🪄 Sınav/Test Üret
Ana Sayfa / 8. Sınıf (LGS) / 8. Sınıf Matematik / Çarpanlar ve Katlar / Çözümlü Sorular
🎓 8. Sınıf (LGS) 📚 8. Sınıf Matematik

💡 8. Sınıf Matematik: Çarpanlar ve Katlar Çözümlü Sorular

1
Çözümlü Soru
Kolay Seviye
1. Soru:
60 sayısının pozitif tam sayı çarpanlarının sayısını bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
💡 Çözüm Adımları:
  • 📌 Bir sayının pozitif tam sayı çarpanlarını bulmak için, o sayıyı tam bölen tüm sayıları listeleriz.
  • 👉 60 sayısının çarpanlarını bulalım:
    • \(1 \times 60 = 60\)
    • \(2 \times 30 = 60\)
    • \(3 \times 20 = 60\)
    • \(4 \times 15 = 60\)
    • \(5 \times 12 = 60\)
    • \(6 \times 10 = 60\)
  • ✅ 60 sayısının pozitif tam sayı çarpanları: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 olmak üzere toplam 12 tanedir.
2
Çözümlü Soru
Orta Seviye
2. Soru:
Aşağıdaki sayılardan hangisi asal çarpanlarına ayrıldığında \(2^3 \times 3^2 \times 5^1\) şeklinde gösterilir?
A) 180
B) 360
C) 720
D) 900
Çözüm ve Açıklama
💡 Çözüm Adımları:
  • 📌 Verilen asal çarpanlara ayrılmış ifadeyi hesaplayarak sayıyı bulalım.
  • 👉 İfadeyi açalım: \[2^3 \times 3^2 \times 5^1 = (2 \times 2 \times 2) \times (3 \times 3) \times 5\] \[= 8 \times 9 \times 5\] \[= 72 \times 5\] \[= 360\]
  • ✅ Bu sayı 360'tır. Dolayısıyla doğru cevap B seçeneğidir.
3
Çözümlü Soru
Orta Seviye
3. Soru:
24 ve 36 sayılarının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
💡 Çözüm Adımları:
  • 📌 EBOB'u bulmak için sayıları asal çarpanlarına ayırırız ve ortak olan asal çarpanların en küçük üslülerini çarparız.
  • 👉 24 ve 36 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:
    • \(24 = 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3^1\)
    • \(36 = 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 9 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2\)
  • 👉 Ortak olan asal çarpanlar 2 ve 3'tür. En küçük üslülerini alalım:
    • 2 için en küçük üs \(2^2\)
    • 3 için en küçük üs \(3^1\)
  • ✅ EBOB\((24, 36) = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12\)dir.
4
Çözümlü Soru
Orta Seviye
4. Soru:
15 ve 25 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
💡 Çözüm Adımları:
  • 📌 EKOK'u bulmak için sayıları asal çarpanlarına ayırırız ve tüm asal çarpanların en büyük üslülerini çarparız.
  • 👉 15 ve 25 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:
    • \(15 = 3 \times 5 = 3^1 \times 5^1\)
    • \(25 = 5 \times 5 = 5^2\)
  • 👉 Tüm asal çarpanları (3 ve 5) ve en büyük üslülerini alalım:
    • 3 için en büyük üs \(3^1\)
    • 5 için en büyük üs \(5^2\)
  • ✅ EKOK\((15, 25) = 3^1 \times 5^2 = 3 \times 25 = 75\)tir.
5
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
5. Soru:
Bir marangoz, boyutları 108 cm ve 144 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir tahtayı hiç artmayacak şekilde eş kare parçalara ayırmak istiyor. Marangozun elde edeceği en büyük boyutlu kare parçanın bir kenar uzunluğu kaç cm olmalıdır?
Çözüm ve Açıklama
💡 Çözüm Adımları:
  • 📌 Bu problemde, hem 108 cm'yi hem de 144 cm'yi bölen en büyük sayıyı bulmamız gerekiyor. Bu da EBOB demektir.
  • 👉 108 ve 144 sayılarının EBOB'unu bulalım. Sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
    • \(108 = 2 \times 54 = 2 \times 2 \times 27 = 2^2 \times 3^3\)
    • \(144 = 2 \times 72 = 2 \times 2 \times 36 = 2 \times 2 \times 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 9 = 2^4 \times 3^2\)
  • 👉 Ortak asal çarpanların en küçük üslülerini alalım:
    • 2 için en küçük üs \(2^2\)
    • 3 için en küçük üs \(3^2\)
  • ✅ EBOB\((108, 144) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36\) cm olmalıdır.
6
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
6. Soru:
Bir duraktan A otobüsü 20 dakikada bir, B otobüsü ise 30 dakikada bir hareket etmektedir. Saat 08.00'de bu iki otobüs ilk kez birlikte hareket ettiğine göre, saat kaçta tekrar birlikte hareket ederler?
Çözüm ve Açıklama
💡 Çözüm Adımları:
  • 📌 Bu problemde, her iki otobüsün de hareket periyotlarının ortak bir katını bulmamız gerekiyor. Bu da EKOK demektir.
  • 👉 20 ve 30 sayılarının EKOK'unu bulalım. Sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
    • \(20 = 2 \times 10 = 2 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 5^1\)
    • \(30 = 2 \times 15 = 2 \times 3 \times 5 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1\)
  • 👉 Tüm asal çarpanların en büyük üslülerini alalım:
    • 2 için en büyük üs \(2^2\)
    • 3 için en büyük üs \(3^1\)
    • 5 için en büyük üs \(5^1\)
  • 👉 EKOK\((20, 30) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60\) dakika.
  • 📌 Bu, 60 dakika sonra yani 1 saat sonra tekrar birlikte hareket edecekleri anlamına gelir.
  • ✅ İlk kez 08.00'de hareket ettiklerine göre, tekrar 08.00 + 1 saat = 09.00'da birlikte hareket ederler.
7
Çözümlü Soru
Orta Seviye
7. Soru:
Bir sayı \(x\) olsun. \(x\) sayısı 6'ya bölündüğünde 4, 8'e bölündüğünde 6 kalanını vermektedir. Buna göre, \(x\) sayısı en az kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
💡 Çözüm Adımları:
  • 📌 Sorudaki kalanı inceleyelim:
    • \(x = 6k + 4\)
    • \(x = 8m + 6\)
  • 👉 Her iki durumda da kalanın bölenlerinden 2 eksik olduğunu fark edelim. Yani, \(6-4=2\) ve \(8-6=2\).
  • 👉 Bu durumda, \(x+2\) sayısı hem 6'nın hem de 8'in tam katı olmalıdır.
  • 👉 O zaman, \(x+2\) sayısı EKOK\((6, 8)\) olmalıdır.
  • 👉 6 ve 8 sayılarının EKOK'unu bulalım:
    • \(6 = 2 \times 3\)
    • \(8 = 2^3\)
  • 👉 EKOK\((6, 8) = 2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24\)tür.
  • 👉 Yani, \(x+2 = 24\) olmalıdır.
  • ✅ Buradan \(x = 24 - 2 = 22\) bulunur.
8
Çözümlü Soru
Zor Seviye
8. Soru:
Kenar uzunlukları 40 cm ve 60 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir kartonun tamamı kullanılarak, kenar uzunlukları birer tam sayı olan eş kareler oluşturulacaktır. Buna göre, bu karelerden en az kaç tane elde edilebilir?
Çözüm ve Açıklama
💡 Çözüm Adımları:
  • 📌 En az sayıda kare elde etmek için, karelerin kenar uzunlukları mümkün olan en büyük olmalıdır.
  • 📌 Karenin bir kenar uzunluğu hem 40 cm'yi hem de 60 cm'yi bölen bir sayı olmalıdır. En büyük kenar uzunluğu için EBOB'u bulmamız gerekir.
  • 👉 40 ve 60 sayılarının EBOB'unu bulalım. Sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
    • \(40 = 2 \times 20 = 2 \times 2 \times 10 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5^1\)
    • \(60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1\)
  • 👉 Ortak asal çarpanların en küçük üslülerini alalım:
    • 2 için en küçük üs \(2^2\)
    • 5 için en küçük üs \(5^1\)
  • 👉 EBOB\((40, 60) = 2^2 \times 5^1 = 4 \times 5 = 20\) cm. Yani, eş karelerin bir kenar uzunluğu 20 cm olmalıdır.
  • 📌 Şimdi, bu boyutlardaki kartondan kaç tane kare elde edildiğini bulalım:
    • Kartonda 40 cm'lik kenar boyunca \(40 \div 20 = 2\) tane kare sığar.
    • Kartonda 60 cm'lik kenar boyunca \(60 \div 20 = 3\) tane kare sığar.
  • ✅ Toplam kare sayısı \(2 \times 3 = 6\) tanedir.

İçerik Hazırlanıyor...

Lütfen sayfayı kapatmayın, bu işlem 30-40 saniye sürebilir.