Türev Konu Özeti

8. sınıf MEB matematik müfredatında, lise matematiğindeki türev konusunun temelini oluşturan değişim oranı ve eğim kavramları doğrusal denklemler başlığı altında öğrenilmektedir. LGS sınavında sıklıkla karşımıza çıkan bu konu, dikey uzunluğun yatay uzunluğa oranlanması prensibine dayanır.

📊 Doğrusal Denklemlerde Değişim Oranı ve Eğim

Bir dik üçgende veya koordinat sistemindeki bir doğruda dikey değişimin yatay değişime oranına eğim denir. Eğim genellikle \(m\) sembolü ile gösterilir.

1. Dik Üçgende Eğim Hesaplama

Dik üçgen üzerindeki eğim hesaplanırken dikey kenar uzunluğu, yatay kenar uzunluğuna bölünür:

\[ m = \frac{a}{b} \]

Burada \(a\) dikey kenar uzunluğunu, \(b\) ise yatay kenar uzunluğunu temsil etmektedir.

📌 Önemli Not: Uzunluk değerleri her zaman pozitif olduğu için dik üçgen üzerindeki geometrik eğim hesaplamalarında sonuç negatif çıkmaz.

2. Koordinat Sisteminde Doğrunun Eğimi

Koordinat sistemindeki bir doğrunun eğimi incelenirken doğrunun yönü büyük önem taşır:

• Sağa yatık doğrular: Eğimi pozitiftir (\(m > 0\)).
• Sola yatık doğrular: Eğimi negatiftir (\(m < 0\)).
• Yatay doğrular (x eksenine paralel): Dikey değişim sıfır olduğu için eğim sıfırdır (\(m = 0\)).
• Dikey doğrular (y eksenine paralel): Yatay değişim sıfır olduğu için eğim tanımsızdır.

3. Doğru Denklemlerinden Eğim Bulma

Doğru denklemleri iki farklı formda karşımıza çıkar:

A) \(y\) Yalnız Bırakılmış Denklem Formu:

\(y = mx + n\) şeklindeki denklemlerde \(x\)'in katsayısı olan \(m\) doğrudan eğimi verir.

• \(y = 2x + 7\) denkleminde eğim \(m = 2\)'dir.
• \(y = -\frac{3}{5}x - 1\) denkleminde eğim \(m = -\frac{3}{5}\)'tir.

B) Kapalı Denklem Formu:

\(ax + by + c = 0\) şeklindeki kapalı denklemlerde eğim aşağıdaki formülle bulunur:

\[ m = -\frac{a}{b} \]

📋 Eğim Türleri Özet Tablosu

Doğru Yönü / Durumu	Eğim İşareti	Eğim Değeri (\(m\))
Sağa Yatık Doğru	Pozitif	\(m > 0\)
Sola Yatık Doğru	Negatif	\(m < 0\)
Yatay Doğru (\(y = k\))	Sıfır	\(m = 0\)
Dikey Doğru (\(x = k\))	Tanımsız	Hesaplanamaz

✏️ LGS Tarzı Örnek Soru Çözümleri

Örnek Soru 1

Bir engelli rampasının dikey yüksekliği \(150\) cm ve yatay uzunluğu \(500\) cm olarak tasarlanmıştır. Bu rampanın eğimi yüzde kaçtır?

Çözüm:

Eğim bağıntısını uygulayalım:

\[ m = \frac{150}{500} \]

Kesri sadeleştirelim ve paydasını \(100\) yapalım:

\[ m = \frac{15}{50} = \frac{30}{100} \]

Rampanın eğimi %30 olarak bulunur.

Örnek Soru 2

Koordinat düzleminde \(3x + 2y - 12 = 0\) doğrusunun eğimi kaçtır?

Çözüm:

Denklemde \(y\) değişkenini eşitliğin bir tarafında yalnız bırakalım:

\[ 2y = -3x + 12 \] \[ y = -\frac{3}{2}x + 6 \]

Bu durumda \(x\)'in katsayısı doğrunun eğimini verir. Eğim \(m = -\frac{3}{2}\) olur.