🎓 8. Sınıf (LGS)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Üslü İfadeler Çözümlü Sorular
8. Sınıf Matematik: Üslü İfadeler Çözümlü Sorular
Soru 1:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\( 2^3 \times 2^5 \div 2^4 \)
\( 2^3 \times 2^5 \div 2^4 \)
Çözüm:
💡 Üslü İfadelerde Çarpma ve Bölme İşlemleri kurallarını hatırlayalım.
- 📌 Tabanlar aynıysa çarpma işleminde üsler toplanır: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
- 📌 Tabanlar aynıysa bölme işleminde üsler çıkarılır: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
- 👉 Önce çarpma işlemini yapalım:
\( 2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 \) - 👉 Şimdi bulduğumuz sonucu bölme işleminde kullanalım:
\( 2^8 \div 2^4 = 2^{8-4} = 2^4 \) - 👉 Sonucun değerini hesaplayalım:
\( 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \)
Soru 2:
\( \frac{1}{2^{-3}} + (-3)^2 - (10^0) \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
💡 Üslü İfadelerdeki Temel Kuralları hatırlayalım.
- 📌 Negatif üs: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) ve \( \frac{1}{a^{-n}} = a^n \)
- 📌 Pozitif üs: \( (-a)^n \) ifadesinde eğer \(n\) çift ise sonuç pozitif, tek ise sonuç negatiftir.
- 📌 Sıfırıncı kuvvet: Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti \(1\)'dir. \( a^0 = 1 \ (a \neq 0) \)
- 👉 İlk terimi hesaplayalım:
\( \frac{1}{2^{-3}} = 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \) - 👉 İkinci terimi hesaplayalım:
\( (-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9 \) (Çift kuvvet olduğu için sonuç pozitiftir.) - 👉 Üçüncü terimi hesaplayalım:
\( 10^0 = 1 \) - 👉 Tüm terimleri yerine yazarak işlemi tamamlayalım:
\( 8 + 9 - 1 = 17 - 1 = 16 \)
Soru 3:
Bir kenar uzunluğu \( (3^2)^3 \) cm olan kare şeklindeki bir kartonun alanı kaç \( \text{cm}^2 \) dir?
Çözüm:
💡 Üslü İfadelerde Üssün Üssü ve Kare Alanı formülünü hatırlayalım.
- 📌 Üssün üssü alınırken üsler çarpılır: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)
- 📌 Karenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesi alınarak bulunur: \( \text{Alan} = \text{kenar} \times \text{kenar} = (\text{kenar})^2 \)
- 👉 Öncelikle kartonun bir kenar uzunluğunu üslü ifade olarak en sade haline getirelim:
\( (3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 \text{ cm} \) - 👉 Kartonun alanını bulmak için kenar uzunluğunun karesini alalım:
\( \text{Alan} = (3^6)^2 \) - 👉 Tekrar üssün üssü kuralını uygulayalım:
\( (3^6)^2 = 3^{6 \times 2} = 3^{12} \)
Soru 4:
Bir bakteri türünün sayısı, uygun ortamda her 20 dakikada bir 4 katına çıkmaktadır. Başlangıçta 8 bakteri bulunan bir ortamda 1 saat sonra toplam kaç bakteri olur?
Çözüm:
💡 Bu tür sorular genellikle üslü ifadelerin katlanarak artma (veya azalma) durumlarını modellemesidir.
- 📌 1 saat = 60 dakikadır.
- 📌 Bakteri sayısı her 20 dakikada 4 katına çıkıyor.
- 👉 İlk olarak 1 saat içinde kaç kez katlanma olacağını bulalım:
\( \frac{60 \text{ dakika}}{20 \text{ dakika/katlanma}} = 3 \text{ katlanma} \) - 👉 Her katlanmada sayı 4 katına çıktığına göre, 3 katlanma sonunda sayı \( 4^3 \) katına çıkacaktır.
\( 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 \) kat - 👉 Başlangıçtaki bakteri sayısını bu kat ile çarpalım:
Başlangıç bakteri sayısı: \( 8 \)
Toplam bakteri sayısı: \( 8 \times 64 \) - 👉 Sayıları üslü ifade olarak yazarsak işlemi daha kolay yapabiliriz:
\( 8 = 2^3 \)
\( 64 = 2^6 \) - 👉 Çarpma işlemini yapalım:
\( 2^3 \times 2^6 = 2^{3+6} = 2^9 \) - 👉 Sonucun değerini hesaplayalım:
\( 2^9 = 512 \)
Soru 5:
Aşağıdaki sayılardan hangisi bilimsel gösterimle doğru ifade edilmiştir?
A) \( 0.0000057 \times 10^6 \)
B) \( 23.4 \times 10^{-4} \)
C) \( 9.1 \times 10^{12} \)
D) \( 0.8 \times 10^{-7} \)
A) \( 0.0000057 \times 10^6 \)
B) \( 23.4 \times 10^{-4} \)
C) \( 9.1 \times 10^{12} \)
D) \( 0.8 \times 10^{-7} \)
Çözüm:
💡 Bilimsel Gösterimin tanımını hatırlayalım.
- 📌 Bir sayının bilimsel gösterimi \( a \times 10^n \) şeklindedir.
- 📌 Bu gösterimde \( 1 \le |a| < 10 \) olmalı ve \(n\) bir tam sayı olmalıdır. Yani \(a\) sayısı 1'e eşit veya 1'den büyük, 10'dan küçük olmalıdır.
- 👉 A) \( 0.0000057 \times 10^6 \): Burada \(a = 0.0000057\). Bu sayı 1'den küçüktür. Bilimsel gösterime uygun değildir.
- 👉 B) \( 23.4 \times 10^{-4} \): Burada \(a = 23.4\). Bu sayı 10'dan büyüktür. Bilimsel gösterime uygun değildir.
- 👉 C) \( 9.1 \times 10^{12} \): Burada \(a = 9.1\). Bu sayı 1'e eşit veya 1'den büyük, 10'dan küçüktür (\(1 \le 9.1 < 10\)). Bilimsel gösterime uygundur.
- 👉 D) \( 0.8 \times 10^{-7} \): Burada \(a = 0.8\). Bu sayı 1'den küçüktür. Bilimsel gösterime uygun değildir.
Soru 6:
Aşağıdaki sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız:
\( A = 2^{30} \), \( B = 3^{20} \), \( C = 5^{10} \)
\( A = 2^{30} \), \( B = 3^{20} \), \( C = 5^{10} \)
Çözüm:
💡 Üslü sayıları sıralarken genellikle ya tabanları ya da üsleri eşitlemeye çalışırız. Bu örnekte üsleri eşitlemek daha kolay olacaktır.
- 📌 Verilen üsler 30, 20 ve 10'dur. Bu sayıların en büyük ortak böleni (EBOB) 10'dur.
- 📌 Bu durumda her sayıyı \( (x^y)^{10} \) şeklinde yazmaya çalışacağız.
- 👉 A sayısını düzenleyelim:
\( A = 2^{30} = 2^{3 \times 10} = (2^3)^{10} = 8^{10} \) - 👉 B sayısını düzenleyelim:
\( B = 3^{20} = 3^{2 \times 10} = (3^2)^{10} = 9^{10} \) - 👉 C sayısı zaten uygun formda:
\( C = 5^{10} \) - 👉 Şimdi üsleri aynı olan sayıların tabanlarını karşılaştırarak sıralama yapabiliriz. Tabanı küçük olan sayı daha küçük olacaktır.
Tabanlar: \( 8, 9, 5 \) - 👉 Tabanları küçükten büyüğe sıralayalım: \( 5 < 8 < 9 \)
- 👉 Dolayısıyla, sayılar küçükten büyüğe doğru şu şekilde sıralanır:
\( 5^{10} < 8^{10} < 9^{10} \)
Soru 7:
Bir depoda bulunan \( 2^8 \) litre suyun her gün yarısı kullanılmaktadır. Buna göre 3 gün sonunda depoda kaç litre su kalır?
Çözüm:
💡 Bu problemde her gün suyun yarısının kullanılması, kalan suyun her gün \( \frac{1}{2} \) katına düşmesi anlamına gelir.
- 📌 Suyun yarısının kullanılması, su miktarının \( \frac{1}{2} \) ile çarpılması demektir.
- 📌 Bu işlem 3 gün boyunca tekrar edecektir.
- 👉 Başlangıçtaki su miktarı: \( 2^8 \) litre.
- 👉 1. gün sonunda kalan su:
\( 2^8 \times \frac{1}{2} = 2^8 \times 2^{-1} = 2^{8-1} = 2^7 \) litre - 👉 2. gün sonunda kalan su:
\( 2^7 \times \frac{1}{2} = 2^7 \times 2^{-1} = 2^{7-1} = 2^6 \) litre - 👉 3. gün sonunda kalan su:
\( 2^6 \times \frac{1}{2} = 2^6 \times 2^{-1} = 2^{6-1} = 2^5 \) litre - 👉 Sonucun değerini hesaplayalım:
\( 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \)
Soru 8:
\( (0.25)^2 \times 8^3 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
💡 Bu tür sorularda farklı tabanları aynı tabana dönüştürmek, işlemi kolaylaştırır.
- 📌 \( 0.25 \) bir rasyonel sayıdır ve \( \frac{1}{4} \) olarak yazılabilir.
- 📌 \( \frac{1}{4} \) ve \( 8 \) sayıları 2'nin kuvvetleri olarak ifade edilebilir.
- 👉 Ondalık sayıyı rasyonel sayıya çevirelim:
\( 0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \) - 👉 Şimdi \( \frac{1}{4} \) ve \( 8 \) sayılarını 2'nin kuvveti şeklinde yazalım:
\( \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2} \)
\( 8 = 2^3 \) - 👉 Verilen ifadede bu değerleri yerine yazalım:
\( (2^{-2})^2 \times (2^3)^3 \) - 👉 Üssün üssü kuralını uygulayalım:
\( 2^{-2 \times 2} \times 2^{3 \times 3} = 2^{-4} \times 2^9 \) - 👉 Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplayalım:
\( 2^{-4+9} = 2^5 \) - 👉 Sonucun değerini hesaplayalım:
\( 2^5 = 32 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/8-sinif-matematik-uslu-ifadeler/sorular