} = -\frac{2}{3} \))

Rasyonel Sayılarla Bölme İşlemi

Rasyonel sayılar bölünürken, ilk rasyonel sayı aynen yazılır, ikinci rasyonel sayı ters çevrilir ve çarpılır.

Örnek: \( \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 5}{3 \times 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \)
Örnek: \( 5 \div \frac{1}{2} = \frac{5}{1} \times \frac{2}{1} = \frac{10}{1} = 10 \)
Örnek: \( \left(-\frac{3}{4}\right) \div \left(-\frac{9}{8}\right) = \left(-\frac{3}{4}\right) \times \left(-\frac{8}{9}\right) = \frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3} \)

Rasyonel Sayıların Kuvveti (Üslü Gösterimi)

Bir rasyonel sayının kuvveti alınırken, hem payın hem de paydanın ayrı ayrı kuvveti alınır.

Pozitif tam sayı kuvvetleri için: \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)
Örnek: \( \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} \)
Örnek: \( \left(-\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{(-1)^3}{4^3} = \frac{-1}{64} = -\frac{1}{64} \)
Negatif bir rasyonel sayının;
- Çift kuvvetleri pozitif,
- Tek kuvvetleri negatiftir.
Örnek: \( \left(-\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{(-1)^4}{2^4} = \frac{1}{16} \)
Örnek: \( \left(-\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{(-2)^3}{5^3} = \frac{-8}{125} = -\frac{8}{125} \)