Üslü Sayılarda Çarpma İşlemi Konu Özeti

Üslü Sayılarda Çarpma İşlemi

Üslü sayılarla çarpma işlemi yaparken iki temel kural bulunur. Bu kurallar, tabanların veya üslerin aynı olmasına göre farklılık gösterir.

1. Tabanları Aynı Olan Üslü Sayıları Çarpma

Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken, ortak taban aynen yazılır ve üsler toplanır.

Genel Kural:

\[ a^x \cdot a^y = a^{x+y} \]

Örnekler:

• \( 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 \)
• \( 5^{-2} \cdot 5^6 = 5^{-2+6} = 5^4 \)
• \( (-3)^2 \cdot (-3)^3 = (-3)^{2+3} = (-3)^5 \)
• \( 7^x \cdot 7^2 = 7^{x+2} \)
• \( 10^5 \cdot 10^{-3} = 10^{5+(-3)} = 10^2 \)

2. Üsleri Aynı Olan Üslü Sayıları Çarpma

Üsleri aynı olan üslü sayılar çarpılırken, tabanlar çarpılır ve ortak üs aynen yazılır.

Genel Kural:

\[ a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x \]

Örnekler:

• \( 2^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 5)^3 = 10^3 \)
• \( 3^4 \cdot 4^4 = (3 \cdot 4)^4 = 12^4 \)
• \( (-2)^5 \cdot 3^5 = ((-2) \cdot 3)^5 = (-6)^5 \)
• \( 6^{-2} \cdot 2^{-2} = (6 \cdot 2)^{-2} = 12^{-2} \)
• \( x^y \cdot z^y = (x \cdot z)^y \)

3. Tabanları ve Üsleri Farklı Olan Üslü Sayıları Çarpma

Hem tabanları hem de üsleri farklı olan üslü sayılar çarpılırken, sayılardan birini veya ikisini de dönüştürerek tabanları ya da üsleri eşitlemeye çalışırız.

Örnekler:

• Soru: \( 4^3 \cdot 2^5 \) işleminin sonucu nedir?
  Çözüm: \( 4 \) sayısını \( 2^2 \) olarak yazabiliriz.
  \( 4^3 \cdot 2^5 = (2^2)^3 \cdot 2^5 = 2^{2 \cdot 3} \cdot 2^5 = 2^6 \cdot 2^5 = 2^{6+5} = 2^{11} \)
• Soru: \( 25^2 \cdot 5^3 \) işleminin sonucu nedir?
  Çözüm: \( 25 \) sayısını \( 5^2 \) olarak yazabiliriz.
  \( 25^2 \cdot 5^3 = (5^2)^2 \cdot 5^3 = 5^{2 \cdot 2} \cdot 5^3 = 5^4 \cdot 5^3 = 5^{4+3} = 5^7 \)
• Soru: \( 2^6 \cdot 9^3 \) işleminin sonucu nedir?
  Çözüm: \( 9 \) sayısını \( 3^2 \) olarak yazabiliriz. \( 2^6 = (2^2)^3 \) veya \( 2^6 = (2^3)^2 \) olarak da yazabiliriz. Burada üsleri eşitlemeyi deneyelim:
  \( 2^6 \cdot 9^3 = 2^6 \cdot (3^2)^3 = 2^6 \cdot 3^{2 \cdot 3} = 2^6 \cdot 3^6 = (2 \cdot 3)^6 = 6^6 \)

4. Bilimsel Gösterimde Çarpma İşlemi

Bilimsel gösterimdeki sayılar çarpılırken, katsayılar kendi arasında, \( 10' \)un kuvvetleri de kendi arasında çarpılır.

Örnek:

\( (3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^5) = (3 \cdot 2) \cdot (10^4 \cdot 10^5) = 6 \cdot 10^{4+5} = 6 \cdot 10^9 \)

Önemli Not: Üslü sayılarda çarpma işlemi yaparken, mümkünse sayıları aynı tabana veya aynı üsse getirmeye çalışmak, işlemi kolaylaştırır. Özellikle LGS'de bu dönüşümler sıkça karşınıza çıkar.