Çarpanlar ve Katlar Konu Özeti

Çarpanlar ve Katlar Konu Özeti

1. Doğal Sayıların Çarpanları (Bölenleri)

Bir doğal sayıyı tam bölen tüm pozitif tam sayılara o sayının çarpanları veya bölenleri denir. Her doğal sayı, kendisinin ve 1'in bir çarpanıdır.

• Bir sayının çarpanlarını bulmak için, çarpımları o sayıyı veren tüm iki doğal sayı çiftlerini buluruz.
• Örnek: 18 sayısının çarpanları (bölenleri) şunlardır:
  • \(1 \times 18 = 18\)
  • \(2 \times 9 = 18\)
  • \(3 \times 6 = 18\)
  Buna göre 18'in çarpanları: 1, 2, 3, 6, 9, 18'dir.

2. Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar

Asal Sayılar

1 ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni olmayan, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir.

• En küçük asal sayı 2'dir.
• Çift olan tek asal sayı 2'dir.
• İlk birkaç asal sayı: \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, \ldots\)

Asal Çarpanlar

Bir doğal sayının çarpanları arasında asal olanlara asal çarpanlar denir. Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmanın iki temel yöntemi vardır:

1. Çarpan Ağacı Yöntemi: Sayı, en küçük asal çarpandan başlanarak dallara ayrılır.
2. Asal Çarpanlara Ayırma (Bölen Listesi) Yöntemi: Sayı, dikey bir çizgi çekilerek sağ tarafına en küçük asal çarpandan başlanarak bölünür. Bölümler de aynı şekilde bölünmeye devam eder.

Örnek: 60 sayısının asal çarpanlarını bulalım.
Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi:
\(60 \div 2 = 30\)
\(30 \div 2 = 15\)
\(15 \div 3 = 5\)
\(5 \div 5 = 1\)
Buna göre 60'ın asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.
60 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılışı: \[ 60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \]

3. Aralarında Asal Sayılar

1'den başka ortak pozitif tam sayı böleni olmayan iki veya daha fazla doğal sayıya aralarında asal sayılar denir.

• Sayıların kendilerinin asal olması şart değildir.
• Örnek: 8 ve 15 sayıları aralarında asaldır.
  • 8'in bölenleri: 1, 2, 4, 8
  • 15'in bölenleri: 1, 3, 5, 15
  Ortak bölenleri sadece 1 olduğu için aralarında asaldırlar.
• Ardışık doğal sayılar (örneğin 7 ve 8) her zaman aralarında asaldır.
• Ardışık tek doğal sayılar (örneğin 9 ve 11) her zaman aralarında asaldır.
• 1 ile her doğal sayı aralarında asaldır.

4. En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne En Büyük Ortak Bölen (EBOB) denir. \(\text{EBOB}(a,b)\) veya \((a,b)_{\text{EBOB}}\) şeklinde gösterilir.

EBOB Bulma Yöntemleri:

1. Ortak Bölenleri Listeleme: Sayıların tüm bölenleri bulunur, ortak olanlardan en büyüğü seçilir. (Küçük sayılar için pratiktir.)
2. Asal Çarpanlara Ayırma:
   • Sayılar asal çarpanlarına ayrılır.
   • Her iki sayıda da bulunan ortak asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar alınarak çarpılır.

Örnek: 12 ve 18 sayılarının EBOB'unu bulalım.
Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi:
\(12 = 2^2 \times 3\)
\(18 = 2 \times 3^2\)
Ortak asal çarpanlar 2 ve 3'tür.
2'nin en küçük üssü \(2^1\), 3'ün en küçük üssü \(3^1\).
\[ \text{EBOB}(12, 18) = 2^1 \times 3^1 = 6 \]

EBOB ile İlgili Önemli Notlar ve Problem Tipi İpuçları:

• EBOB, verilen sayılardan küçük veya eşittir.
• Problemlerde büyük bir bütünün eşit parçalara ayrılması, gruplara ayrılması, paylaştırılması, en büyük boyutlu kap, kare fayans gibi ifadeler geçiyorsa genellikle EBOB kullanılır.
• Aralarında asal iki sayının EBOB'u 1'dir.
• Biri diğerinin katı olan iki sayıdan, küçük olan sayı EBOB'tur. (Örnek: \(\text{EBOB}(6, 12) = 6\))

5. En Küçük Ortak Kat (EKOK)

İki veya daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne En Küçük Ortak Kat (EKOK) denir. \(\text{EKOK}(a,b)\) veya \([a,b]_{\text{EKOK}}\) şeklinde gösterilir.

EKOK Bulma Yöntemleri:

1. Ortak Katları Listeleme: Sayıların katları listelenir, ortak olanlardan en küçüğü seçilir. (Küçük sayılar için pratiktir.)
2. Asal Çarpanlara Ayırma:
   • Sayılar asal çarpanlarına ayrılır.
   • Tüm asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar (ortak olsun olmasın) alınarak çarpılır.

Örnek: 12 ve 18 sayılarının EKOK'unu bulalım.
Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi:
\(12 = 2^2 \times 3\)
\(18 = 2 \times 3^2\)
Tüm asal çarpanlar 2 ve 3'tür.
2'nin en büyük üssü \(2^2\), 3'ün en büyük üssü \(3^2\).
\[ \text{EKOK}(12, 18) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \]

EKOK ile İlgili Önemli Notlar ve Problem Tipi İpuçları:

• EKOK, verilen sayılardan büyük veya eşittir.
• Problemlerde küçük parçaların birleştirilmesi, ortak bir noktada buluşma (nöbet, otobüs saatleri), bir araya gelme, en küçük ortak alan/zaman gibi ifadeler geçiyorsa genellikle EKOK kullanılır.
• Aralarında asal iki sayının EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir. (Örnek: \(\text{EKOK}(8, 15) = 8 \times 15 = 120\))
• Biri diğerinin katı olan iki sayıdan, büyük olan sayı EKOK'tur. (Örnek: \(\text{EKOK}(6, 12) = 12\))

6. EBOB ve EKOK İlişkisi

İki doğal sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.
A ve B gibi iki doğal sayı için: \[ A \times B = \text{EBOB}(A,B) \times \text{EKOK}(A,B) \]

Örnek: 12 ve 18 için:
\(\text{EBOB}(12, 18) = 6\)
\(\text{EKOK}(12, 18) = 36\)
\(12 \times 18 = 216\)
\(6 \times 36 = 216\)
Görüldüğü gibi \(12 \times 18 = \text{EBOB}(12, 18) \times \text{EKOK}(12, 18)\) eşitliği sağlanır.