📝 8. Sınıf Matematik: Ebob ekok problemler Konu Özeti
LGS Matematik sınavında çarpanlar ve katlar ünitesinin en kritik kazanımlarından biri EBOB ve EKOK problemleri arasındaki farkı doğru kavramaktır. Bir problemin çözümünde en büyük ortak bölenin mi yoksa en küçük ortak katın mı kullanılacağını belirlemek, soruyu doğru çözmenin ilk ve en önemli adımıdır.
🎯 EBOB ve EKOK Problemlerini Ayırt Etme Yöntemi
Problemin mantığı, hangi işlemin yapılacağını doğrudan gösterir:
| Kriter | EBOB Problemleri | EKOK Problemleri |
|---|---|---|
| İşlem Mantığı | Bütünden parçaya gidilir. | Parçalardan bütüne gidilir. |
| Uygulama | Bölme, paylaştırma, parçalama | Katlama, birleştirme, birikme |
| Soru Kökleri | Eşit büyüklükte, en az sayıda paket | Birlikte aynı anda, en küçük ortak zaman |
📦 EBOB Problemleri
Büyük miktarların, alanların veya uzunlukların eşit büyüklükteki daha küçük parçalara ayrılması gereken durumlarda EBOB kullanılır.
En Sık Karşılaşılan EBOB Durumları
- Farklı maddelerin (örneğin un, pirinç, sıvı yağ) birbirine karıştırılmadan eşit hacimli kaplara veya paketlere paylaştırılması,
- Dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın veya bahçenin etrafına eşit aralıklarla fidan veya direk dikilmesi,
- Kumaşların, tahtaların veya tellerin eşit uzunlukta parçalara bölünmesi,
- Dikdörtgen bir zeminin en büyük boyutlu eş kare fayanslarla kaplanması.
EBOB Notu: Dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etrafına eşit aralıklarla ve köşelere de gelmek şartıyla ağaç dikilirken aralık mesafesi tarlanın kenar uzunluklarının EBOB'udur. Toplam ağaç sayısı:
Ağaç Sayısı = \( \frac{\text{Çevre}}{\text{EBOB}} \) formülü ile hesaplanabilir. (Burada Çevre = \( 2 \times (a + b) \) şeklindedir.)
Örnek EBOB Problemi
Kenar uzunlukları \( 48\text{ m} \) ve \( 60\text{ m} \) olan dikdörtgen biçimindeki bir arsanın kenarlarına, köşelerine de birer tane gelecek şekilde eşit aralıklarla fidan dikilecektir. Bu işlem için en az kaç fidana ihtiyaç vardır?
Çözüm Adımları:
- Fidanlar arasındaki mesafenin en büyük olması gerekir: EBOB\((48, 60)\) bulunur.
- \( 48 = 2^4 \times 3 \)
- \( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \)
- Ortak bölen: EBOB\((48, 60) = 2^2 \times 3 = 12\text{ m}\) (İki fidan arası mesafe).
- Arsanın Çevresi = \( 2 \times (48 + 60) = 2 \times 108 = 216\text{ m} \).
- Gereken fidan sayısı = \( \frac{216}{12} = 18 \) tanedir.
⏰ EKOK Problemleri
Küçük parçaların yan yana veya üst üste getirilerek daha büyük bir yapı oluşturulduğu ya da periyodik olarak tekrarlanan olayların aynı ana denk geldiği durumlarda EKOK kullanılır.
En Sık Karşılaşılan EKOK Durumları
- Farklı aralıklarla çalan zillerin, alarmların veya yanan deniz fenerlerinin birlikte ilk kez yeniden çalması/yanması,
- Farklı gün aralıklarıyla nöbet tutan doktor veya hemşirelerin birlikte tekrar nöbet tutmaları,
- Cevizlerin, bilyelerin veya merdiven basamaklarının ikişer, üçer veya beşer sayıldığında her seferinde kalan vermesi veya tam denk gelmesi,
- Küçük dikdörtgenler prizması şeklindeki kutulardan en küçük hacimli bir küp oluşturulması.
EKOK Notu: Periyodik tekrar sorularında birlikte ilk kez tekrar etme süresi, ayrı ayrı gerçekleşme sürelerinin EKOK değeridir.
Örnek EKOK Problemi
Bir duraktan her \( 30 \) dakikada bir A otobüsü, her \( 45 \) dakikada bir B otobüsü sefere çıkmaktadır. Bu iki otobüs sabah saat \( 08.00 \)'de ilk kez aynı anda sefere çıktıklarına göre, ikinci kez saat kaçta birlikte sefere çıkarlar?
Çözüm Adımları:
- İki otobüsün birlikte kalkış aralığı EKOK\((30, 45)\) ile bulunur.
- \( 30 = 2 \times 3 \times 5 \)
- \( 45 = 3^2 \times 5 \)
- EKOK\((30, 45) = 2 \times 3^2 \times 5 = 90\text{ dakika} \).
- \( 90\text{ dakika} = 1\text{ saat } 30\text{ dakika} \).
- İlk hareket \( 08.00 \) olduğuna göre; bir sonraki ortak hareket: \( 08.00 + 01.30 = 09.30 \)'dur.
💡 Kalanlı Sayma Problemleri (EKOK Uygulaması)
Bir torbadaki bilyeler dörderli sayıldığında \( 1 \), beşerli sayıldığında \( 2 \) bilye eksik kalıyorsa veya her sayımda sabit bir kalan veriyorsa işlem EKOK üzerinden modellenir.
Bir \( A \) doğal sayısı \( 6 \)'ya bölündüğünde \( 4 \), \( 8 \)'e bölündüğünde \( 6 \) kalanını veriyorsa:
- \( A = 6x + 4 = 8y + 6 \)
- Her bir ifadeye \( 2 \) eklendiğinde bölümler tam kat haline gelir:
- \( A + 2 = 6(x + 1) = 8(y + 1) \)
- Demek ki \( A + 2 \) sayısı hem \( 6 \)'nın hem de \( 8 \)'in ortak bir katıdır: EKOK\((6, 8)\).
- EKOK\((6, 8) = 24 \).
- \( A + 2 = 24 \implies A = 22 \) bulunur.