Üslü İfadeler Konu Özeti

Üslü İfadelerin Tanımı

Bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımının kısa gösterimine üslü ifade denir.

• \(a^n\) ifadesinde; a taban, n ise üs (kuvvet) olarak adlandırılır.
• \(a^n = a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a\) (n tane a'nın çarpımı)

Örnek: \(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\)

Örnek: \( (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 \)

Örnek: \( -3^2 = -(3 \cdot 3) = -9 \) (Paranteze dikkat edilmelidir.)

Özel Durumlar

• Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir. \[ a^0 = 1 \quad (a \neq 0) \]

  Örnek: \( 5^0 = 1 \), \( (-7)^0 = 1 \)

• Her sayının birinci kuvveti kendisine eşittir. \[ a^1 = a \]

  Örnek: \( 6^1 = 6 \), \( (-2)^1 = -2 \)

• Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.
• Negatif sayıların;
  • Çift kuvvetleri pozitiftir. Örnek: \( (-2)^4 = 16 \)
  • Tek kuvvetleri negatiftir. Örnek: \( (-2)^3 = -8 \)

Üslü İfadelerde İşlemler

1. Negatif Üs

Bir tam sayının negatif üssü, o sayının çarpma işlemine göre tersini ifade eder.

• \[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0) \]

  Örnek: \( 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \)

• \[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \quad (a, b \neq 0) \]

  Örnek: \( \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} \)

2. Üslü İfadelerde Çarpma İşlemi

• Tabanlar aynı ise: Üsler toplanır, ortak tabana üs olarak yazılır. \[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

  Örnek: \( 2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 \)

• Üsler aynı ise: Tabanlar çarpılır, ortak üsse üs olarak yazılır. \[ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \]

  Örnek: \( 3^4 \cdot 5^4 = (3 \cdot 5)^4 = 15^4 \)

3. Üslü İfadelerde Bölme İşlemi

• Tabanlar aynı ise: Payın üssünden paydanın üssü çıkarılır, ortak tabana üs olarak yazılır. \[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \neq 0) \]

  Örnek: \( \frac{5^7}{5^4} = 5^{7-4} = 5^3 \)

• Üsler aynı ise: Tabanlar bölünür, ortak üsse üs olarak yazılır. \[ \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \quad (b \neq 0) \]

  Örnek: \( \frac{10^3}{5^3} = \left(\frac{10}{5}\right)^3 = 2^3 \)

4. Bir Üslü İfadenin Üssü (Üssün Üssü)

Bir üslü ifadenin tekrar üssü alındığında, üsler çarpılır ve tabana üs olarak yazılır.

• \[ (a^m)^n = a^{m \cdot n} \]

  Örnek: \( (2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12} \)

• Üslerin yerleri değiştirilebilir: \( (a^m)^n = (a^n)^m \)

Ondalık Gösterimlerin Çözümlenmesi

Bir sayının basamak değerlerinin 10'un kuvvetleri kullanılarak yazılmasına çözümleme denir.

Örnek: 345,67 sayısını çözümleyelim.

• \(3 \cdot 10^2\) (Yüzler basamağı)
• \(4 \cdot 10^1\) (Onlar basamağı)
• \(5 \cdot 10^0\) (Birler basamağı)
• \(6 \cdot 10^{-1}\) (Onda birler basamağı)
• \(7 \cdot 10^{-2}\) (Yüzde birler basamağı)

Yani;

\[ 345,67 = 3 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0 + 6 \cdot 10^{-1} + 7 \cdot 10^{-2} \]

Çok Büyük ve Çok Küçük Sayılar (Bilimsel Gösterim)

Çok büyük veya çok küçük sayıların daha anlaşılır ve kısa bir şekilde ifade edilmesi için 10'un kuvvetleri kullanılır.

1. Çok Büyük Sayılar

Bir sayıyı 10'un pozitif tam sayı kuvvetleri ile ifade etmek için virgülü sola kaydırırız. Virgül her sola kaydırıldığında 10'un üssü 1 artar.

Örnek: \( 2400000 = 24 \cdot 10^5 = 2.4 \cdot 10^6 \)

2. Çok Küçük Sayılar

Bir sayıyı 10'un negatif tam sayı kuvvetleri ile ifade etmek için virgülü sağa kaydırırız. Virgül her sağa kaydırıldığında 10'un üssü 1 azalır.

Örnek: \( 0.0000037 = 3.7 \cdot 10^{-6} = 37 \cdot 10^{-7} \)

3. Bilimsel Gösterim

Bir sayının bilimsel gösterimi \( a \cdot 10^n \) şeklinde yazılmasıdır. Burada a bir tam sayı veya ondalık sayı olabilir ve şu koşulu sağlamalıdır:

\[ 1 \le |a| < 10 \]

ve n bir tam sayıdır.

Örnek:

• \( 240000000 = 2.4 \cdot 10^8 \) (Bilimsel gösterim)
• \( 0.000000015 = 1.5 \cdot 10^{-8} \) (Bilimsel gösterim)
• \( 12.5 \cdot 10^7 \) bilimsel gösterim değildir, çünkü \( |12.5| \not< 10 \). Doğrusu \( 1.25 \cdot 10^8 \)'dir.