💡 7. Sınıf Matematik: Rasyonel Sayılar Çözümlü Sorular

Sayı doğrusunda rasyonel sayıları göstermek için öncelikle sayının pozitif mi yoksa negatif mi olduğuna bakarız.

1. a) \(\frac{3}{4}\)
• Bu sayı pozitif olduğu için sayı doğrusunun sağ tarafında yer alır.
• Payda 4 olduğu için 0 ile 1 arasını 4 eşit parçaya böleriz.
• Pay 3 olduğu için bu parçalardan 3. noktasını işaretleriz. Bu nokta \(\frac{3}{4}\)'tür.
2. b) \(-\frac{1}{2}\)
• Bu sayı negatif olduğu için sayı doğrusunun sol tarafında yer alır.
• Payda 2 olduğu için 0 ile -1 arasını 2 eşit parçaya böleriz.
• Pay 1 olduğu için bu parçalardan 1. noktasını işaretleriz (0'a yakın olan ilk parça). Bu nokta \(-\frac{1}{2}\)'dir.

💡 Sayı doğrusunda pozitif sayılar 0'ın sağında, negatif sayılar ise 0'ın solunda gösterilir.

Bir kesri ondalık gösterimle ifade etmek için paydasını 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvvetleri şeklinde yazmaya çalışırız.

• Kesrimizin paydası 5'tir. Paydayı 10 yapmak için hem payı hem de paydayı 2 ile çarparız:
\[ \frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} \]
• Paydası 10 olan kesirleri ondalık olarak yazmak kolaydır:
\[ \frac{4}{10} = 0,4 \]

✅ Sonuç: \(\frac{2}{5}\) kesrinin ondalık gösterimi 0,4'tür.

Paydaları eşit olan rasyonel sayılarda, payı büyük olan daha büyüktür.

• Verilen rasyonel sayılar: \(\frac{3}{7}, \frac{5}{7}, \frac{2}{7}\)
• Bu kesirlerin hepsinin paydası 7'dir.
• Şimdi paylarına bakarız: 3, 5, 2.
• En büyük pay 5'tir, bu yüzden \(\frac{5}{7}\) en büyüktür.
• Sonra 3 ile \(\frac{3}{7}\) gelir.
• En küçük pay 2'dir, bu yüzden \(\frac{2}{7}\) en küçüktür.

📌 Büyükten küçüğe sıralama şu şekildedir:

Toplama işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir. En küçük ortak payda bulmalıyız.

• Kesirlerimiz \(\frac{1}{3}\) ve \(\frac{2}{5}\)'tir.
• 3 ve 5'in en küçük ortak katı (EKOK) 15'tir.
• Kesirleri paydası 15 olacak şekilde genişletelim:
• \(\frac{1}{3} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15}\)
• \(\frac{2}{5} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{6}{15}\)
• Şimdi toplama işlemini yapabiliriz:
\[ \frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{5+6}{15} = \frac{11}{15} \]

✅ Sonuç: \(\frac{1}{3} + \frac{2}{5} = \frac{11}{15}\)'tir.

Bu problemde yenilen pastaların toplamını bulup, bütünden çıkaracağız.

1. Yenilen pastaların toplamını bulalım:
• Ayşe yedi: \(\frac{1}{4}\)
• Mehmet yedi: \(\frac{1}{2}\)
• Toplam yenen: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\)
• Paydaları eşitleyelim (2 ile genişletelim): \(\frac{1}{4} + \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}\)
2. Geriye kalan pastayı bulalım:
• Bütün pasta 1'dir (veya \(\frac{4}{4}\) olarak düşünebiliriz).
• Kalan pasta = Bütün pasta - Toplam yenen pasta
• Kalan pasta = \(1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\)

💡 Geriye pastanın \(\frac{1}{4}\)'ü kalmıştır.

Bu tür problemler adım adım çözülmelidir.

1. Sabah satılan domatesler:
• Manavın elinde başlangıçta 1 bütün (yani \(\frac{5}{5}\)) domates olsun.
• Sabah satılan: \(\frac{3}{5}\)
2. Öğleden sonra satılan domatesler (kalanın yarısı):
• Sabah satıldıktan sonra kalan domates miktarı: \(1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\)
• Öğleden sonra satılan, bu kalanın yarısıdır: \(\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{1 \times 2}{2 \times 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\)
3. Toplam satılan domatesler:
• Sabah satılan + Öğleden sonra satılan = \(\frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\)
4. Manavın elinde kalan domatesler:
• Başlangıçtaki miktar - Toplam satılan = \(1 - \frac{4}{5} = \frac{5}{5} - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}\)

✅ Manavın elinde başlangıçtaki domateslerin \(\frac{1}{5}\)'i kalmıştır.

Soruyu iki parçaya ayırıp, her birini ayrı ayrı hesaplayalım.

1. Birinci kısım: \(\frac{2}{3}\) sayısının \(\frac{1}{4}\) eksiği
• İşlem: \(\frac{2}{3} - \frac{1}{4}\)
• Paydaları eşitleyelim (12'de buluşurlar):
• \(\frac{2 \times 4}{3 \times 4} - \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}\)
2. İkinci kısım: \(\frac{1}{3}\) sayısının \(\frac{1}{2}\) fazlası
• İşlem: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\)
• Paydaları eşitleyelim (6'da buluşurlar):
• \(\frac{1 \times 2}{3 \times 2} + \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}\)
3. Şimdi bu iki sonucun çarpımını bulalım:
• İşlem: \(\frac{5}{12} \times \frac{5}{6}\)
• Kesirleri çarpmak için paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır:
• \(\frac{5 \times 5}{12 \times 6} = \frac{25}{72}\)

📌 Sonuç: \(\frac{25}{72}\)'dir.

Bu soruda, bilinen malzemelerin toplam oranını bulup, bütün hamurdan çıkaracağız.

1. Bilinen malzemelerin toplam oranını bulalım:
• Tereyağı: \(\frac{2}{5}\)
• Şeker: \(\frac{1}{10}\)
• Toplam = \(\frac{2}{5} + \frac{1}{10}\)
• Paydaları eşitleyelim (10'da buluşurlar):
• \(\frac{2 \times 2}{5 \times 2} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10}\)
• Bu kesri sadeleştirebiliriz: \(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)
2. Un ve diğer malzemelerin oranını bulalım:
• Bütün hamur 1'dir (veya \(\frac{10}{10}\), ya da \(\frac{2}{2}\) olarak düşünebiliriz).
• Un ve diğer malzemeler = Bütün hamur - (Tereyağı + Şeker)
• Un ve diğer malzemeler = \(1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)

💡 Hamurun \(\frac{1}{2}\)'si un ve diğer malzemelerden oluşur.

Bu soruyu da adım adım çözelim.

1. Buğday ekilen alan:
• Tarlanın tamamı 1 bütündür.
• Buğday ekilen: \(\frac{1}{3}\)
2. Mısır ekilen alan (kalanın \(\frac{3}{4}\)'ü):
• Buğday ekildikten sonra tarlada kalan alan: \(1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
• Mısır ekilen alan bu kalanın \(\frac{3}{4}\)'üdür: \(\frac{3}{4} \times \frac{2}{3}\)
• Çarpma işlemini yapalım: \(\frac{3 \times 2}{4 \times 3} = \frac{6}{12}\)
• Sadeleştirelim: \(\frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)
3. Toplam ekilen alan:
• Buğday ekilen + Mısır ekilen = \(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\)
• Paydaları eşitleyelim (6'da buluşurlar):
• \(\frac{1 \times 2}{3 \times 2} + \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}\)
4. Boş kalan alan:
• Tarlanın tamamı - Toplam ekilen alan = \(1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}\)

✅ Çiftçinin tarlasının \(\frac{1}{6}\)'sı boş kalmıştır.