Üslü Sayılar Konu Özeti

Üslü Sayılar 🔢

Üslü sayılar, bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımını daha kısa bir şekilde ifade etmek için kullanılır. Üslü ifadelerde iki temel eleman bulunur: taban ve üs. Taban, çarpılacak olan sayıyı temsil ederken, üs ise tabanın kaç defa kendisiyle çarpılacağını gösterir.

Temel Tanımlar ve Kurallar

• Bir sayının 1. kuvveti kendisine eşittir: \( a^1 = a \)
• Bir sayının 0. kuvveti (taban 0'dan farklı olmak şartıyla) 1'dir: \( a^0 = 1 \) ( \( a \neq 0 \) )
• Negatif üs, sayının çarpmaya göre tersini ifade eder: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)

Üslü Sayılarda Çarpma İşlemi

• Aynı Taban: Tabanlar aynı ise üsler toplanır. \[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]
• Aynı Üs: Üsler aynı ise tabanlar çarpılır ve üs aynı kalır. \[ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \]

Üslü Sayılarda Bölme İşlemi

• Aynı Taban: Tabanlar aynı ise üsler çıkarılır. \[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \]
• Aynı Üs: Üsler aynı ise tabanlar bölünür ve üs aynı kalır. \[ \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \]

Üslü Sayılarda Kuvvet Alma

• Bir üslü ifadenin kuvveti alındığında üsler çarpılır. \[ (a^m)^n = a^{m \cdot n} \]
• Çarpımın veya bölümün kuvveti alındığında, kuvvet her bir çarpana veya bölünen ve bölenin her birine ayrı ayrı dağılır. \[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \] \[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]

Negatif Üslü Sayılar

Negatif üs, sayının çarpmaya göre tersinin pozitif üssü olarak ifade edilir.

• \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
• \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \)

Çok Büyük ve Çok Küçük Sayıların Bilimsel Gösterimi

Çok büyük veya çok küçük sayılar, genellikle 10'un tam sayı kuvvetleri şeklinde ifade edilir. Bu gösterim bilimsel gösterim olarak adlandırılır.

• Bir sayının bilimsel gösterimi \( a \cdot 10^n \) şeklindedir. Burada \( 1 \le |a| < 10 \) ve \( n \) bir tam sayıdır.

Örnekler

Örnek 1: \( 3^4 \) ifadesini hesaplayınız.

\( 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 \)

Örnek 2: \( 5^2 \cdot 5^3 \) işlemini yapınız.

\( 5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3} = 5^5 \)

Örnek 3: \( \frac{7^6}{7^2} \) işlemini yapınız.

\( \frac{7^6}{7^2} = 7^{6-2} = 7^4 \)

Örnek 4: \( (2^3)^2 \) işlemini yapınız.

\( (2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 \)

Örnek 5: \( 4^{-2} \) ifadesini hesaplayınız.

\( 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} \)

Örnek 6: \( 0.000056 \) sayısını bilimsel gösterimle ifade ediniz.

\( 0.000056 = 5.6 \cdot 10^{-5} \)