Çarpanlar, Katlar, Asal Sayılar ve Bölenleri Konu Özeti

🔢 Çarpanlar ve Katlar

Bir doğal sayıyı tam olarak bölen (kalansız bölen) sayılara, o sayının çarpanları denir. Bir sayının çarpanları aynı zamanda o sayının bölenleridir. Örneğin, \( 12 \) sayısının çarpanlarını bulmak için çarpımları \( 12 \) eden sayı çiftlerine bakarız:

• \( 1 \times 12 = 12 \)
• \( 2 \times 6 = 12 \)
• \( 3 \times 4 = 12 \)

Bu durumda \( 12 \) sayısının çarpanları: \( 1, 2, 3, 4, 6 \) ve \( 12 \)'dir.

🚀 Asal Sayılar

Sadece \( 1 \)'e ve kendisine kalansız bölünebilen, \( 1 \)'den büyük doğal sayılara asal sayılar denir.

Önemli Not: En küçük asal sayı \( 2 \)'dir ve çift olan tek asal sayı yine \( 2 \)'dir. \( 1 \) sayısı asal değildir.

İlk birkaç asal sayı şunlardır: \( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... \)

🌳 Asal Çarpanlara Ayırma

Bir sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlara ayırma denir. Bunun için genellikle "Çarpan Algoritması" (bölen listesi) kullanılır.

\( 60 \)	\( 2 \)
\( 30 \)	\( 2 \)
\( 15 \)	\( 3 \)
\( 5 \)	\( 5 \)
\( 1 \)	-

Bu işleme göre \( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \) şeklinde ifade edilir.

🔍 EBOB ve EKOK

İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne EBOB, ortak katlarının en küçüğüne ise EKOK denir.

EBOB (En Büyük Ortak Bölen)

İki sayıyı aynı anda bölen asal sayıların çarpımıdır. Algoritma yaparken her iki sayıyı da bölen asal sayıları işaretleyerek bulabiliriz.

EKOK (En Küçük Ortak Kat)

Algoritma sonucunda sağ tarafta oluşan tüm asal sayıların çarpımıdır.

Kritik Bilgi: İki doğal sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir. Yani \( a \times b = EBOB(a, b) \times EKOK(a, b) \)'dir.

💡 Aralarında Asal Sayılar

Birden başka ortak böleni olmayan (EBOB'ları \( 1 \) olan) sayılara aralarında asal sayılar denir. Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez.

• \( 8 \) ve \( 9 \) sayıları aralarında asaldır.
• \( 1 \) sayısı bütün pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.
• Ardışık sayılar her zaman aralarında asaldır.