Rasyonel sayılarda sadeleştirme Konu Özeti

Rasyonel sayılarda sadeleştirme, bir rasyonel sayının pay ve paydasının aynı sayıya bölünerek daha küçük sayılarla ifade edilmesidir. Bu işlem, rasyonel sayının değerini değiştirmez; sadece sayının görünümünü en basit hale getirir.

Rasyonel Sayılarda Sadeleştirme Nasıl Yapılır? ✂️

Bir rasyonel sayıyı sadeleştirmek için pay ve paydanın ortak bölenleri aranır. Pay ve payda, aynı tam sayıya (sıfır hariç) bölünerek işlem gerçekleştirilir. Bir rasyonel sayının pay ve paydasının 1'den başka ortak böleni kalmadığında, bu sayıya en sade hali denir.

Kural: \( \frac{a}{b} \) rasyonel sayısında \( k \) bir tam sayı olmak üzere; \[ \frac{a \div k}{b \div k} \] işlemi sadeleştirme işlemidir.

Adım Adım Sadeleştirme Örneği

\( \frac{12}{18} \) rasyonel sayısını en sade haline getirelim:

• 1. Yol (Kademeli Sadeleştirme): Önce her iki sayıyı da 2'ye bölelim.
  \( 12 \div 2 = 6 \) ve \( 18 \div 2 = 9 \). Yeni sayı: \( \frac{6}{9} \)
  Şimdi her iki sayıyı 3'e bölelim.
  \( 6 \div 3 = 2 \) ve \( 9 \div 3 = 3 \). En sade hali: \( \frac{2}{3} \)
• 2. Yol (En Büyük Ortak Bölen ile): 12 ve 18'in en büyük ortak böleni 6'dır.
  \( 12 \div 6 = 2 \)
  \( 18 \div 6 = 3 \)
  Sonuç: \( \frac{2}{3} \)

Negatif Rasyonel Sayılarda Sadeleştirme ➖

Negatif bir rasyonel sayı sadeleştirilirken sayının önündeki eksi işareti korunur. Sadeleştirme işlemi sadece pay ve paydadaki mutlak değerler üzerinden yapılır.

Örnek: \( -\frac{20}{25} \) rasyonel sayısını sadeleştirelim.

Pay ve paydayı 5 ile bölelim:

• \( 20 \div 5 = 4 \)
• \( 25 \div 5 = 5 \)
• Sonuç: \( -\frac{4}{5} \)

Tam Sayılı Rasyonel Sayılarda Sadeleştirme 🔢

Tam sayılı bir rasyonel sayı sadeleştirilirken tam kısma dokunulmaz. Sadece kesir kısmındaki pay ve payda sadeleştirilir.

Örnek: \( 2 \frac{6}{10} \) sayısını sadeleştirelim.

Tam kısım olan 2 aynen kalır. \( \frac{6}{10} \) kısmını 2 ile sadeleştirelim:

• \( 6 \div 2 = 3 \)
• \( 10 \div 2 = 5 \)
• Sonuç: \( 2 \frac{3}{5} \)

Sadeleştirme Örnekleri Tablosu

Aşağıdaki tabloda bazı rasyonel sayıların en sade halleri gösterilmiştir:

Rasyonel Sayı	Bölünen Sayı	En Sade Hali
\( \frac{15}{30} \)	15	\( \frac{1}{2} \)
\( -\frac{8}{12} \)	4	\( -\frac{2}{3} \)
\( \frac{24}{36} \)	12	\( \frac{2}{3} \)
\( \frac{50}{100} \)	50	\( \frac{1}{2} \)
\( -\frac{14}{21} \)	7	\( -\frac{2}{3} \)

Önemli Hatırlatmalar 💡

• Sadeleştirme işlemi rasyonel sayının sayı doğrusundaki yerini değiştirmez.
• Pay ve paydayı aynı sayıya çarpmak genişletme, bölmek ise sadeleştirmedir.
• Bir rasyonel sayının en sade halini bulmak, rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerinde payda eşitlemeyi kolaylaştırır.
• Eğer pay paydaya tam bölünüyorsa, rasyonel sayı bir tam sayı olarak ifade edilebilir. Örneğin: \( \frac{10}{2} = 5 \).